导数及其应用阶段性测试题.doc

阶段性测试题三(导数及其应用) 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)1(2011烟台调研)三次函数f(x)mx3x在(，)上是减函数，则m的取值范围是()Am0 Bm1Cm0 Dm1答案A解析f(x)3mx21，由条件知f(x)0在(，)上恒成立，m0，故选A.2(文)(2011山东淄博一中期末)曲线yx3x在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()A1 B.C. D.答案B解析yx21，曲线yx3x在点(1，)处的切线斜率ky|x1112，k2，切线方程为y2(x1)，即6x3y20，令x0得y，令y0得x，S.(理)(2011辽宁沈阳二中检测)由曲线xy1，直线yx，y3所围成的平面图形的面积为()A. B2ln3C4ln3 D4ln3答案D解析如图，平面图形的面积为dyy2lny|4ln3.点评本题考查定积分求曲边形的面积，关键是根据定积分的几何意义把求解的面积归结为函数在区间上的定积分，再根据微积分基本定理求解在把曲边形面积转化为定积分时，可以以x为积分变量、也可以以y为积分变量，如果是以x为积分变量，则被积函数是以x为自变量的函数，如果是以y为积分变量，则被积函数是以y为自变量的函数本题如果是以x为积分变量，则曲边形ABC的面积是不如以y为积分变量简明3(文)(2011陕西咸阳模拟)已知函数f(x)ax21的图像在点A(1，f(1)处的切线l与直线8xy20平行，若数列的前n项和为Sn，则S2010的值为()A. B.C. D.答案D解析f(x)2ax，f(x)在点A处的切线斜率为f(1)2a，由条件知2a8，a4，f(x)4x21，数列的前n项和Sn，S2010.(理)(2011辽宁丹东四校联考)设函数f(x)ax2b(a0)，若f(x)dx3f(x0)，则x0()A1 B.C D2答案C解析f(x)dx(ax2b)dx9a3b.由f(x)dx3f(x0)得，9a3b3ax3b，x3，x0.4(文)(2011山西太原调研)曲线yx33x21在点(1，3)处的切线与坐标轴所围成的封闭图形的面积为()A2B3C4D5答案A解析y|x1(3x26x)|x19，切线方程为y39(x1)，即9xy60，令x0得y6，令y0得x，所求面积S62，故选A.(理)(2011宁夏银川一中检测)求曲线yx2与yx所围成图形的面积，其中正确的是()AS(x2x)dx BS(xx2)dxCS(y2y)dy DS(y)dy答案B分析根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数解析两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在0,1上，xx2，故函数yx2与yx所围成图形的面积S(xx2)dx.5(2011福州市期末、河北冀州期末)已知实数a、b、c、d成等比数列，且函数yln(x2)x当xb时取到极大值c，则ad等于()A1 B0C1D2答案A分析利用导数可求b、c，由a、b、c、d成等比数列可得adbc.解析y1，令y0得x1，当2x0，当x1时，y0，b1，cln(12)(1)1，adbc1，故选A.6(2011黄冈市期末)设aR，函数f(x)exaex的导函数是f(x)，且f(x)是奇函数，若曲线yf(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为()A Bln2Cln2 D.答案C解析f(x)exaex为奇函数，a1，设切点为P(x0，y0)，则f(x0)ex0ex0，ex02，x0ln2.7(2011日照调研)下列图象中，有一个是函数f(x)x3ax2(a21)x1(aR，a0)的导数f(x)的图象，则f(1)的值为()A. BC. D或答案B解析f(x)x22axa21，其图象为开口向上的抛物线，故不是第一个图；第二个图中，a0，f(x)x21，但已知a0，故f(x)的图象为第三个图，f(0)0，a1，又其对称轴在y轴右边，a1，f(x)x3x21，f(1)，故选B.8(2011潍坊一中期末)设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()答案D解析A中，当f(x)为二次函数时，f(x)为一次函数，由单调性和导数值的符号关系知A可以是正确的，同理B、C都可以是正确的，但D中f(x)的单调性为增、减、增，故f(x)的值应为正负正，因此D一定是错误的9(2011北京学普教育中心)若函数f(x)2x2lnx在其定义域内的一个子区间(k1，k1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是()A1，) B1，)C1,2) D，2)答案B解析因为f(x)定义域为(0，)，f(x)4x，由f(x)0，得x.据题意，解得1k，选B.10(2011江西吉安质检)已知曲线方程f(x)sin2x2ax(aR)，若对任意实数m，直线l：xym0都不是曲线yf(x)的切线，则a的取值范围是()A(，1)(1,0)B(，1)(0，)C(1,0)(0，)DaR且a0，a1答案B解析若存在实数m，使直线l是曲线yf(x)的切线，f(x)2sinxcosx2asin2x2a，方程sin2x2a1有解，1a0，故所求a的取值范围是(，1)(0，)，选B.11(2011彭州中学月考)若关于x的不等式x33x29x2m对任意x2,2恒成立，则m的取值范围是()A(，7 B(，20C(，0 D12,7答案B解析令f(x)x33x29x2，则f (x)3x26x9，令f (x)0得x1或x3(舍去)f(1)7，f(2)0，f(2)20.f(x)的最小值为f(2)20，故m20，综上可知应选B.12(2011蚌埠二中质检)定义在R上的函数f(x)满足f(4)1，f(x)为f(x)的导函数，已知函数yf(x)的图象如图所示若两正数a，b满足f(2ab)0时，f(x)0，x0时，f(x)0，yf(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，两正数a，b满足f(2ab)1且f(4)1，2ab0，b0，3.第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13(2011四川广元诊断)曲线yxex2x1在点(0,1)处的切线方程为_答案y3x1解析yexxex2，y|x03，切线方程为y13(x0)，即y3x1.14(文)(2011广东省高州长坡中学期末)函数f(x)1log2x，f(x)的反函数为g(x)，则g(2)_.答案2ln2解析由y1log2x得x2y1，f(x)的反函数为g(x)2x1，g(x)2x1ln2，g(2)2ln2.(理)(2011辽宁沈阳二中检测)如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)_.答案2解析f(5)f(5)(58)(1)2.15(文)函数yx3ax2x2a在R上不是单调函数，则a的取值范围是_答案(，1)(1，)解析yx22ax1，若函数在R上单调，应有y0恒成立，4a240，a21，1a1，因此所求a的取值范围是(，1)(1，)(理)(2011安徽巢湖质检)定积分|32x|dx_答案解析|32x|dx21.5(2x3)dx2(x23x)|2.16(2011湖南长沙一中期末)对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，定义：设f(x)是函数yf(x)的导数yf(x)的导数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”有同学发现“任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；且拐点就是对称中心”请你将这一发现为条件，求(1)函数f(x)x33x23x对称中心为_(2)若函数g(x)x3x23x，则ggggg_.答案(1)(1,1)(2)2010解析(1)f(x)3x26x3，f(x)6x6，令6x60得x1，f(1)1，f(x)的对称中心为(1,1)(2)令h(x)x3x23x，k(x)，h(x)x2x3，h(x)2x1，由2x10得x，h3231，h(x)的对称中心为，h(x)h(1x)2，x，.又k(x)的对称中心为，k(x)k(1x)0，x，.ggghhhkkk2010.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)(文)(2011山西太原调研)已知函数f(x)x3ax2(a21)xb(a，bR)，其图象在点(1，f(1)处的切线方程为xy30.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间，并求出f(x)在区间2,4上的最大值解析(1)f(x)x22axa21，(1，f(1)在xy30上，f(1)2，(1,2)在yf(x)上，2aa21b，又f(1)1，a22a10，解得a1，b.(2)f(x)x3x2，f(x)x22x，由f(x)0可知x0和x2是f(x)的极值点，所以有x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x) 极大值极小值所以f(x)的单调递增区间是(，0)和(2，)，单调递减区间是(0,2)f(0)，f(2)，f(2)4，f(4)8，在区间2,4上的最大值为8.(理)(2011淄博期末)定义在R上的函数f(x)ax3bx2cx3同时满足以下条件：f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，)上是增函数；f(x)是偶函数；f(x)在x0处的切线与直线yx2垂直(1)求函数yf(x)的解析式；(2)设g(x)lnx，若存在实数x1，e，使g(x)f(x)，求实数m的取值范围解析(1)f(x)3ax22bxc，f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，)上是增函数，f(1)3a2bc0由f(x)是偶函数得：b0又f(x)在x0处的切线与直线yx2垂直，f(0)c1由得：a，b0，c1，即f(x)x3x3.(2)由已知得：存在实数x1，e，使lnxxlnxx3x设M(x)xlnxx3xx1，e，则M(x)lnx3x22设H(x)lnx3x22，则H(x)6xx1，e，H(x)0，即H(x)在1，e上递减于是，H(x)H(1)，即H(x)10，即M(x)2ee3为所求18(本小题满分12分)(2011四川资阳模拟)函数f(x)ax36ax23bxb，其图象在x2处的切线方程为3xy110.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数yf(x)的图象与yf(x)5xm的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围；(3)是否存在点P，使得过点P的直线若能与曲线yf(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由解析(1)由题意得f(x)3ax212ax3b，f(2)3且f(2)5，即解得a1，b3，f(x)x36x29x3.(2)由f(x)x36x29x3可得，f(x)3x212x9，f(x)5xm(3x212x9)5xmx2x3m，则由题意可得x36x29x3x2x3m有三个不相等的实根，即g(x)x37x28xm的图象与x轴有三个不同的交点，g(x)3x214x8(3x2)(x4)，则g(x)，g(x)的变化情况如下表.4(4，)g(x)00g(x)极大值极小值 则函数f(x)的极大值为gm，极小值为g(4)16m.yf(x)的图象与yf(x)5xm的图象有三个不同交点，则有解得16m.(3)存在点P满足条件f(x)x36x29x3，f(x)3x212x93(x1)(x3)，由f(x)0，得x11，x23.当x0；当1x3时，f(x)3时，f(x)0.可知极值点为A(1,7)，B(3,3)，线段AB中点P(2,5)在曲线yf(x)上，且该曲线关于点P(2,5)成中心对称证明如下：f(x)x36x29x3，f(4x)(4x)36(4x)29(4x)3x36x29x7，f(x)f(4x)10，上式表明，若点A(x，y)为曲线yf(x)上任一点，其关于P(2,5)的对称点A(4x,10y)也在曲线yf(x)上，曲线yf(x)关于点P(2,5)对称故存在点P(2,5)，使得过该点的直线若能与曲线yf(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积相等19(本小题满分12分)(2011烟台调研)已知函数f(x)ax3bx2的图象经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x9y0垂直，(1)求实数a、b的值；(2)若函数f(x)在区间m，m1上单调递增，求m的取值范围解析(1)f(x)ax3bx2的图象经过点M(1,4)，ab4.f(x)3ax22bx，则f(1)3a2b，由条件f(1)()1，即3a2b9，由式解得a1，b3.(2)f(x)x33x2，f(x)3x26x，令f(x)3x26x0得x0或x2，f(x)的单调递增区间为(，2和0，)由条件知m0或m12，m0或m3.20(本小题满分12分)(2011厦门期末)已知函数f(x)，(aR)(1)若函数f(x)在x1处取得极值，求实数a的值；(2)在(1)条件下，若直线ykx与函数yf(x)的图象相切，求实数k的值解析(1)f(x)，f(x)，函数f(x)在x1处取得极值，f(1)a10，a1经检验，a1时，函数f(x)在x1处取得极值(2)由(1)可知，a1，f(x)，f(x)，设切点A，kf(x0)又kkOA，lnx0，x0e，k.21(本小题满分12分)(2011华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)已知函数f(x)x3ax2b的图象在点P(1,0)处的切线与直线3xy0平行(1)求常数a，b的值；(2)求函数f(x)在区间0，m上的最小值和最大值(m0)解析(1)f(x)3x22axf(1)32a3，a3f(1)ab10，b2.(2)f(x)x33x22，f(x)3x26x令f(x)0得，x10，x22，当x2时，f(x)0，当0x2时，f(x)0，f(x)增区间为(，0)和(2，)，减区间为(0,2)，f(0)2，令f(x)x33x222得x0或x3.f(0)f(3)2，当0m2时f(x)minf(m)m33m22f(x)maxf(0)2当23时f(x)minf(2)2f(x)maxf(m)m33m22.22(本小题满分12分)(文)已知函数f(x)x33ax23a2a(a0)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若曲线yf(x)上有两点A(m，f(m)、B(n，f(n)处的切线都与y轴垂直，且函数yf(x)在区间m，n上存在零点，求实数a的取值范围解析(1)f(x)3x26