鸡兔同笼问题的探析.doc

“鸡兔同笼”问题的探析摘要：“鸡兔同笼”问题是当今小学数学课外活动专题之一。在小学阶段，应结合小学生已有的知识基础和生活经验，对“鸡兔同笼”类数学题进行多角度的解法探讨.本文将提出解决此类问题的公式法，此外一题多解教学对培养学生的求异意识,增强创新精神有积极意义,也是检验学生知识综合运用能力的标志。本文将通过具体的例子来分析。关键词：小学数学；鸡兔同笼问题；解法探讨；公式法；假设法；图形法一、 六种不同的解法。我们先来看一个简单的例子，可以用六种方法进行解答。例子：鸡兔有30只，共100条腿，问鸡、兔各多少只?解法一：假定30只都是兔子，30只兔共有430=120条腿，比100条腿多了20条，为什么会多出20条腿?因为我们开始时把一些鸡假设成兔子来计算的。因为多一只兔就会多二条腿，现多20条腿，所以20条腿中包含有几个两条腿，就是多的兔子数,因此兔的只数应为：30-(430-100)2=20(只)鸡的只数为:30-20=10(只)同理，假设30只全是鸡，计算鸡只数的方法应为：30-100-302)2=10(只)兔的只数是：30-10=20(只)解法二：设鸡、兔都长2条腿，则共有230条腿，现有100条腿，比230条腿多100-60=40条腿，多2条腿就是一只兔，现多40条腿，就是20只兔，故兔数为(100-230)2=20(只)鸡数为30-20=10(只)类似的考虑，若鸡、兔都长4条腿，则共有430条腿，现有100条腿，多出(120-100)条腿，因一只鸡多算了2条腿，现多算20条腿，所以鸡有10只，即鸡数=(120-100)2=10(只)，兔=30-10=20(只)解法三：假设鸡兔的只数相等，那么总腿数为：152+154=90(条)，这与100条腿相差10条,原因在于把鸡当做了兔,而每把一只鸡当作一只兔腿数少2条,显然少了10条腿,也就是把5只鸡当作5只兔来计算,那兔子的只数为:15+5=20(只)鸡的只数为15-5=10(只)解法四:设在100条腿中鸡有x条腿,则兔有100-x条腿,有题意得:x2+100-x4=30解得x=20(条)所以鸡的只数为:202=10(只)兔的只数为:30-10=20(只)解法五:设鸡有x只,则兔有30-x只,有题意得:2x+4(30-x)=100解得x=10(只)兔的只数为:30-10=20(只)解法六:设鸡有x只,兔有y只,有题意得:x+y=30，2x+4y=100解得:x=10(只)，y=20(只)二、解鸡兔同笼一类算术问题的公式法本文提出一个解鸡兔同笼一类算术问题的公式:n1=（m-nm2)(m1-m2)，其中的n=n1+n2，公式物理意义明确、形式简单、便于记忆,即准确又可靠,解决问题,节省时间,提高效率。公式的推导:笼中养鸡兔共19只,数足58条,问笼中几只兔子几只鸡?设n为鸡兔的总只数，n1为兔的只数，n2为的只数，m为鸡兔的总足数，m1为兔的足数，m2为鸡的足数，则有下列公式：n=n1+n2m=n1m1+n2m2m=n1m1+(n-n1)m2m=n1m1+nm2-n1m2m+n1m2=n1m1+nm2n1m1-n1m2=m-nm2n1(m1-m2)=m-nm2n1=（m-nm2)(m1-m2) (m1m2)用此公式解上题:n=19 ， m=58 ， m1=4 ， m2=2代入公式: n1=（m-nm2)(m1-m2)=58-1924-2= 10(只)n2=n-n1=19-10=9(只)答:笼中有兔10只,鸡9只。例1方桌(4条腿)圆凳(3条腿)66个,共有200条腿,问方桌圆凳各只?解:n=66,m=200,m1=4,m2=3代入公式: n1=（m-nm2)(m1-m2)=200-6634-3= 2(个)n2=n-n1=66-2=64(个)答:方凳2个,圆凳64个。例2:大工、小工共得工资1380元,大工每人得100元,小工每人得工资20元,大工、小工共29人,问大工、小工各多少人?解:n=29，m=1380，m1=100，m2=20代入公式: n1=（m-nm2)(m1-m2)=1380-2920100-20=10(个)n2=n-n1=29-10=19(个)答:大工10人,小工19人。例3:98年黑龙江遭受洪水灾害,某单位捐款救灾,干部每人捐100元,群众每人捐40元,共500人捐款,共捐人民币23000元,问这个单位干部群众各多少人?解:n=500,m=23000,m1=100,m2=40代入公式: n1=（m-nm2)(m1-m2)=23000-50040100-40=50(人)n2=n-n1=500-50=450(人)答:某单位有干部50人,群众450人。例4:某个体户,买牛马共24头,总用人民币12800元,牛每头400元,马每头1200元,问买牛马各多少头?解:m=12800,n=24,m1=1200,m2=400代入公式: n1=（m-nm2)(m1-m2)=12800-244001200-400=4(头)n2=n-n1=24-4=20(头)答:买马4匹,买牛20头。三、假设法和图形法“鸡兔同笼”问题是我国古代趣题之一。大约在1500年前，孙子算经中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话用现代数学语言说意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35 个头；从下面数，有94 只脚。求笼中鸡、兔各有几只？这就是鸡兔同笼问题，通常情况下，人们喜欢用假设法来解答此类问题。假设法是一种常用的解题方法，用假设思想解应用题，首先要根据题意正确地判断应该怎么假设（一般可假设要求的两个或几个未知量相等、或者假设要求的两个未知量是同一种量）；其次，要根据所作的假设，注意到数量关系发生了什么变化，怎样从所给的条件与变化了的数量关系的比较中做出适当的调整，从而找到正确的答案。解法一：假设他们全是鸡，根据鸡兔的总数就可以算出在假设条件下一共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差两只脚就说明有一只兔，将所差的脚数除以二，就可以先算出一共有多少只兔，进而算出有多少只鸡。兔子的只数：（94352）（42）12（只）鸡的只数：351223（只）解法二：假设它们全是兔，则应有435140（只）脚，现在有94 只脚，少了1409446（只）脚，原因是把鸡全都假设成了兔子，一只鸡比一只兔子少2 只脚，所以，鸡的只数就可以求出来了。鸡的只数：（43594）（42）23（只）兔子的只数：352312（只）解法三：运用假设法解题逻辑思维性较强、比较抽象还可以运用列表枚举法来解答此类问题。从上表的枚举可以看出兔子有12 只，鸡有23 只。解法四：列表枚举法虽然形象、易懂，但很麻烦，运用方程法来解答更简略些。1）解：设兔子有x 只，则鸡有35x 只，则兔脚有4x只，鸡脚有2（35x）只，依据题意得：4x+2（35x）=94解得x=12 3512=23（只）所以兔子有12 只，鸡有23 只。2）解：设鸡有x 只，则兔有35x 只，则鸡脚有2x 只，兔脚有4（35x）只，依据题意得：2x+4（35x）=94解得x=23 3523=12（只）所以鸡有23 只，兔子有12 只。解法五：鸡兔同笼问题一般都是用以上几种解法来解答，思维的角度是用算术、方程，能否把鸡兔同笼问题转变成一道更加直观、形象、容易解答的几何图形题呢？我们来看这样一个图形：F E G D CA H B图形中AB 35，BC 2，AF 4， 图形AHEF 和图形HBCD 的面积和为94，求AH？ HB？这道题就是鸡兔同笼问题的一种几何图形表达形式，AH 为兔子的只数，HB 为鸡的只数，AB 表示鸡兔共有35只，BC2 表示每只鸡有2 只脚，AF4 表示每只兔有4 只脚，图形AHEF 和图形HBCD 总面积为94 表示鸡兔共有94 只脚。最后求AH？即兔有多少只？HB？即鸡有多少只？这道题巧妙地应用了长方形的面积长宽。兔的只数每只兔4 只脚 鸡的只数每只鸡2 只脚 鸡兔共有94 只脚AH AF HB BC = 94长方形AHEF 的面积 长方形HBCD 的面积=图形总面积为94延长CD 交AF 与G，在长方形ABCG 中，已知AB 的长度和BC 的长度，则长方形ABCG 的面积很容易求出，长方形AHEF 和长方形HBCD 的面积和已知，减去长方形ABCG 的面积，那么可以求出长方形GDEF 的面积，由于GF=GA=BC=2，在长方形GDEF 中，已知面积和GF 的边长，EF 可以求出，EFAH，已知AB 的长度，则HB 也可以求出，这样，AH 即兔有多少只，HB 即鸡有多少只即知。解：在图形中线段AH 表示兔有多少只，HB 表示鸡有多少只，总面积94 表示鸡兔共有94 只脚，BC 表示每只鸡有2 只脚，AF 表示每只兔有4 只脚，延长CD 交AF 与G，在长方形ABCG 中，AB35，BC2，则长方形ABCG 的面积：35270，长方形AHEF 和长方形HBCD 的面积和为94，则长方形GDEF 的面积：947024。由于GF=GA=BC=2，所以EF24212，EF=AH，则AH12，即兔有12 只，HB351223，即鸡有23 只。对于要同时考虑两个因素的类似“鸡兔同笼”问题的一些应用题，如果用长方形的长和宽分别表示两个不同的因素，画出长方形来，再利用长方形的面积进行分析，往往解题思路非常快捷。“鸡兔同笼”问题的解法是多种多样的，从不同的思维角度往往能探索出更新的解法