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安铺中学20112012学年度高二数学竞赛试题（理科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。第卷（选择题，共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项是正确的。)1已知集合则（ ） A B C D2如果不等式的解集为，那么函数的大致图象是（ ）3已知向量，若向量，则（ ）A2 B C8 D4. 已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若， 且与2的等差中项为，则=（ ）w_w w.k*s_5 u.c o_mA35 B.33 C.31 D.295如果，那么下列不等式中正确的是( )A B C D6已知，则函数的值域为（ ）A B C D7如果方程的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是（ ）A B（2，0） C（2，1） D（0，1）8规定记号“”表示一种运算，即，若，则=（ ）A B1 C 或1 D2第卷（非选择题，共110分）二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分）9在约束条件下，目标函数=的最大值为 10.如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为 11.已知a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=, A+C=2B,则sinC= .12.已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是 13函数满足，且，当时，则时，的最小值为 14已知直线、,平面，则下列命题中：若，,则 若，,则若，,则若，, ,则 .其中，假命题的有 三、解答题(本大题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)15（本题满分12分）已知函数 () 求函数的最小值和最小正周期；（）已知内角的对边分别为，且，若向量与共线，求的值16（本小题满分12分）有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况，命制了一份有道题的问卷到各学校做问卷调查某中学两个班各被随机抽取名学生接受问卷调查，班名学生得分为：，；B班5名学生得分为：，（）请你估计两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些；（）如果把班名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于的概率17.（本小题满分14分）ABCDEF(17题图)如图，已知平面，=2，且是的中点 （）求证：平面； （）求证：平面BCE平面；(III)求此多面体的体积18（本小题满分14分）设数列的前项和为，且；数列为等差数列，且。（1）求数列的通项公式；（2）若为数列的前项和，求证：.19（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，以（1，2）为圆心和圆与直线相切.(1)求圆的方程；（2）求过点（3，4）且截圆所得的弦长为的直线方程；（3）是否存在斜率为1的直线，使得以被圆截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在，求出此直线方程，若不存在，请说明理由.20. （本小题满分14分）已知函数的图象经过点，且对任意，都有数列满足（1）当为正整数时，求的表达式；（2）设，求；（3）若对任意，总有，求实数的取值范围.安铺中学20112012年高二数学竞赛（理科）参考答案一、 选择题1.D 2.C 3.D 4.C 5. D 6. D 7. D 8.B 二、填空题9.2 10. 11. 1 12 13. 14三.解答题15 解：() 3分 的最小值为，最小正周期为. 5分（） ， 即 ， ， 7分 共线， 由正弦定理 ， 得 9分 ，由余弦定理，得， 10分解方程组，得 12分16解：（）班的名学生的平均得分为， 1分方差； 3分班的名学生的平均得分为， 4分方差 6分 ， 班的预防知识的问卷得分要稳定一些 8分（）从班名同学中任选名同学的方法共有种， 10分其中样本和，和，和，和的平均数满足条件，故所求概率为12分17.解：（）取CE中点P，连结FP、BP，F为CD的中点，FPDE，且FP=又ABDE，且AB=ABFP，且AB=FP，ABPF为平行四边形，AFBP 3分又AF平面BCE，BP平面BCE，AF平面BCE 5分 （），所以ACD为正三角形，AFCDAB平面ACD，DE/ABDE平面ACD 又AF平面ACDDEAF又AFCD，CDDE=DAF平面CDE 8分又BPAF BP平面CDE又BP平面BCE平面BCE平面CDE 10分(III)此多面体是一个以C为定点，以四边形ABED为底边的四棱锥，等边三角形AD边上的高就是四棱锥的高 14分18. 解（1）由 （6分） （2）数列为等差数列，公差（8分） 从而（10分） 从而（14分）19解：（1）设圆的方程是，依题意得，所求圆的半径所求的圆方程是 （3分）（2）圆的方程是当斜率不存在时，符合题意，即所求的直线方程是当斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为，即，由圆心（1，2）到直线的距离，（6分），直线方程为即所求的直线方程为和（8分）（3）设存在满足题意的直线，设此直线方程为，设直线与圆相交于两点的坐标分别为，依题意有即，（9分）因为即消去得：，所以，（11分），即解得经检验，都符合题意（13分）存在满足题意的直线，（14分）20【解析】（1）记，由有对任意都成立，又，所以数列为首项为公差为2的等差数列，2分故，即4