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中考总复习三 几何初步 初三数学 一 直线的定义 代数中学习的数轴和一张纸对折后的折痕等都是直线 如下图 二 直线的两种表示方法 1 用表示直线上的任意两点的大写字母来表示 2 用一个小写字母表示 a 三 直线的性质 过两点一条直线 即两点一条直线 直线 有且只有 确定 向两方无限延伸 直线可以 四 直线和点的两种位置关系 1 点在直线上 2 点在直线外 B 五 同一平面内两条直线的位置关系 1 相交 即两条直线只有一个公共点 2 平行 即两条直线没有公共点 射线 线段 一 射线的定义 直线上叫做射线 射线只向无限延伸 二 射线的表示方法 1 用表示射线的端点和射线上任意一点的大写字母来表示这条射线 如射线OA 其中O是端点 A是射线上一点 2 用一个小写字母表示射线 如射线a 一点和它一旁的部分 一方 三 线段的定义 直线上叫做线段 两个点叫做线段的 四 线段的表示方法 1 用表示两个端点的大写字母表示 如线段AB A B是表示端点的字母 2 用一个小写字母表示 如线段a 两点和它们之间的部分 端点 五 线段的性质 所有连接两点的线中 线段 即两点之间 线段 六 线段的中点 线段上一点把线段分成的两条线段 这个点叫做线段的中点 七 两点的距离 连接两点间的 叫做两点的距离 最短 最短 相等 线段的长度 角 一 角的概念 1 定义一 有公共端点的两条组成的图形叫做角 这个公共端点叫做角的 两条射线分别叫做角的 2 定义二 一条射线绕着从一个位置到另一个位置所成的图形叫做角 射线旋转时经过的平面部分是角的内部 射线的端点是角的顶点 射线旋转的初始位置和终止位置分别是角的两条边 A B 射线 顶点 边 端点 旋转 二 角的表示方法 1 用三个大写字母来表示 注意将顶点字母写在中间 如 AOB 2 用一个大写字母来表示 注意顶点处只有一个角用此法 如 A 3 用一个数字或希腊字母来表示 如 1 1 按大小分类 角 小于直角的角 0 90 角 平角的一半或90 的角 90 角 大于直角而小于平角的角 90 180 三 角的分类 2 平角 一条射线绕着端点旋转 当终止位置与起始位置成时 所成的角叫做平角 平角等于 3 周角 一条射线绕着端点旋转 当终止位置又回到起始位置时 所成的角叫做周角 周角等于 锐 直 钝 一条直线 180 360 4 互为余角 如果两个角的和是一个 那么这两个角叫做互为余角 5 互为补角 如果两个角的和是一个 那么这两个角叫做互为补角 直角 平角 四 角的度量 1 度量单位 度 分 秒 2 角度单位间的换算 1 1 3 1平角 1周角 1直角 五 角的性质 同角或等角的余角 同角或等角的补角 六 角的平分线 如果一条射线把一个角分成两个的角 那么这条射线叫做这个角的平分线 60 60 180 360 90 相等 相等 相等 相交线 一 对顶角 1 定义 如果两个角有一个 而且一个角的两边分别是另一角两边的 那么这两个角叫对顶角 2 性质 对顶角 二 邻补角 1 定义 有一条 而且另一边的两个角叫做邻补角 2 性质 邻补角 公共顶点 反向延长线 相等 公共边 互为反向延长线 互补 三 垂线 1 两条直线互相垂直的定义 当两条直线相交所得的四个角中 有一个角是时 就说这两条直线是互相垂直的 它们的交点叫做 垂直用符号 来表示 2 垂线的定义 互相的两条直线中 其中的一条叫做另一条的垂线 如直线a垂直于直线b 垂足为O 则记为a b 垂足为O 其中a是b的垂线 b也是a的垂线 3 垂线的性质 过一点一条直线与已知直线垂直 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中 最短 简单说成 最短 4 点到直线的距离定义 直线外一点到这条直线的 叫做点到直线的距离 直角 垂足 垂直 有且只有 垂线段 垂线段 垂线段的长度 四 同位角 内错角 同旁内角 1 基本概念 两条直线 如a b 被第三条直线 如c 所截 构成八个角 简称三线八角 如右图所示 1和 2和 3和 4和是同位角 1和 2和是内错角 1和 2和是同旁内角 2 特点 同位角 内错角 同旁内角都是由三条直线相交构成的两个角 两个角的一条边在同一直线 截线 上 另一条边分别在两条直线 被截线 上 8 7 6 5 6 5 5 6 平行线 一 平行线定义 在同一平面内 的两条直线叫做平行线 平行用符号 来表示 如直线a与b平行 记作a b 在几何证明中 的左 右两边也可能是射线或线段 二 平行公理及推论 1 经过直线外一点 一条直线与这条直线平行 2 平行公理推论 如果两条直线都与第三条直线 那么这两条直线也互相 即 如果b a c a 那么b c 永不相交 有且只有 平行 三 性质 1 平行线永远不相交 2 两直线平行 同位角 3 两直线平行 内错角 4 两直线平行 同旁内角 5 如果两条平行线中的一条垂直于某直线 那么另一条也垂直于这条直线 可用符号表示为 若b c b a 则c a 相等 相等 互补 四 判定方法 1 定义 2 平行公理的的推论 3 同位角 两直线平行 4 内错角 两直线平行 5 同旁内角 两直线平行 6 于同一条直线的两条直线平行 相等 相等 互补 平行 命题 定理 证明 一 命题 1 定义 判断一件事情的语句叫命题 2 命题的结构 题设 结论 命题 3 命题的表达形式 如果 那么 若 则 4 命题的分类 真命题和假命题 5 逆命题 原命题的题设是逆命题的结论 原命题的结论是逆命题的题设 二 公理 定理 1 公理 人们在长期实践中总结出来的能作为判断其他命题真假依据的真命题叫做公理 2 定理 经过推理证实的真命题叫做定理 三 证明 用推理的方法证实命题正确性的过程叫做证明 1 1 2010江苏宿迁 直线上有2010个点 我们进行如下操作 在每相邻两点间插入1个点 经过3次这样的操作后 直线上共有 个点 2 下列语句正确的是 A 延长直线ABB 延长射线OAC 延长线段AB到C 使AC BCD 延长线段AB到C 使AC 3AB 举一反三 变式1 下列语句正确的是 A 如果PA PB 那么P是线段AB的中点B 线段有一个端点C 直线AB大于射线ABD 反向延长射线OP O为端点 答案 16073 考点 直线 射线 线段的性质 解析 选项A中直线是向两方无限延伸的 不能延长 所以A错 选项B中射线是向一方无限延伸的 而延长射线OA就是指由O向A延长 射线只能反向延长 所以B错 选项C中AC只能大于BC 线段延长应有方向 而且要符合实际意义 所以C错 所以选D 解析 在只用几何语言表达而没有图形的情况下 要注意图形的不同情形 象A中往往容易考虑不到P A B三点可能不在同一直线上 要注意线段的中点首先应为线段上一点 而误选A 线段有两个端点 所以B错 直线可以向两方无限延伸 射线可以向一方无限延伸 所以直线与射线都无法度量长度 不能比较大小 所以C错 答案选D 2 1 数轴上有两点A B分别表示实数a b 则线段AB的长度是 A a bB a bC a b D a b 2 已知线段AB 在BA的延长线上取一点C 使CA 3AB 则线段CA与线段CB之比为 A 3 4B 2 3C 3 5D 1 2举一反三 变式1 如图 点A B C在直线上 则图中共有 条线段 考点 数轴上两点间的距离和线段的加减 思路点拨 本类题目注意线段长度是非负数 若有字母注意使用绝对值 根据题意 画图 解 1 中数轴上两点间的距离公式为 a b 或 b a 2 如图 因为CA 3AB 所以CB 4AB 则线段CA与线段CB之比为3AB 4AB 3 4 答案 1 C 2 A总结升华 解决本例类型的题目应结合图形 即数形结合 这样做起来简捷 答案 3 变式2 有一段火车路线 含这段铁路的首尾两站在内共有5个车站 如图 图中共有几条线段 在这段线路上往返行车 需印制几种车票 每种车票要印出上车站与下车站 变式3 已知线段AB 8cm 延长AB至C 使AC 2AB D是AB中点 则线段CD 解 线段有10条 车票需要2 10 20种 总结升华 在直线上确定线段的条数公式为 其中n为直线上点的个数 在求从一个顶点引出的n条射线所形成的小于平角的角的个数也可用此公式 思路点拨 解决本例类型的题目应结合图形 即数形结合 本题考查延长线段的方向和线段的中点的概念 解 如图 AB 8cmAC 2AB AC 2 8 16cm D是AB中点 AD 8 4cm CD AC AD 16 4 12cm 3 下列说法正确的是 A 角的两边可以度量 B 角是由有公共端点的两条射线构成的图形 C 平角的两边可以看成直线 D 一条直线可以看成是一个平角 4 已知OC平分 AOB 则下列各式 1 AOC AOB 2 AOC COB 3 AOB 2 AOC 其中正确的是 A 只有 1 B 只有 1 2 C 只有 2 3 D 1 2 3 考点 角的定义解析 角的两边是射线 不能度量 所以A错 平角的两边也是射线 不能是直线 所以C错 了解直线和平角两者之间的区别 角有顶点 所以D错 故选B 思路点拨 角平分线定义的的三种表达形式 答案 D 5 1 2010山东德州 如图 直线AB CD A 70 C 40 则 E等于 A 30 B 40 C 60 D 70 2 已知 与 互余 且 40 则 的补角为 度 考点 平行线的性质 三角形外角定理 答案 A 考点 角互余和互补定义 思路点拨 本题考查互余 互补两角的定义 互余 互补只与两角度数和有关 与角的位置无关 解 与 互余 90 40 90 90 40 50 的补角 180 50 130 举一反三 变式1 如图 已知 COE BOD AOC 90 则图中互余的角有 对 互补的角有 对 考点 互为余角和互为补角的定义 思路点拨 在本题目中 当图中角比较多时 就将图形的角进行归类 找出每种相等的角 按照同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等的性质解决问题 注意要不重不漏 解 互余的角有 COD和 DOE COD和 BOC AOB和 DOE AOB和 BOC 共4对 互补的角有 EOD和 AOD BOC和 AOD AOB和 BOE COD和 BOE AOC和 COE AOC和 BOD COE和 BOD 共7对 变式2 已知 如图 AC BC 垂足为C BCD是 B的余角 求证 ACD B 证明 AC BC 已知 ACB 90 BCD是 DCA的余角 BCD是 B的余角 已知 ACD B 思路点拨 会根据所给的语句写出正确的根据 会用所学的定理 公理 推论等真命题概括几何语言 答案 垂直定义 余角定义 同角的余角相等 6 1 已知 1 43 27 则 1的余角是 补角是 2 18 32 18 216 42 考点 掌握角的单位之间的换算关系 1 60 1 60 举一反三 变式1 计算 考点 掌握角的单位之间的换算关系 1 60 1 60 解 1 1的余角 90 43 27 89 60 43 27 46 33 1的补角 180 43 27 179 60 43 27 136 33 2 0 32 0 32 60 19 2 0 2 0 2 60 12 所以18 32 18 19 12 42 0 7 所以216 42 216 7 考点 会计算角之间的和 差 倍 分 注意相邻单位之间是60进制的 相同单位互相加减 解 68 70 69 10 62 3 25 3 186 75 187 15 67 80 37 33 30 47 69 60 3 23 20 7 1 2010内蒙呼和浩特 8点30分时 钟表的时针与分针的夹角为 2 时钟在1点30分时 时针与分针的夹角为 度 举一反三 变式1 某火车站的时钟楼上装有一个电子报时钟 在钟面的边界上 每一分钟的刻度处都装有一只小彩灯 晚上9时35分20秒时 时针与分针所夹的角内装有多少只小彩灯 答案 75 解析 时钟上时针和分针是实际生活中常见的角 分针1小时旋转360度 1分钟旋转6度 时针1小时旋转30度 1分钟旋转0 5度 在相同时间下 分针旋转的角度是时针的12倍 钟表上1和6的夹角为150 过了半小时 时针转了15 所以1点30分时 时针与分针的夹角为150 15 135 解析 9时35分20秒时 时针与分针的夹角间的小格数为个小格 中间有12个分钟刻度处 而每一个分钟刻度处有一只小彩灯 所以它们之间有12个小彩灯 8 表示O点南偏东15 方向和北偏东25 方向的两条射线组成的角等于 度 考点 方位角 举一反三 变式1 如图 在甲 乙两地之间修一条笔直的公路 从甲地测得公路的走向是北偏东48 甲 乙两地间同时开工 若干天后 公路准确接通 则乙地所修公路的走向是南偏西 度 解析 如图 南北方向上的线与OA OB的夹角分别为25 和15 所以 AOB 180 25 15 140 考点 方位角在实际中的应用思路点拨 结合图形 在求方位角时 掌握甲和乙之间方向相反的规律 甲观察乙是北偏东48 乙观察甲就是南偏西48 答案 48 9 如图 OA OB BOC 40 OD平分 AOC 则 BOD 举一反三 变式1 用一副三角板画角 不能画出的角的度数是 A 15 B 75 C 145 D 165 思路点拨 通过观察图形 找出各角之间的联系 关键是看清角所在的位置 结合图形进行计算 解 OA OB AOB 90 BOC 40 AOC AOB BOC 90 40 130 OD平分 AOC COD AOC 130 65 BOD COD BOC 65 40 25 思路点拨 了解一副三角板中各角的度数 总结规律 用一副三角板画角 能画出的角都是15 的整数倍 答案 C 变式2 以 AOB的顶点O为端点作射线OC 使 AOC BOC 5 4 1 若 AOB 18 求 AOC与 BOC的度数 2 若 AOB m 求 AOC与 BOC的度数 思路点拨 当题目中包含多种可能的情况时 应根据可能出现的所有情况进行分类 要做到无遗漏 无重复 答案 1 第一种情形 OC在 AOB的外部 可设 AOC 5x BOC 4x 则 AOB AOC BOC x 即x 18 AOC 90 BOC 72 第二种情形 OC在 AOB的内部 可设 AOC 5x BOC 4x 则 AOB AOC BOC 9x 9x 18 即x 2 AOC 10 BOC 8 2 AOC 5m BOC 4m 或 AOC m BOC m 10 只用无刻度直尺就能作出的是 A 延长线段AB至C 使BC AB B 过直线上一点A作的垂线C 作已知角的平分线 D 从点O再经过点P作射线OP11 已知线段MN 画一条线段AC MN的步骤是 第一步 第二步 AC就是所要画的线段 举一反三 变式1 如图所示 请把线段AB四等分 简述步骤 解析 A中直尺应有刻度或利用尺规作图 B C是尺规作图 但还需要圆规 应选D 考点 这是尺规作图作一条线段等于已知线段的步骤 必须掌握 答案 第一步 作射线AP 第二步 在射线AP上 以A为圆心 以MN为长为半径截取AC MN 考点 作线段AB的垂直平分线的方法 作法 步骤 1 作AB的垂直平分线MN 交AB于O1 2 作O1A的垂直平分线EF交AB于O2 3 作O1B的垂直平分线GH交AB于O3 则O1 O2 O3即为线段AB的四等分点 12 如图所示 在图中作出点C 使得C是 MON平分线上的点 且AC OA 并简述步骤 思路点拨 用尺规作图作已知角的平分线 再用圆规截取AC OA 作法 作法如下 1 作 MON的平分线OB 2 以A点为圆心 以OA为半径画弧交OB于C 连结AC 则C点即为所求 总结升华 用尺规作图中直尺只起到画线 直线 射线 线段 的作用 而不能用来量取 举一反三 变式1 如图所示 已知 AOB和两点M N 画一点P 使得点P到 AOB的两边距离相等 且PM PN 简述步骤 考点 角平分线定理和垂直平分线定理 作法 1 作 AOB的平分线OC 2 连结MN 并作MN的垂直平分线EF 交OC于P 连结PM PN 则P点即为所求 13 1 2010湖北襄樊 如图1 已知直线AB CD BE平分 ABC 交CD于D CDE 150 则 C的度数为 A 150 B 130 C 120 D 100 图1 2 如图 AD BC AC与BD相交于O 则图中相等的角有 对 答案 C 思路点拨 两直线平行 内错角相等 两直线相交 所得的对顶角相等 解析 AD BC OAD OCB ODA OBC 不要忽略对顶角相等 AOB COD AOD BOC 故应填4对 14 1 如图所示 下列条件中 不能判断的是 A 1 3B 2 3C 4 5D 2 4 180 2 2010福建宁德 如图 把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上 如果 1 35 那么 2是 考点 平行线的判定 解析 根据平行线的判定 A中 1和 3是内错角 C中 4和 5是同位角 D中 2和 4是同旁内角 不难得到 2 3不能判断 应选B 考点 平行线的性质 答案 55 举一反三 变式1 1 如图 若AB CD 则 A E D之间的关系是 A A E D 180 B A E D 180 C A E D 180 D A E D 270 2 如图所示 1 120 2 100 则 3 A 20 B 40 C 50 D 60 考点 平行线的性质思路点拨 通过观察图形 可作出一条辅助线 从而把问题化难为易 1 2 解析 1 如 1 图 过E作EF AB 则也平行于CD A AEF 180 FED D A AEF A AED D 180 故选C 2 如 2 图 过O作 则OB也平行于 1 BOC 180 3 AOB BOC 180 1 180 120 60 3 AOB 2 BOC 100 60 40 15 1 两平行直线被第三条直线所截 同位角的平分线 A 互相重合B 互相平行C 互相垂直D 相交 2 2010重庆市 如图 点B是 ADC的边AD的延长线上一点 DE BC 若 C 50 BDE 60 则 CDB的度数等于 A 70 B 100 C 110 D 120 答案 选B 考点 平行线的性质和判定 思路点拨 利用平行线的性质和判定 结合角平分线的定义解决问题 如图 a b 所以同位角相等 所以同位角的一半也相等 即 1 2 所以同位角的平分线互相平行 思路点拨 由DE BC 得 CDE C 50 所以 CDB CDE BDE 110 答案 C 举一反三 变式1 如图 CD平分 ACB DE BC AED 80 求 EDC的度数 思路点拨 由平行线的性质和角平分线定义求出结果 解 DE BC AED 80 ACB AED 80 EDC DCB CD平分 ACB DCB ACB 40 EDC DCB 变式2 如图 已知AB CD DAB DCB AE平分 DAB 且交BC于E CF平分 DCB 且交AD于F 求证 AE FC 思路点拨 这类问题可由题设出发找结论 也可由结论出发找题设 证明 AB CD ABC BCD 180 DAB BCD ABC DAB 180 AD BC DAE BEA AE平分 DAB CF平分 DCB DAE DAB FCB BCD DAE FCB BEA FCB AE FC 变式3 已知 如图 CB AB CE平分 BCD DE平分 CDA 并且 1 2 90 求证 DA AB 思路点拨 这考查学生整体考虑问题的能力 可以从已知推出结论 也可以从结论入手 找出和已知相对应的条件 证明 CE平分 BCD DE平分 CDA 1 ADC 2 BCD 1 2 90 ADC BCD 180 AD BC A B 180 CB AB B 90 A 180 B 180 90 90 DA AB 变式4 求证 两条平行直线被第三条直线所截 内错角的平分线互相平行 思路点拨 考查学生解决这种证明题要先根据题意画出图形 再改写成已知 求证的几何语言形式的命题 已知 如图 AB CD EG FR分别是 BEF EFC的平分线 求证 EG FR 证明 AB CD 已知 BEF EFC 两直线平行 内错角相等 EG FR分别是 BEF EFC的平分线 已知 2 1 BEF 2 2 EFC 角平分线定义 2 1 2 2 等量代换 1 2