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第三章 离散傅里叶变换（DFT）1. 如图P3-1所示，序列是周期为6的周期性序列，试求其傅里叶级数的系数。 图 P3-1分析利用DFS的定义求解。解：由 计算求得 2. 设，试求，并做图表示。分析利用DFS的定义求解。解： 由 计算求得 如图P3-2所示。 图 P3-23. 已知是N点有限长序列，。现将长度变成点的有限长序列 试求点DFT与的关系。分析利用DFT定义求解，是点序列，因而结果相当于在频域序列进行插值。解：由= DFT，可得 ， 所以在一个周期内，的抽样点数是的r倍（的周期为Nr），相当于在的每两个值之间插入r-1个其他的数值（不一定为零），儿当k为r烦人整数l倍时，与相等。4. 已知是N点有限长序列，现将的每两点之间补进r-1个零值点，得到一个rN点的有限长序列 试求rN点与的关系。分析离散时域每两点间插入r-1个零值点，相当于频域以N为周期延拓r次，即周期为rN。解：由 = DFT， 可得 ，而 所以是将（周期为N）延拓r次形成的，即周期为rN。5. 频谱分析的模拟信号以8kHz被抽样，计算了512个抽样的DFT，试确定频谱抽样之间的频率间隔，并证明你的回答。分析利用频域抽样间隔和时域抽样频率，以及抽样点数N的关系。证明由 ， 得 其中是以角频率为变量的频谱周期，是频谱抽样之间的频谱间隔。又 则 对于本题有 kHz ，所以 Hz6. 设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力10 Hz，如果采用的抽样时间间隔为0.1ms，试确定：(1)最小记录长度；(2)所允许处理的信号的最高频率；(3)在一个记录中的最少点数。分析抽样间隔T和抽样频率满足,记录长度和频域分辨力的关系为。抽样定理为为信号最高频率分量),一个记录中最少抽样总数N满足 解：（1）因为，而，所以 即最小记录长度为0.1s。（2）因为，而 所以 即允许处理的信号的最高频率为5 kHz。 （3），又因N必须为2的整数幂，所以一个记录中的最少点数为。7. 令表示N点序列的N点离散傅里叶变换，（1）证明如果满足关系式，则。（2）证明当N为偶数时，如果，则。分析这两个是有限长序列，当满足关系式时称为偶对称序列，偶对称中心为；当时称为奇对称序列，奇对称中心为。在第七章中会讨论以它们作为单位抽样响应时滤波器特性的情况。证明（1） 因为 ，
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