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数学运算方法与典型问题数学运算考察综合分析和推理能力，及数量统计类型题目，包括排列和组合题型，重在考察考生数学原理的实际应用能力；观察近年的题型，多题型复合问题增多，要求考生具有综合分析推理能力，并对数学基础知识可以灵活运用。一、基础知识1. 数的整除及余数（1）能被2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性能被2（或 5）整除的数，末一位数字能被2（或 5）整除；能被4（或 25）整除的数，末两位数字能被4（或 25）整除；能被8（或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；一个数被2（或 5）除得的余数，就是其末一位数字被2（或 5）除得的余数一个数被4（或 25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或 25）除得的余数一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数（2）能被3、9 整除的数的数字特性（适用于用于多位数乘法，弃三、弃九法）能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。（3）能被6整除的数：它必定是偶数并且能被3整除，即尾数是偶数且其各位数之和能被3整除。（4）能被7，11，13整除的数的判断:就是判断其末三位与剩下的数之差能否被7，11，13；例如：456834，从后三位画条线，即456|834，然后用大数减去小数得834-456=378，而378能被7整除，故456834也能被7整除。又如：345632198，画线：345632|198，用大数减去小数得345632-198=345434，在判断345434能否被7整除，画线345|434，大数减去小数得434-345=89，而89不能被7整除，因此345632198不能被7整除。（5）能被11整除的数的判断：奇位数字之和与偶位数字之和的差能否被11整除。如：29485839293，其奇位数字之和为2+4+5+3+2+3=19,偶位数字之和为9+8+8+9+9=43，之差为43-19=24，故其不能被11整除。（6）余数相关问题余数问题：利用余数基本恒等式解题：同余问题：余同取余，合同加和，差同减差，公倍数做周期余同:“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，则取1，表示为：60n+1；和同：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，则取7，表示为：60n+7；差同：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，则取3，表示为：60n-3；【例1】（国考2006-50）（7）奇偶法则与比例法则（）. 两个奇（偶）数之和（差）为偶数；（）. 一奇一偶之和（差）为奇数；（）. 两个整数之和为奇数，则他们的奇偶性相同，两个整数之和为偶数，则他们的奇偶性相反；（）. 两个整数的和（差）为奇数，则其差（和）也为奇数，两个整数的和（差）为偶数，则其差（和）也为偶数；（8）比例倍数关系核心判定特征如果 (互质)，则 是 的倍数；是的倍数。如果 (互质)，则ab应该是 mn 的倍数。【例1】（国家2006-40题）【例2】（国家2009-109，114，117题）二、基本方法1. 代入排除法：首先根据数字特性先排除，然后代入；也可直接代入，原则是：从简单代起。【例1】有10个连续的奇数，第一个数等于第十个数的5/11，则第一个数为（ ）A . 5 B . 11 C. 13 D. 15【例2】（北京2009）某个三位数的数值是其各位数字之和的23倍。这个三位数为（ ）A. 702 B. 306 C. 207 D. 203【例3】粗细不同的两支蜡烛，细蜡烛的长度是粗蜡烛长度的2倍，点完细蜡烛需要1小时，点完粗蜡烛需要2小时。有一次停电，将这样两支蜡烛同时点燃，来电时，发现两支蜡烛所剩长度一样，则此次停电共停了（ ） A10分钟 B20分钟 C40分钟 D60分钟 2. 枚举归纳法：【例1】（四川2009）将参加社会活动的108名学生平均分成若干个小组，每组人数在8人到30人之间，则共有（ ）种不同的分法A. 1 B. 4 C. 5 D. 6【例2】（国家2010-46题）【例3】十阶楼梯，小张每次只能走一阶或者两阶，请问走此十阶楼梯共有多少方法( )A. 55 B. 67 C. 74 D. 89【例4】有9颗相同的糖，从明天起，每天至少吃一颗糖，吃完为止，请问一共有多少种吃法( ) A. 256 B. 512 C. 1024 D. 2048【例5】体育课上老师叫大家排队报数, 报到最后一个是50, 芳芳站在从左向右数的第38位, 亮亮站在从右向左数的第24位, 芳芳和亮亮的中间有几个同学( )A. 9 B. 10 C. 11 D. 123. 极端算法: 一般把至少，最少的问题转化为至多，最多从反面去考虑【例1】（国家2006-43题）【例2】（国家2009-118题）【例3】（国家2008-56题）共有100个人参加某公司的招聘考试，考试的内容共有5道题，15题分别有80，92，86，78和74人答对，答对3道和3道以上的人员能通过考试。请问至少有多少人能通过这次考试( )A. 30 B. 55 C. 70 D. 74【例4】（国家2010-55题）注: 抽屉(鸽笼)原理也可用极端算法 4. 方程法：其核心是“通过题干，找到不变量(等式关系)”注: 用于牛吃草为题, 盈亏问题等5. 特值法：【例1】（四川2008）木材原来的水分含量为28%，由于挥发，现在的水分含量为10%，则现在这些木材的重量是原来的（ ）A. 50% B. 60% C. 70% D. 80%【例2】（十三省联考2010-15题）【例3】（国家2011-69题）6. 作图法：适用于行程问题，重叠问题，比例问题等。【例1】（安徽2008题）某单位职工24人中，有女性11人，已婚的16人。在已婚的16人中有女性6人。问这个单位的未婚男性有多少人（ ）A.1 B.3 C.9 D.12.【例2】（国家2006-37题）三、典型问题及解法（一）、计算问题1. 尾数法及除法尾数法【例1】（国家2005）A.926183 B.936185 C.926187 D.926189【例2】（北京2007）A.1 B.2 C.3 D.4【练习1】（广西2008） A.20 B.35.5 C.19 D.36【练习2】（安徽2009）A.-1 B.0 C.1 D.22. 多位数乘法【例1】（江西2009）A.290133434 B.290173434 C.290163434 D.290153434注：弃九法3. 周期数的表示【例1】（云南2009）A. B. C. D.4. 乘方尾数：【例1】（浙江2007）的值的个位数是（ ）A.5 B.6 C.8 D.9【例2】（广东2008）的尾数是（ ）A.1 B.3 C.5 D.75.裂项相加法：公式：【例1】（江苏2006）的值为（ ）A. B. C. D.【例2】（江苏2009）A.0 B.0.5 C.1 D.2【练习1】（浙江2008）的值是（ ）A. B. C. D.【练习2】（江苏2008）A. B.1 C. D.无法计算6.分母有理化：【例1】（福建、辽宁、海南联考2009）的值为（ ）A. B.2 C. D.3 （二）、等差数列问题等差数列通项与求和公式：1. ，2. ，中位数也是平均数。3. 【例1】（国家2008）是一个等差数列，, , 则数列前13项之和是（ ） A. 32 B. 36 C. 156 D. 182【例2】（天津、湖北陕西联考2009）一本100多页的书，被人撕掉了4张，剩下的页码总和为8037，则该书最多有多少页（ ）A. 134 B. 136 C. 138 D. 140注：结合奇偶特性【例3】（国家2009-120题）（三）、周期问题问题【例1】（广西2008）学校举行运动会，要求按照红、黄、绿、紫的颜色插彩旗于校门口，请问第58面旗是什么颜色（ ）A.黄 B.红 C.绿 D.紫【例2】（ 浙江2008）把分数化成小数后，小数点后面第2008位上的数字是几（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【练习1】（福建2009）一个数列为1，-1，2，-2 ，-1，1，-2，2，1，-1，2，-2 ，-1，1，-2，2,.则该数列的第2009项为（ ） A.-2 B. -1 C. 1 . D.2注：除周期找余数，被除数与余数同（四）、星期、日期问题平年与闰年判断方法一共天数2月平年年份不能被4整除365天有28天闰年年份可以被4整除366天有29天小月与大月包括月份共有天数大月一、三、五、七、八、十、十二月31天小月二、四、六、九、十一月30天（2月除外）星期的计算1. 星期以7为周期，即每过7天，星期不变，或每隔6天星期不变；2. 过1个平年（365天），星期加一，过一个闰年（366天,注意要过2月29日），星期加二；3. 同一月内同一星期对应的日期为公差是7的等差列【例1】（浙江2009）已知2008年的元旦是星期二，问2009年的元旦是星期几?( ) A.星期二 B.星期三 C.星期四 D.星期五【例2】（广西2008）2005年7月1日是星期五，问2008年7月1日是星期几?( ) A.星期三 B.星期四 C.星期五 D.星期二【例3】（安徽2008）某日小李发现日历有好几天没有翻，就一次翻了6 张，这6天的日期加起来的数字和是141，他翻的第一页是几号（ ） A . 18 B. 21 C. 23 D. 24【例4】（河北2009）假如今天是2010年的8月25日，那么再过260天时2011年的几月几日（ ）A . 5月11日 B. 5月12日 C. 4月13日 D. 5月13日【例5】（陕西2008）某个月有五个星期六，已知这五个日期之和为85，则这个月中最后一个星期六是多少号 ( ) A. 10 B. 17 C. 24 D. 3l（五）、差倍原理研究不同量之间的和、差、倍、比关系的数学应用题【例1】（四川2009）甲乙丙三名羽毛球选手某天训练共用了48个羽毛球，其中甲比已多用了4个，已比丙多用了4个，甲乙丙三人所用羽毛球数的比是（ ） A. 5：4：3 B. 6：5：4 C. 4：3：2 D. 3：2：1【例2】（内蒙2009）一个班教室里有若干名学生，走了10名女生后，男生是女生的2倍，又走了9名女生后，男生是女生的5倍。最初有多少名女生（ ）A 15 B 12 C 10 D 9【例3】（国家2009-117题）（六）、浓度问题浓度问题解题的关键是牢记：浓度= 100%=100% 溶解度=【例1】（国家2009-113题）【例2】（上海2005）在20时100克水中最多能溶解36克食盐。从中取出食盐水50克，取出的溶液的浓度是多少（ ）A 36% B 18% C 26.5% D 72%【练习】（安徽2008）从装满1000克浓度为50%的酒精瓶中倒出200克酒精，再倒入蒸馏水将瓶加满，这样反复三次后，瓶中的酒精浓度时多少？（ ）A.22.5% B.24.4% C.25.6% D.27.5%（七）、行程问题（1）相遇追及背离：相遇（反向行驶）：路程速度之和时间；追及（同向行驶）：路程速度之差时间；背离（反向行驶）：路程速度之和时间。（2）顺风、顺水、顺电梯 顺水速度船速水速；逆水速度船速水速。注：电梯路程的单位为级、阶、台等；速度单位为级/秒、阶/秒、台/秒等【例1】（国家2010-54题）（3）火车过桥： 列车完全在桥上的时间（桥长车长）列车速度（假设：桥长车长）； 列车从开始上桥到完全下桥所用的时间（桥长车长）列车速度；（4）队伍行进问题： 队伍长度=（人速+队伍速度）从队头到队尾所需时间；（相当于相遇问题） 队伍长度=（人速-队伍速度）从队尾到队头所需时间；（相当于追及问题）【例2】（十三省联考2010-15题）【例3】（国家2006-39题）【例4】（国家2011-67，68题）【例5】（甘肃三支一扶2008年）姐弟俩出游，弟弟先走一步，每分钟走40米，走80米后姐姐去追他。姐姐每分钟走60米，姐姐带的小狗每分钟跑150米。小狗追上弟弟又转去找姐姐，碰上姐姐又转去追弟弟，这样来回跑来跑去，直到姐弟相遇小狗才停下来。问小狗一共跑了多少米？（ ）A.600 B.800 C.1200 D.1600（八）、工程问题工作量=工作效率工作时间，总量一般设为1. “凑”的方法。【例1】（国家2011-70题）【例2】（国家2009-110题）【例3】（十三省联考2010-9题）【例4】（国家2007年）一篇文章现有甲乙丙三人，如果甲乙两人合作翻译，需要10小时完成，如果由乙丙两人合作翻译，需要12小时，现在先由甲丙两人合作翻译4小时，剩下的再由乙单独翻译，需12小时才能完成。则这篇文章由乙单独翻译，需要多少小时（ ）A15 B.18 C20 D25（九）、利润问题，利润率即是增长率。【例1】（国家2010-53题）【例2】（国家2011-72题）（十）、几何问题常用周长公式常用面积公式三角形面积S=； 平行四边形面积S=梯形面积S=； 扇形面积S=常用表面积公式正方体表面积=6； 长方体的表面积=;球的表面积=4=；圆柱的表面积=+2,侧面积=常用体积公式正方体体积=； 长方体的体积=; 球的体积=圆柱的体积=； 圆锥的体积=正余弦定理常用不规则图形周长、面积、表面积、体积求法：割与补【例1】（天津，湖北，陕西联考2009年）在右图中，大圆的半径为8,求阴影部分的面积是多少（ ）12A. 120 B. 128 C. 136 D. 144【例2】（国家2010-51题）【例3】（国家2011-74题）（十一）、鸡兔同笼问题【例1】 今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？格式：设全为鸡，则共有足235=70，实际上多24足 （每只）兔（比鸡）多2只 兔 =12只注1：第一步是乘法，数字越简单越容易计算，注2：若先设为鸡，计算出来的是兔。【例2】（国家2006-41题）【例3】（国家2009-47题）（十二）、牛吃草问题不变量：单位面积原有草量；每头牛每天吃草量默认为“1”设单位面积新长草量可供头牛吃，则单位面积原有草量=（牛数）时间【例1】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供25头吃 多少天？（ ） A.3 B.4 C.5 D.6【例2】（国家2009-119题）【例3】22头牛吃33公亩牧场的草，54天可以吃尽，17头牛吃同样牧场28公亩的草，84天可以吃尽。请问几头牛吃同样牧场40公亩的草，24天吃尽？( ) A.50 B.46 C.38 D.35 【练习1】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天一均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或供16头牛吃6天。那么可供11头牛吃几天？( ) A.12 B.10 C.8 D.6（十三）、年龄问题1、 不变量：年龄差不变2、 代入排除法与方程是常见的两种方法3、 当没有倍数是可用平均分段法【例1】小白兔说：“妈妈，我到你现在这么大时，你就13岁啦！”大白兔说:“我像你这么大年龄时，你只有1岁。”请问小白兔现在几岁？（）【例2】（国家2010-52题）（十四）、统筹安排，推理问题【例1】（国家2006-38题）【例2】（国家2006-48题）【例3】（国家2010-53题）【例4】（国家2011-73题）（十五）、时钟问题1、辅助工具：指针式手表，2、坏钟问题：快慢比例不变，标准比不变。3、有些钟表问题是追击问题，单位都化为分钟来计算，4、时钟每圈12格，每格30度，5、时针: 0.5度/分钟，分针: 6度/分钟。【例1】（国家2006-45题）【例2】（国家2005年）一个快钟每小时比标准时间快分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢分钟，如果两个钟同时调到标准时间，结果在小时里，快钟显示点整时，慢钟显示九点整。则此时的标准时间是（）。点分点分点分点分（十六）、折上折问题【例1】（国家2006-49题）四、计数相关问题（一）、重叠问题（容斥原理）1.两图重叠2.三图重叠【例1】（国家2005）对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有：（ ）A22人 B28人 C30人 D36人【例2】（国家2006-42题）【例3】（国家2009-116题）【例4】（国家2010-48题）【例5】（国家2011-75题）注：注意三图重叠时的容斥关系（二）、排列组合【例1】（国家2006-46题）【例2】（国家