高考数学二轮复习第二部分专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题课时规范练理.docx

第3讲 圆锥曲线的综合问题一、选择题1已知F1，F2是椭圆y21的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是()A2B1C2 D4解析：设P(x，y)，依题意得点F1(，0)，F2(，0)，(x)(x)y2x2y23x22，因为2x2，所以2x221，因此的最大值是1.答案：B2(2017衡水中学质检)已知椭圆1内有两点A(1，3)，B(3，0)，P为椭圆上一点，则|PA|PB|的最大值为()A3 B4C5 D15解析：在椭圆中，由a5，b4，得c3，故焦点为(3，0)和 (3，0)，点B是右焦点，记左焦点为C(3，0)由椭圆的定义得|PB|PC|10，所以|PA|PB|10|PA|PC|，因为|PA|PC|AC|5，所以当点P，A，C三点共线时，|PA|PB|取得最大值15.答案：D3(2017北京西城区调研)过抛物线y24x的焦点的直线l与双曲线C：y21的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，若x1x20，则k的取值范围是()(导学号 54850132)A.B.C.D.解析：易知双曲线两渐近线yx，当k或k时，l与双曲线的右支有两个交点，满足x1x20.答案：D4(2017全国卷改编)椭圆C：1的焦点在x轴上，点A，B是长轴的两端点，若曲线C上存在点M满足AMB120，则实数m的取值范围是()A(3，) B1，3)C(0，) D(0，1解析：依题意，当0m3时，焦距在x轴上，要在曲线C上存在点M满足AMB120，则tan 60，即.解得0m1.答案：D5在直线y2上任取一点Q，过Q作抛物线x24y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过的点的坐标为()A(0，1) B(0，2)C(2，0) D(1，0)解析：设Q(t，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为yx2，则yx，则在点A处的切线方程为yy1x1(xx1)，化简得yx1xy1，同理，在点B处的切线方程为yx2xy2，又点Q(t，2)的坐标适合这两个方程，代入得2x1ty1，2x2ty2，这说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程2xty，则直线AB的方程为y2tx，直线AB恒过点(0，2)答案：B二、填空题6设双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线与抛物线y2x的一个交点的横坐标为x0，若x01，则双曲线C的离心率e的取值范围是_解析：双曲线C：1的一条渐近线为yx，联立消去y，得x2x.由x01，知1，b2a2.所以e22，因此1e.答案：(1，)7已知抛物线C：x28y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F的直线与圆Q切于点P，则的最小值为_解析：如图，|2|21.由抛物线的定义知：|d(d为点Q到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，所以|min2，所以的最小值为3.答案：38(2017济南模拟)已知抛物线y24x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|BD|的最小值为_解析：不妨设A(x1，y1)(y10)，B(x2，y2)(y20)则|AC|BD|x2y1y1.又y1y2p24.所以|AC|BD|(y20)利用导数易知y在(，2)上递减，在(2，0)上递增所以当y22时，|AC|BD|的最小值为3.答案：3三、解答题9(2017西安调研)已知椭圆E：1(ab0)的离心率为，点P在椭圆E上(1)求椭圆E的方程；(2)过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q(xQ，yQ)(点Q异于点P)，若0xQ1，求直线l斜率k的取值范围解：(1)由题意得解得故椭圆E的方程为y21.(2)设直线l的方程为yk(x1)，代入方程y21，消去y，得(14k2)x2(4k8k2)x(4k24k1)0，所以xQ1.因为0xQ1，所以01，即解得k或k，经检验，满足题意所以直线l斜率k的取值范围是k或k.10(2017新乡三模)已知抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，直线2xy20交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(导学号 54850133)(1)D是抛物线C上的动点，点E(1，3)，若直线AB过焦点F，求|DF|DE|的最小值；(2)是否存在实数p，使|2|2|？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由解：(1)因为直线2xy20与y轴的交点为(0，2)，所以F(0，2)，则抛物线C的方程为x28y，准线l：y2.设过D作DGl于G，则|DF|DE|DG|DE|，当E，D，G三点共线时，|DF|DE|取最小值为235.(2)假设存在实数p，满足条件等式成立联立x22py与2xy20，消去y，得x24px4p0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24p，x1x24p，所以Q(2p，2p)因为|2|2|，所以QAQB，则0.因此(x12p)(x22p)(y12p)(y22p)0.(x12p)(x22p)(2x122p)(2x222p)0，5x1x2(46p)(x1x2)8p28p40，把x1x24p，x1x24p代入得4p23p10，解得p或p1(舍去)因此存在实数p，使得|2|2|成立11(2017唐山一模)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点Q在椭圆上，O为坐标原点(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值解：(1)因为椭圆1(ab0)的离心率为，所以e2，得a22b2，又点Q在椭圆C上，所以1，联立、得a28，且b24.所以椭圆C的方程为1.(2)当直线PN的斜率k不存在时，PN的方程为x或x，从而有|PN|2，S|PN|OM|222；当直线PN的斜率k存在时，设直线PN的方程为ykxm(m0)，P(x1，y1)，N(x2，y2)；将PN的方程代入C整理得(12k2)x24kmx2m280，所以x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)2m.由，得M.将M点坐标代入椭圆C方程得m212k2.又点O到直线PN的距离为d，|PN|x1x2|，Sd|PN|m|x1x2|x1x2|2.综上可知，平行四边形OPMN的面积S为定值2. 典例(本小题满分12分)设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围规范解答：(1)因为|AD|AC|，EBAC，所以EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而圆心A(1，0)，|AD|4.所以|EA|EB|4.(2分)又因为B(1，0)，所以|AB|2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为1(y0)(4分)(2)解：当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120，则x1x2，x1x2，所以|MN|x1x2|.(6分)过点B(1，0)且与l垂直的直线m：y(x1)，点A到直线m的距离为，所以|PQ|24.(8分)故四边形MPNQ的面积S|MN| PQ|12.(9分)可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，8)(10分)当l与x轴垂直时，其方程为x1，|MN|3，|PQ|8，故四边形MPNQ的面积为12.综上可知，四边形MPNQ面积的取值范围为12，8)(12分)1正确使用圆锥曲线的定义：牢记圆锥曲线的定义，能根据圆锥曲线定义判断曲线类型，如本题第(1)问就涉及椭圆的定义2注意分类讨论：当用点斜式表示直线方程时，应分直线的斜率存在和不存在两种情况求解，易出现忽略斜率不存在的情况，导致扣分，如本题第(2)问中的得分10分，导致失2分. 3写全得分关键：在解析几何类解答题中，直线方程与圆锥曲线方程联立后得到的一元二次方程，根据一元二次方程得到的两根之和与两根之积、弦长、目标函数等一些关键式子和结果都是得分点，在解答时一定要写清楚解题程序第一步：利用条件与几何性质，求|EA|EB|4.第二步：由定义，求点E的轨迹方程1(y0)第三步：联立方程，用斜率k表示|MN|.第四步：用k表示出|PQ|，并得出四边形的面积第五步：结合函数性质，求出当k存在时S的取值范围第六步：求出斜率不存在时面积S的值，正确得出结论跟踪训练(2017衡水质检)已知椭圆C：y21，点O是坐标原点，点P是椭圆C上任意一点，且点M满足(1，是常数)当点P在椭圆C上运动时，点M形成的曲线为C.(导学号 54850057)(1)求曲线C的轨迹方程；(2)直线l是椭圆C在点P处的切线，与曲线C的交点为A，B两点，探究OAB的面积是否为定值若是，求OAB的面积，若不是，请说明理由解：(1)设点M的坐标为(x，y)，对应的点P的坐标为.由于点P在椭圆C上，得1，即曲线C的轨迹是椭圆，标准方程为1