函数与导数的复习.doc

函数与导数的复习内容说明（1）函数是高中数学中十分重要的内容，函数思想是思考与解决数学问题的重要思想，它融会了待定系数法、配方法、换元法、反证法、构造法等基本数学方法及数形结合、分类与整合、转化与化归等重要思想. 在解题中涉及的一些数学逻辑方法有：归纳法、演绎法、反证法、分析法、综合法、一般问题特殊化、抽象的问题具体化、复杂的问题简单化等。函数是高中数学最重要的内容，是初等数学与高等数学的主要衔接部分，同时也是贯穿了整个中学数学的一根主线.具有概念性强，内容丰富，与其他知识（特别是方程、不等式、导数等知识）联系广泛等特点，对函数怎么重视都不过分如函数的性质、函数的图象和函数的综合应用每年都炙手可热，特别是二次函数已经成为高考永恒的主题.近年来高考试题对函数的考查更加灵活，函数与不等式、函数与数列、函数与解析几何、函数与三角，甚至是函数与向量相结合的问题层出不穷，除了传统考查形式外，花样还不断翻新，已经发展到了挖掘函数本质、活用性质、新定义和新情境等高层次水平上 深度考查了学生的逻辑思维能力和数学思想方法的应用。（2）导数是高等数学的最为基础的内容，是中学必选的重要知识之一由于导数应用的广泛性，可为解决所学过的函数问题提供更有效的工具或更一般性的方法，导数方法与初等方法相比对技巧性的要求有所降低，因此运用导数方法可以简捷地解决相关问题可以说导数的加入使函数这部分内容更加充盈，也显得更加重要复习策略一深刻理解函数概念，丰富其内涵.1定义域求函数定义时有以下几种情况：分式的分母不为零；偶次方根的被开方数不小于零；对数的真数为正且底数为不等于1的正数；零次幂的底数不为零2解析式：主要方法： 1）待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；2）换元法或配凑法，已知复合函数fg(x)的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；如：求 ：的值域3）消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f(x)；另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法3值域：常用求法 配方法、复合函数法、分离系数法（、单调性法、数形结合法、换元法（）、反函数法、法、不等式法及导数法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域 4反函数1）求法:如求的反函数2）性质：单调性，奇函数，几何性质如: 求的反函数的对称中心5函数的奇偶性与单调性：奇偶性：证明与判断方法、已知奇偶性求参数、奇偶性的应用，常见奇函数。如：， 等单调性：证明与判断方法、已知单调性求参数、单调性的应用(如：与)抽象函数：用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性常见抽象函数如下表所示：对数函数，形如：指数函数，形如： 正比例函数，如：幂函数，形如：等余弦函数，形如：6函数对称性、周期性及综合应用1）对称性：中心对称 如： 轴对称 如： 其它对称如：若，则 常数 推广到 则 常数2）周期性：周期 半周期 四分之一周期如：，周期性对称性的关系：有两个对称性的函数一定具有周期性7导数在理解极值概念时要注意以下几点：1）函数f（x）在点x0处有导数，则函数f（x）在该点处必有切线，且导数值等于该切线的斜率，但函数f（x）在点x0处有切线，函数f（x）在该点处不一定可导.2）极值点是区间内部的点，不会是端点；3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）绝不是单调函数；4）极大值与极小值没有必然的大小关系；5）一般的情况，当函数f（x）在a，b上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在a，b内的极大值点和极小值点是交替出现的；6）导数为0的点是该点为极值点的必要条件，不是充分条件（对于可导函数而言）.而充分条件是导数值在极值点两侧异号.例1是定义在R上的以3为周期的奇函数，且，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ） （A）4（B）5（C）6 （D）7解析：由，所以；又因为是定义在R上的的奇函数，故，又因为所以函数图象关于对称，所以，故选D例2 （2006年重庆卷)已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.（）若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);（）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)= x0,求函数f(x)的解析表达式.分析：（）因为对任意x R，有f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x，所以f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2.又由f(2)=3，得f(3-22+2)-3-22+2，即f(1)=1.若f(0)=a，则f(a-02+0)=a-02+0，即f(a)=a.（）因为对任意xR，有f(f(x)- x2 +x)=f(x)- x2 +x.又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)= x0.所以对任意xR，有f(x)- x2 +x= x0.在上式中令x= x0,有f(x0)-x + x0= x0,又因为f(x0)= x0，所以=0，故x0=0或x0=1.若x0=0，则f(x)- x2 +x=0，即f(x)= x2 x.但方程x2 x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x20.若x2=1,则有f(x)- x2 +x=1，即f(x)= x2 x+1.易验证该函数满足题设条件.综上，所求函数为f(x)= x2 x+1（xR）.例.定义在R上的函数y=f(x)，f(0)0，当x0时，f(x)1，且对任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的xR，恒有f(x)0；（3）求证：y=f(x)在R上单调递增简析：令 即可得（1）令 ， 即可得（2）设，则 即可得（3）例函数(x)的定义域为R，并满足以下条件： 对任意xR，(x)； 对任意，R，有(x)(x) ()()求()的值；()求证：(x)在上是单调增函数；()若abc，且b=ac,求证：(a)+(c) 2(b)分析： 令x=0,y=2, (0)= (0)得(0) x,x(), xx, =()-() (),3x3x()() (a)+(c) 2因为故只需证因为所以得证例下列命题中，正确的是（） 若函数f（x）在点x0处有极限，则函数f（x）在x0处连续；若函数f（x）在点x0连续，则函数f（x）在x0处可导；若函数f（x）在点x0处取得极值，则f （x0）0；若函数在点x0有f （x0）0，则x0一定是函数的极值点.A0个 B1个 C2个 D3个解析： 是错误的，如f （x） 在点x0处不连续；是错误的，如f（x）x在x0处连续，但不可导；是错误的，f（x）在点x0不一定可导，反例同；是错误的，如f（x）x3在x0的导数为零，但x0不是函数的极值点.答案A二熟悉一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数、对勾函数、分区间单调函数（）、带绝对值符号的函数、分段函数、三次函数等的性质及图象，加强以这些函数为载体的逻辑思维训练特别重视二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的相关问题三个“二次”是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关复习时要理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法1二次函数的解析式有四种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（2）顶点式：y=a(x-m)2+n,其中(m,n)是抛物线的顶点。（3）两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根。(4)三点式：2二次函数的应用1）给定区间的值域2）二次方程根的分布(注意区别在某 区间内有两根和至少有一根)3）的应用4）与二次函数有关的参数范围问题5）二次函数与不等式的结合例.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=bx，其中a、b、c满足abc,a+b+c=0,(a,b,cR)(1)求证两函数的图象交于不同的两点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围 (1)证明：由消去y得ax2+2bx+c=0=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac=4(a2+ac+c2)=4(a+c2a+b+c=0,abc,a0,c0,0,即两函数的图象交于不同的两点(2)解设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=，x1x2=|A1B1|2=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2abc,a+b+c=0，a0，cacc，解得(2，)的对称轴方程是(2，)时，为减函数|A1B1|2(3,12),故|A1B1|()例设二次函数f(x)= ax2+bx+c，方程f(x)-x=0的两根x1,x2满足0x1x2.（1）当x(0,x1)时，证明：xf(x)x1.（2）设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明：x0.分析：（1）欲证xf(x)x1，只要0f(x)- xx1-x，即0a（x-x1）（x-x2）x1-x，同除a（x-x1）0，得：0 。（2）欲证x0，即证，而x1,x2是方程ax2+（b-1）x+c=0的两根，所以故=。例.在xOy平面上有一点列P1(a1,b1)，P2(a2,b2)，,Pn(an,bn)，对每个自然数n点Pn位于函数y=2000()x(0a10)的图象上，且点Pn，点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形 (1)求点Pn的纵坐标bn的表达式；(2)若对于每个自然数n，以bn、bn+1、bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；(3)设Cn=lg(bn)(nN*)，若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列Cn前多少项的和最大？试说明理由 解：(1)由题意知 an=n+，bn=2000() (2)函数y=2000()x(0abn+1bn+2 则以bn、bn+1、bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1bn，即()2+()10，解得a5(1) 5(1)a10 (3) 5(1)a10,a=7bn=2000() 数列bn是一个递减的正数数列，因此数列Cn的最大项的项数n满足不等式bn1且bn+11，由bn=2000()1得 n20 n=20 例（2006年江苏卷）设a为实数，记函数的最大值为g(a)。（）设t，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)（）求g(a)（）试求满足的所有实数a分析：（I），要使有意义，必须且，即，且 的取值范围是。由得：，。（II）由题意知即为函数，的最大值，直线是抛物线的对称轴，可分以下几种情况进行讨论：（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，由知在上单调递增，故；（2）当时，有=2；（3）当时，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，若即时，若即时，若即时，。综上所述，有=。（III）当时，；当时，故当时，；当时，由知：，故；当时，要使，必须有，即，此时，。综上所述，满足的所有实数a为：或。 三注意利用数形结合法分析和解决问题例10设定义域为R的函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是（ ）（A）且 （B）且（C）且 （D）且解析：由图象知要使方程有7解，应有有3解，有4解则，选C-22O1-1-11例11已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数)，下面四个图象中的图象大致是( ）O-221-1-212O-2-221-112O-241-1-212O-22-124ABCD（ ）（ ）（ ）（ ） 解析：由图象可知：在上小于等于零，故原函数在上为减函数，故选C例12.已知二次函数y= ax2+bx+c。（1） 对于x1,x2R,且x1 x2，求证：方程f(x)=f(x1)+f(x2)有两个不相等的实根，且只有一个根属于(x1,x2)；（2）若方程f(x)=f(x1)+f(x2)在(x1,x2)内的根为m，且x1,m-,x2成等差数列，设x=x0是f(x)的对称轴方程，求证：x00(x1x2).设g(x)= f(x)-f(x1)+f(x2),则g(x1)g(x2)= f(x1)-f(x1)+f(x2) f(x2)-f(x1)+f(x2)=f(x1)-f(x2)20(f(x1)f(x2),所以在(x1,x2)上必有一个实根。（2）因为x1,m-,x2成等差数列，所以x1+x2=2m-1.由2f(m)= f(x1)+f(x2),得：a(2m2-x12-x22)+b(2m-x1-x2)=0,将上式代入，得：b=-a(2m2-x12-x22),所以x0= 例13在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是（ ）(A)0 (B)1 (C)2(D)3解析：满足性质的是上凸函数分别作出这四个函数的图象，在为上凸函数的有，而为上的下凸函数，在为上凸函数，在为下凸函数，故选B例14设函数f（x）xsinx（xR）.（1）证明f（x+2k）f（x）2ksinx，其中k为整数；（2）设x0为f（x）的一个极值点，证明；（3）设f（x）在（0，+）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a1，a2，an，证明an+1an（n1，2，）.解析:（1）利用三角函数的周期性；（2）求导变形；（3）满足f（x）0的正根x0都为f（x）的极值点，然后再作差an+1an求范围.证明(1)由函数f（x）的定义，对任意整数k，有f（x+2k）f（x）（x+2k）sin（x+2k）xsinx（x+2k）sinxxsinx2ksinx.（2）函数f（x）在定义域R上可导，f（x）sinx+xcosx，令f（x）0，得sinx+xcosx0.显然，对于满足上述方程的x有cosx0，上述方程化简为xtanx.如图所示，此方程一定有解.f（x）的极值点x0一定满足tanx0x0.由sin2x，得sin2x0.因此，x02sin2x0.（3）设x00是f（x）0的任意正实根，即x0tanx0，则存在一个非负整数k，使x0（+k，+ k），即x0在第二或第四象限内.由式，f（x）cosx（tanx+x）在第二象限或第四象限中的符号可列表如下：x（+k，x0）x0（x0，+k） f （x）的符号k为奇数0+k为偶数+0所以满足f（x）0的正根x0都为f（x）的极值点.由题设条件，a1，a2，an，为方程xtanx的全部正实根且满足a1a2an，那么对于n1，2， tan（an+1an）（tanan+1tanan）/（1+tanan+1tanan）= -（an+1an）/（1+tanan+1tanan）. 由于+（n1）an+（n1），+nan+1+n，则an+1an，由于tanan+1tanan0，由式知tan（an+1an）0.由此可知an+1an必在第二象限，即an+1an.综上，an+1an.四增强应用函数思想及方法的意识，解决相关问题例15：已知，设，试确定实数的取值范围，使得对于一切大于1的正整数，不等式恒成立分析：本例无法求和，常规数列方法不起作用，需用非常规手段注意要使不等式恒成立，只需不等式：恒成立问题转化为求注意，可证函数是增函数，这样把问题转化为解不等式，得到例16已知数列an各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的nN*，都有4Sn=(an+1)2(1)求数列an的通项公式；(2)若2ntSn对于任意的nN*成立，求实数t的最大值。分析：利用Sn-Sn-1=an(n2)易得an=2n-1，从而Sn=n2则问（2）转化为t恒成立，故只需求出数列的最小项，有以下求法：法一：研究数列bn的单调性。法二：数列作为一类特殊的函数，欲求的最小项可先研究连续函数的单调性，求导得，易得为函数的极小值也是最小值点，又，所以