谈导数的应用.doc

谈导数的应用河南省实验中学 卫江燕导数、变化率是数学史上一个重要的转折，它是沟通初高等数学知识的桥梁,由此数学发展到了变量数学的新阶段，开辟了数学研究的崭新天地，是具有划时代意义的里程碑。高中数学引入导数，为数学问题的解决提供了有力的工具，注入了新的活力。很多数学问题如果利用导数探求思路，不仅能迅速找到问题的切入点，而且能够把复杂的分析推理转化为简单的函数问题，达到避繁就简、化难为易、事半功倍的效果.一、求解与函数有关的问题研究近几年的全国高考题，利用导数求函数单调区间、极值和最值的研究函数性质的数学试题有上升的趋势。 例1、设函数，.(1) 证明：当，且时，；(2) 点在曲线上，求曲线在点处的切线与轴和轴的正向所围成的三角形面积表达式(用表达).分析：着重分析第（2）问，题目中出现了“切线”的字眼，首先由求导数切入，再求出切线方程，思路就很清晰了。当时，曲线在点处的切线方程为：，即，切线与轴、轴正向的交点为和.故所求三角形面积的表达式为：.在这类试题中，导数只不过是一种工具，是创设这类试题情景的一种取向，求导的过程并不难，它不是这类试题的最终落脚点，它的最终落脚点是考查函数的性质及等价转化，分离变量，分类讨论等重要的数学思想方法二、利用导数研究不等式问题题目隐含着利用导数求解的条件，如同时含有几类函数的不等式、高次不等式、高次方程的根、最优化问题等，都可以考虑利用导数，这是学生的最难点.例2（2004年广东高考第（21）题）设函数，其中常数为整数. (1) 当为何值时，； (2) 定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点,使.试用上述定理证明:当整数时,方程,在内有两个实根.分析：着重分析第（1）问，条件给出的函数是由一个一次函数和一个自然对数组成，要解决一个不等式成立的问题，显然如用传统的纯解不等式的方法是很难的，这时利用导数很快得以解决. 因为函数，连续，且，令，得当时，为减函数，当时，为增函数，根据函数极值判别方法，为极小值，而且对都有. 故当整数时，.三、求参数的范围问题例3、设函数，其中.求的取值范围，使函数在区间上是单调函数.分析：，函数在上是单调函数，即或在上恒成立。由，得,在上是增函数，的最小值是0，所以，此与题设.由，得，在上是减函数，连续递增，且其值小于1，所以. 综上所述，当时，函数在区间上是单调函数.点评：已知函数单调求参数范围时，要在定义域区间上令，因在定义域范围内有限个导数等于零的点不影响其单调性.四、解决实际问题例4请您设计一个微型仓库,它的下部形状是高为1m的正四棱柱,上部的形状是侧棱长为3cm的正四棱锥,试设计四棱锥的高,使仓库的体积最大？解：如图,设四棱锥的高为m, 是正四棱锥,且,又ABCD是正方形,则仓库的体积，,令解得或（舍去）,当时即在上递增,当时,即在上递减,当时,取最大值,故四棱锥的高为1m时仓库的体积最大.点评：在求实际问题中的最值时,一般是先找出自变量,因变量,建立函数关系式,并求出定义域,根据定义域对所给的问题进行取舍.总之，将导数与一些传统内容，尤其与解析几何，不等式，函数等有机的结合在一起设问，使得