九年级数学中考第二轮专题复习⑵ 阅读理解问题 探索性问题华东师大版知识精讲.doc

初三数学中考第二轮专题复习 阅读理解问题 探索性问题华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容： 中考第二轮专题复习 阅读理解问题 探索性问题二. 知识讲解：1. 阅读理解问题阅读理解题一般由“阅读”和“问题”两部分构成，其“阅读”部分往往是向学生提供一个自学材料，其内容多以定义一个新概念（新法则），或展示一个题的解题过程，或给出一种新颖的解题方法，或介绍某种图案的设计流程等.这类试题要求同学们能透彻理解课本中的所学内容，善于总结解题规律，并能准确阐述自己的思想和观点.大家必须先通过自学，理解其内容、过程、方法和思想，把握其本质，才可能解答试题中提出的“问题”.这类试题一般篇幅较长、形式新颖、思想丰富、构思精妙，极具思考性和挑战性，能较好地考查同学们对数学知识的理解水平、数学方法的运用水平及分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力、随机应变能力和知识的迁移能力等，因而备受命题者的青睐.这类问题的主要题型有：阅读特殊范例，推出一般结论;阅读解题过程，总结解题思路和方法;阅读新知识，研究新问题等.2. 探索性问题近几年全国各地的中考试卷中，常常能看到许多值得回味的探究性问题.所谓探究性问题，是指问题的条件或结论尚不明确，需通过探究去补充条件或完善结论的一类问题.这类问题能很好地实现对同学们数学品质的考查，这和新课程的理念相符，因此探究性问题也就很自然地成为近几年新课程中考的热点问题.探究性问题的“探究性”是与传统问题的“明确性”相对而言的.一般情况下，传统问题条件完备，结论明确，只需计算结果或对结论加以论证.而探究性问题则是通过学习对问题剖析，选择并建立恰当的数学模型，经过观察、试验、分析、比较、类比、归纳、猜测、推断等探究性活动来探索解题思路.【典型例题】例1. 四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点.如图l，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PAPC，则点P为四边形ABCD的准等距点.图1（1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点. （2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）.（3）如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PAPC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且CDF=CBE，CE=CF.求证：点P是四边形ABCD的准等距点.（4）试研究四边形的准等距点个数的情况（说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明）.解析：由定义，“准等距点”必须同时满足以下两个条件：在这个四边形的一条对角线所在直线上（除对角线的中点外）;到另一条对角线两端的距离相等（即在另一条对角线的垂直平分线上）.这两者缺一不可，只要抓住这两条，问题就变得容易了.（1）如图5，点P即为所画点.（ 点P不是AC中点，答案不唯一）.（2）如图6，点P即为所作点.（答案不唯一）.（3）如图7，连结DB， 在DCF与BCE中， DCF=BCE， CDF=CBE， CF=CE. DCFBCE（AAS）， CD=CB， CDB=CBD. PDB=PBD， PD=PB， PAPC 点P是四边形ABCD的准等距点. （4）当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线或者对角线互相平分且不垂直时，准等距点的个数为0个; 当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1个; 当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2个;四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个.例2. 将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式.若，则 .分析：记号叫什么与本题怎么解之间的关系不大，把陌生的符号“| |”转化为熟悉的四则运算才是关键，此题本质上是一个一元二次方程问题.解：由定义，“| |”实质上表示的是一种积差运算“对角乘积的差”，故，解得.例3. 提出问题：如图，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，PBC与ABC和DBC的面积之间有什么关系？探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：当APAD时（如图）：APAD，ABP和ABD的高相等，=.PD=ADAP=AD，CDP和CDA的高相等，=.=-=-=-（-）-（-）+.当APAD时，探求、和之间的关系，写出求解过程;当APAD时，、和之间的关系式为：_;一般地，当APAD（n表示正整数）时，探求、和之间的关系，写出求解过程;问题解决：当APAD（01）时，、和之间的关系式为：_.解析：本题以大家熟悉的知识为背景来创设阅读新情境，让大家从特例入手，通过自学例题解法，探索发现解题的思路技巧，并用此思路技巧解决新的问题，是一道旨在凸显探究和发现过程的好题.示例中暗示的思路技巧为：通过割补法将转化为与和的差;之后，利用“同高的两个三角形的面积比等于底的比”，将和分别用和来代换;再分别用与和的差来表示和，从而建立起与和之间的关系.同理，得=+（过程略）;=+;=+（过程略）;问题解决：当APAD，得AP=AD.把作为一个整体代入上式中的，化简得=+.说明：问题看起来很复杂，但只要按照示例中的思路技巧去类比和模仿，一般不会做错;整个解题过程用到了割补法和整体、转化的数学思想.解： APAD，ABP和ABD的高相等， SABPSABD .又PDADAPAD，CDP和CDA的高相等，SCDPSCDA .SPBC S四边形ABCDSABPSCDPS四边形ABCDSABDSCDAS四边形ABCD（S四边形ABCDSDBC）（S四边形ABCDSABC）SDBCSABC .SPBCSDBCSABC . SPBCSDBCSABC ; SPBCSDBCSABC ;APAD，ABP和ABD的高相等，SABPSABD .又PDADAPAD，CDP和CDA的高相等，SCDPSCDA .SPBC S四边形ABCDSABPSCDPS四边形ABCDSABDSCDAS四边形ABCD（S四边形ABCDSDBC）（S四边形ABCDSABC）SDBCSABC .SPBCSDBCSABC .问题解决： SPBCSDBCSABC .例4. 解方程x（x1）=2.有学生给出如下解法： x（x1）=2=12=（1）（2）， 或或或解上面第一、四方程组，无解;解第二、三方程组，得 x=2或x=1. x=2或x=1.请问：这个解法对吗？试说明你的理由.解析：与传统辨析题不同的是，此题的解答更具开放性，不管判断解法是对还是错，只要所述理由充分都对，这恰好是该题设计的精妙之处.答案1：对于这个特定的已知方程，解法是对的. 理由是：一元二次方程有根的话，只能有两个根，此学生已经将两个根都求出来了，所以对.答案2：解法不严密，方法不具有一般性.理由是：为何不可以2=3等，得到其它的方程组？此学生的方法只是巧合，求对了方程的解.例5. 生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：如果由信纸折成的长方形纸条（图）长为2 6 cm，宽为xcm，分别回答下列问题： （1）为了保证能折成图的形状（即纸条两端均超出点P），试求x的取值范围.（2）如果不但要折成图的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离（用x表示）.解析：本题设计精巧，以学生喜闻乐见的折纸为背景，材料鲜活，表述简明，考查了同学们的数学建模能力.如果不亲自动手实践，仅凭想像，是很难得到正确结果的.把折好的便条打开，则得到带有折痕（实线）的纸条。要保证折后纸条两端均超出点P，则必须满足，即0;纸条两端超出点P的长度相等，也即=，折叠时起点M与点A的距离为AP+PM，而PM=，所以AP+PM=+=（13-）cm.例6. 探索nn的正方形钉子板上（n是钉子板每边上的钉子数），连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：当n=2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与，所以不同长度值的线段只有2种，若用S表示不同长度值的线段种数，则S=2;当n=3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1，2，2五种，比n=2时增加了3种，即S=2+3=5.观察图形，填写下表：钉子数（nn）S值222332+34423（ ）55（ ）写出（n1）（n1）和nn的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系;（用式子或语言表述均可）对nn的钉子板，写出用n表示S的代数式.解析：阅读理解探究规律时，如果觉得题目提供的对应值的组数偏少，那么自己还可以根据题意再列出几组，这样有利于观察分析从而发现规律.观察图形，当=4时，S=9;当=5时，S=14.类似表格中S值的表示形式，表格中应填的答案为：4，2345（或14）;细细观察表格中4对与S的对应值，不难发现，第24组中每组S的值总比它前一组S的值多出一个数，而这个数恰好等于该组的钉子数，于是我们可以大胆地猜想：的钉子板比（-1） （-1）的钉子板中不同长度的线段种数增加了种;（或写成：分别用a，b表示nn与（n1）（n1）的钉子板中不同长度的线段种数，则a=bn.）由表格中S值的表示和变化规律，得：S=234n. 例7. 如图，已知，ABC中，BAC90，ABAC，AE是过点A的一条直线，且B点和C点在AE的异侧，BDAE于D点，CEAE于E点求证：（1）BDDECE； （2）若直线AE绕点A旋转到图所示的位置时（BDCE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请予以证明 （3）若直线AE绕点A旋转到图所示的位置时（BDCE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？直接写出结果，不需证明 （4）归纳前三小题，用简捷的语言表述BD、DE、CE的关系.解析：此题是一道在运动变化的过程中寻找规律的探究题型，如图，不难发现，整个题目围绕ABD与CAE全等而展开，利用全等三角形的对应边相等可找到BD与DE、CE的关系. BDAE于D点，CEAE于E点， ADB=AEC=90.BAC90 ADB90，ABD+BAD=CAE+BAD=90，ABD=CAEAB=CA ABDCAE.BD=AE，AD=CE.AE=AD+DE，BD=CE+DE.BD= DE-CE证明证明方法与（1）相同.BD= DE-CE.归纳可知：当B、C在AE异侧时， BD=DE+CE;当B、C在AE同侧时， BD=DE-CE.技巧点拨：解运动变化的一类题型时，需要首先对全题有一个总览的过程，即先要把整个题目运动变化的过程有个了解，然后观察探究其中不变的因素，寻找变与不变之间的关系.试验、归纳、猜想、证明是解决规律探索型题的重要思想方法.例8. 如图，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且.求抛物线的对称轴;写出三点的坐标并求抛物线的解析式;探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存在是等腰三角形.若存在，求出所有符合条件的点坐标;不存在，请说明理由.分析：本题为存在性探究题，一般是在假设存在的基础上建立适当的数学模型（如函数、方程、不等式等），运用一定的数学思想方法（如数形结合、分类讨论等），通过计算或推理确定是否存在.解：抛物线的对称轴 把点坐标代入中，解得设P（，）（ACAB在图中画出ABC的所有“友好矩形”指出其中周长最小的矩形并加以证明. 3. 阅读下列材料并解决后面的问题. 在锐角ABC中A、B、C的对边分别是a、b、c.过A作ADBC于D（如图）则sinB=sinC=即AD=csinBAD=bsinC于是csinB=bsinC即. 同理有. 所以（*） 即：在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等. 在锐角三角形中若已知三个元素a、b、A运用上述结论（*）和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、B、C请你按照下列步骤填空完成求解过程： 第一步：由条件a、b、A B; 第二步：由条件 A、B. C;第三步：由条件. c.4. 阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+100？经过研究这个问题的一般性结论是1+2+3+其中是正整数.现在我们来研究一个类似的问题：12+23+=？观察下面三个特殊的等式 将这三个等式的两边相加可以得到12+23+34读完这段材料请你思考后回答：12+23+100101 .123+234+n（n+1）（n+2）= .1234+2345+n（n+1）（n+2）（n+3）= .5. 阅读：我们知道在数轴上x1表示一个点而在平面直角坐标系中x1表示一条直线;我们还知道以二元一次方程2xy10的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y2x1的图象，它也是一条直线如图.观察图可以得出：直线x1与直线y2x1的交点P的坐标（1，3）就是方程组的解，所以这个方程组的解为在直角坐标系中x1表示一个平面区域即直线x1以及它左侧的部分如图;y2x1也表示一个平面区域即直线y2x1以及它下方的部分如图. 回答下列问题：（1）在直角坐标系中用作图象的方法求出方程组的解;（2）用阴影表示所围成的区域.6. 请耐心阅读然后解答后面的问题：上周末小明在书城随手翻阅一本高中数学参考书时无意中看到了几个等式：sin51cos12+cos51sin12=sin63，sin25cos76+cos25sin76=sin101一个猜想出现在他脑海里，回家后他马上用科学计算器进行验证发现自己的猜想成立并能推广到一般.其实这是大家将在高中学的一个三角函数知识.你是否和小明一样也有想法了？下面考考你看你悟到了什么：根据你的猜想填空：sin37cos48+cos37sin48=_.sincos+cossin_.尽管75角不是特殊角请你用发现的规律巧算出sin75的值.7. 如图四边形ABCD是正方形M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点AB重合）另一条直角边与CBM的平分线BF相交于点F.如图1当点E在AB边的中点位置时：通过测量DE、EF的长度猜想DE与EF满足的数量关系是_ ;连接点E与AD边的中点N猜想NE与BF满足的数量关系是_;请证明你的上述两猜想.如图2当点E在AB边上的任意位置时请你在AD边上找到一点N使得NE=BF进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系.8. 在平面内如果一个图形绕一个定点旋转一定角度后能与自身重合那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为图形的一个旋转角.例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90后能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形它有一旋转角为90.（1）判断下列命题的真假（在相应的括号内填上“真”或“假”）.等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180.（ ） 矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180（ ）（2）填空：下列图形中是旋转对称图形且有一个旋转角为120的是 （写出所有正确结论的序号）：正三角形;正方形;正六边形;正八边形 . （3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为72，并且分别满足下列条件：是轴对称图形但不是中心对称图形：_. 既是轴对称图形又是中心对称图形：_.9. 先阅读下列材料再解答后面的问题：材料：23=8此时3叫做以2为底8的对数，记为.一般地若则n叫做以为底b的对数，记为（即），如，则4叫做以3为底81的对数，记为.问题：（1）计算以下各对数的值：.（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？之间又满足怎样的关系式？ （3）由（2）的结果你能归纳出一个一般性的结论吗？根据幂的运算法则：以及对数的含义证明上述结论.10. 某校研究性学习小组在研究相似图形时发现相似三角形的定义、判定及其性质可以拓展到扇形的相似中去.例如可以定义：“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”;相似扇形有性质：弧长比等于半径比、面积比等于半径比的平方.请你协助他们探索这个问题.写出判定扇形相似的一种方法：若 则两个扇形相似;有两个圆心角相等的扇形其中一个半径为a、弧长为m，另一个半径为2a，则它的弧长为_ ;如图1是一完全打开的纸扇，外侧两竹条AB和AC的夹角为120，AB为30cm，现要做一个和它形状相同、面积是它一半的纸扇（如图2），求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径.11. 如图，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上.动点D在线段BC上移动（不与B，C重合），连接OD，过点D作DEOD，交边AB于点E，连接OE.记CD的长为t.当t时，求直线DE的函数表达式;如果记梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值;若不存在，请说明理由;当OD2DE2的算术平方根取最小值时，求点E的坐标.试题答案2. （1） 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.（2） 此时共有2个友好矩形，如图的BCAD、ABEF.易知矩形BCAD、ABEF的面积都等于ABC面积的2倍 ABC的“友好矩形”的面积相等. （3） 此时共有3个友好矩形如图的BCDE、CAFG及ABHK，其中矩形ABHK的周长最小 . 证明如下：易知这三个矩形的面积相等令其为S. 设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1、L2、L3，ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c则L1=+2a，L2=+2b，L3=+2c . L1- L2=（+2a）-（+2b）=2（a-b）而 abSab L1- L20即L1 L2 .同理可得L2 L3 . L3最小即矩形ABHK的周长最小.3. 解：， A+B+C=180a、A、C或b、B、C，或4. 解：343400（或）5. 解：（1）如图所示在坐标系中分别作出直线x2和直线y2x2这两条直线