信号与系统实验五.doc

实验五 连续时间系统的复频域分析一、实验目的1、理解拉普拉斯变换、逆变换的定义，掌握利用MATLAB实现解拉普拉斯变换、逆变换的的方法；2、掌握几种基本信号的拉普拉斯变换；3、掌握利用MATLAB绘制连续系统零、极点的方法；4、掌握系统函数H(s)的求解。二、实验内容 1、已知连续时间信号，求该信号的拉普拉斯变换，并用MATLAB绘制拉普拉斯变换的曲面图。 2、求的拉氏变换。 3、求的拉氏逆变换。4、求连续时间信号的拉氏变换，用MATLAB绘制其幅度曲面图，并通过三维曲面图观察分析的复频域特性。5、已知某连续系统的的系统函数为，试用MATLAB求出该系统的零极点，画出零极点分布图。 6、已知，绘制阶跃响应图形、冲激响应图形和频率响应图形。三、实验仪器及环境 计算机1台，MATLAB7.0软件。四、实验相关知识1、拉普拉斯变换对 2、拉氏变换的性质（1）线性 若，则 ，为常数。（2）原函数微分 若，则（3）原函数积分 若，则（4）延时 若，则（5）S域平移 若，则（6）尺度变换 若，则（7）初值 若及可以进行拉氏变换，且，则 （8）终值设，的拉氏变换存在，若，则（9）卷积 若，为有始信号，则 ，（10）S域微分 若，则，取整数（11）S域积分 若，则五、实验要求：1、事先预习该实验所涉及到的理论知识和基本原理；2、理解和掌握MATLAB有关函数调用的方法。六、实例（一）利用MATLAB符号运算功能实现拉普拉斯变换 直接调用MATLAB的laplace( )函数来实现连续时间信号的单边拉普拉斯变换，调用格式为1、求的拉普拉斯变换。 syms t; F=cos(2*t); L= laplace(f)运行结果为： L= s/(s2+4)即所求的拉普拉斯变换为2、求的拉普拉斯变换。 f=sym(exp(-t)*sin(a*t); L=laplace(f) 运行结果为： L =a/(s+1)2+a2) 即所求的拉普拉斯变换为（二）拉普拉斯逆变换的MATLAB实现利用MATLAB符号运算功能实现拉普拉斯逆变换。调用MATLAB的ilaplace( )函数来实现连续时间信号的拉普拉斯逆变换，调用格式为3、 分别求，拉普拉斯反变换。计算的拉普拉斯反变换程序如下：syms s;L=(4*s+5)/(s2+5*s+6);F=ilaplace(L)运行结果为：F = 7*exp(-3*t)-3*exp(-2*t)即所求的拉普拉斯反变换为 计算的拉普拉斯反变换程序如下：clear all;F=sym(s2/(s2+1); ft=ilaplace(F) 运行结果为：ft =dirac(t)-sin(t)即所求的拉普拉斯反变换为（三）部分分式展开实现拉普拉斯反变换 设连续信号的拉普拉斯变换为通过MATLAB中的residue( )函数可以实现拉普拉斯变换的部分分式展开，从而求连续时间信号的拉普拉斯反变换。调用格式为其中输入参量num和den分别是由拉普拉斯变换的分子和分母多项式系数构成的行向量。函数将返回三个输出参量k、p、c，其中p为包含所有极点位置的列向量，k为包含所有部分分式展开系数的列向量，c为包含部分分式展开的多项式的系数的行向量，若（为真分式），则c返回为空阵。 利用residue( )函数求出部分分式展开的系数及其极点位置后，就可以求得的拉普拉斯反变换。4、利用部分分式展开法求的拉普拉斯反变换。程序如下：clear all;format rat;num=1 2;den=1 4 3 0;k,p,c=residue(num,den)运行结果为: k = -1/6 -1/2 2/3 p = -3 -1 0 c = 即得展开式为： 然后再由基本的拉普拉斯变换对可知，的反变换为注意：在利用residue( ) 时应注意原来的多项式形式。5、利用部分分式展开法求的拉普拉斯反变换。解： 先将改写为分子多项式与分母多项式的形式程序如下： a=1 5 4; b=1 5 6 0;k,p,c=residue(a,b)运行结果为: k = -0.6667 1.0000 0.6667p =-3.0000-2.00000c = 即得展开式为 反变换为 6、利用部分分式展开法求的拉普拉斯反变换。 程序如下： clear all; num=2 3 0 5;den=conv(1 1,1 1 2); k,p,c=residue(num,den) 运行结果为 k = -2.0000 + 1.1339i -2.0000 - 1.1339i 3.0000 p = -0.5000 + 1.3229i -0.5000 - 1.3229i -1.0000 c = 2 即可得的展开式 上式留数中有一对共轭复数，求时域表达式比较复杂，利用cart2pol( )函数可将其转换为模和相角的形式。其调用格式为TH, R= cart2pol(X,Y )式中TH是极坐标的相角，R是极坐标的模，X、Y为笛卡儿坐标的横、纵坐标。在上面程序最后增加下列语句，即得到极坐标形式： angle,mag=cart2pol(real(k),imag(k) 运行结果为angle = 2.6258 -2.6258 0mag = 2.2991 2.2991 3.0000 即得的展开式为 然后再由基本的拉氏变换对可知，的反变换为7、利用部分分式展开法求的拉普拉斯反变换。程序如下： clear all;a=1 5 9 7;b=1 3 2; k,p,c=residue(a,b)运行结果为k = -1 2 p = -2 -1 c = 1 2 即可得的展开式为 的反变换为 （四）拉普拉斯变换曲面图的MATLAB实现信号的拉普拉斯变换可以写成如下形式其中为信号拉普拉斯变换的模，为的辐角。从三维几何空间看，和是复变量s的两个复函数，对应着s平面上的两个曲面。如果能绘制出和随s变化的三维曲面，我们就可以直观地观察和分析连续信号拉普拉斯变换的复频域特性。随s变化的曲面称为的幅度曲面图，随s变化的三维曲面称为的相位曲面图。MATLAB为拉普拉斯变换三维曲面图的可视化表现提供了便捷的方法和工具。下面通过举例说明。8、绘制单边指数信号拉普拉斯变换幅度曲面图步骤如下： （1）定义两个向量x和y，来确定绘制曲平面的复平面横坐标（实轴）和纵坐标（虚轴）的范围；（2）调用meshgrid( )函数产生包含绘制曲面图的s平面区域所有等间隔取样点的复矩阵s；（3）计算复矩阵s定义的各样点处信号拉普拉斯变换的函数值，并调用abs( )函数求其模的大小；（4）调用mesh( )函数绘制其幅度曲面图。程序如下： x=-1:0.1:0.5; y=-5:0.1:5; %定义绘制曲面图的横坐标范围和纵坐标范围x,y=meshgrid(x,y);s=x+i*y; %产生绘制曲面图范围的复矩阵F=abs(1./(s+2); %求单边指数信号的拉普拉斯变换幅度值mesh(x,y,F); %绘制拉普拉斯变换幅度曲面图surf(x,y,F)colormap(hsv); %绘图修饰title(单边指数信号拉普拉斯变换幅度曲面图); %设置文本标题xlabel(实轴) %设置横坐标标题 ylabel(虚轴) %设置纵坐标标题 运行结果如图。图4-1 信号拉普拉斯变换幅度曲面图9、已知单边矩形信号，试用MATLAB实现交互式地该变信号的时域尺度因子，绘制的时域波形及拉普拉斯变换曲面图，并通过曲面图观察和分析拉普拉斯变换尺度变换特性。程序如下：clear all；ps=input(请输入信号尺度变换因子:); %交互式输入尺度变换因子t=-1: 0.007:3;f=heaviside(ps*t)-heaviside(ps*t-1); %定义单边矩形脉冲信号 g(at)subplot(2,2,1) plot(t,f,b); %绘制单边矩形脉冲信号g(at)时域波形set(gca,color,1 1 1);set(gca,XColor,0 0 0); set(gca,YColor,0 0 0); set(gca,ZColor,0 0 0);axis(-1,3,-0.2,1.2);title(矩形脉冲信号时域波形)xlabel(时间);a=0:0.09:5;b=-10:0.09:10;a,b=meshgrid(a,b);c=a+b*i; %定义拉普拉斯变换曲面图S平面绘制范围 c=c./ps;c=(1-exp(-c)./c;c=abs(c)./ps; %计算拉普拉斯变换幅度曲面的值 subplot(2,2,2)mesh(a,b,c); %绘制拉普拉斯变换幅度曲面图axis(0,5,-10,10,0,1.5);set(gca,color,1 1 1);set(gca,XColor,0 0 0); set(gca,YColor,0 0 0); set(gca,ZColor,0 0 0);title(拉普拉斯变换幅度曲面图)xlabel(实轴);ylabel(虚轴) 运行结果如图4-2。图4-2 (a) 矩形脉冲信号时域波形及拉普拉斯变换幅度曲面图(a=0.5)图4-2 (b) 矩形脉冲信号时域波形及拉普拉斯变换幅度曲面图(a=1)10、试用MATLAB绘制单边矩形脉冲信号的拉普拉斯变换幅度曲面图及该信号的幅度频谱曲线，观察分析拉普拉斯变换幅度曲面图在虚轴上的对应曲线，并将其与信号的傅立叶变换绘制的振幅频谱进行比较。 程序如下：%观察分析拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系%绘制矩形时间信号傅里叶变换曲线clear all;w=-20:0.1:20;%确定频率范围Fw=(2*sin(w).*exp(i*w)./w;%计算傅里叶变换plot(w,abs(Fw)%绘制信号幅度频谱曲线title(傅里叶变换（幅度频谱曲线）)xlabel(频率omega)pause %绘制单边矩形脉冲信号拉普拉斯变换幅度曲面图clf;a=-0:0.1:5;b=-20:0.1:20;a,b=meshgrid(a,b);c=a+i*b; %确定绘图区域c=(1-exp(-2*c)./c;c=abs(c);%计算拉普拉斯变换mesh(a,b,c);%绘制曲面图surf(a,b,c);view(-60,20)%调整观察视角axis(-0,5,-20,20,0,2);title(拉普拉斯变换幅度曲面图);colormap(hsv)运行结果如图4-3。图4-3（a）单边矩形脉冲信号幅度频谱曲线图图4-3（b）单边矩形脉冲信号拉氏变换幅度曲面图（五）连续时间系统的零、极点分析与MATLAB实现利用MATLAB绘制连续系统零、极点分布图如果连续系统的系统函数已知，则可利用MATLAB提供的函数tf、pole、zero、pzmap可以方便地求出系统函数的零、极点，并绘出其零、极点分布图。 首先，根据系统函数分子和分母多项式的系数，调用tf函数生成系统函数对象（tf对象）。tf调用格式为其中输入参量num为系统函数分子多项式系数构成的行向量，den为系统函数分母多项式系数构成的行向量。输出参量sys为MATLAB定义的系统函数对象。 如，对系统函数的系统，生成其对应系统函数对象的命令如下： num=2 5 1; den=1 2 3; sys=tf(num,den) 命令运行结果如下：Transfer function:2 s2 + 5 s + 1- s2 + 2 s + 3注意：在生成系统函数分子和分母多项式系数行向量num和den时，行向量的元素一定要由多项式的最高幂次直到常熟项，缺项用0补齐。其次，生成函数对象sys后，即可调用pole函数、zero函数、pzmap函数求出系统的零、极点，并绘制其零极点分布图。(a) pole( )函数pole函数用于计算系统函数的极点，调用格式为p=pole(sys)输出参量p为返回包含系统函数所有极点位置的列向量。(b) zero( )函数 zero函数用于计算系统函数的零点，调用格式为z= zero(sys) 输出参量z为返回包含系统函数所有零点位置的列向量。 (c) pzmap( )函数pzmap函数用于绘制系统函数的零、极点分布图和计算系统函数的零、极点位置。调用格式为（1） pzmap(sys)调用该命令直接绘制出系统函数的零、极点分布图。（2）p,z=pzmap(sys) 输出参量p,z为返回包含系统函数所有极点、零点位置的列向量。调用该命令并不绘制系统函数的零、极点分布图。 11、已知系统函数为，利用MATLAB求出该系统的零、极点，并画出零、极点分布图。程序如下：clear all；a=1 0 -4;b=1 2 -3 2 1;h=tf(a,b);p=pole(h) % 计算系统函数极点位置列向量z=zero(h) % 计算系统函数零点位置列向量pzmap(h)运行结果为p = -3.1300 0.7247 + 0.6890i 0.7247 - 0.6890i -0.3195 z = 2.000 -2.000 绘制的系统函数零极点分布图如图4-4。 图4-4 利用pzmap绘制的系统零极点分布图另外，也可使用多项式求根函数roots( )来求系统函数的零、极点分布图。12、已知系统函数为，利用MATLAB求出该系统的零、极点，并画出零、极点分布图。程序如下：clear all；a=1 -1;b=1 2 2;zs=roots(a)ps=roots(b)plot(real(zs),imag(zs),o,real(ps),imag(ps),kx,markersize,10);axis(-2 2 -2 2);grid on;legend(零点,极点) %在指定位置标出图例说明 程序运行结果：zs = 1ps = -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i零、极点分布如图4-5所示。 图4-5 利用roots函数求出的系统零、极点分布图 也可以利用pzmap函数画出。程序如下：b=1 -1;a=1 2 2;sys=tf(b,a);pzmap(sys);axis(-2 2 -2 2)程序运行结果如图4-6所示。 图4-6利用pzmap函数画出的系统零极点分布图利用MATLAB对连续系统进行零、极点分析 13、已知系统函数分别为（1） （2） （3） 求系统函数的零极点分布图，并绘制出对应的冲激响应的时域波形，观察分析系统函数极点位置对冲激响应时域特性的影响。解 ：绘制系统（1）的零极点分布图，及冲激响应时域波形程序如下：clear all;num=1; den=1 0 4;sys=tf(num,den); pzmap(num,den); axis(-1 1 -4 4)pauseimpulse(num,den); % 求系统的冲激响应pause运行结果如图4-7。图4-7（a）系统（1）的零、极点分布图 图4-7（b）系统（1）的冲激响应时域波形绘制系统（2）零、极点分布图及冲激响应时域波形 clear all;num=1; den=1 2 17;sys=tf(num,den); pzmap(num,den); axis(-1.5 1.5 -4.5 4.5)pauseimpulse(num,den); % 求系统的冲激响应pause运行结果如图4-8。图4-8（a）系统（2）的零极点分布图 图4-8（b）系统（2）的冲激响应时域波形绘制系统（3）的零极点分布图及冲激响应时域波形 程序如下：clear all;num=1; den=1 -2 17;sys=tf(num,den); pzmap(num,den); axis(0 1.5 -4.5 4.5);pauseimpulse(num,den)运行结果如图4-9。图4-9（a）系统（3）的零极点分布图 图4-9（b）系统（3）的冲激响应时域波形14、已知系统函数为（1）（2）（3）分别绘制出上述3个系统的零极点分布图，并绘制出对应的冲激响应的时域波形，观察分析系统函数零点位置对冲激响应时域波形的影响。解：绘制系统（1）零、极点分布图及冲激响应时域波形 clear all;num=1; den=1 2 17;sys=tf(num,den);set(gcf,color,w)subplot(3,2,1);pzmap(sys); subplot(3,2,2);impulse(num,den)%绘制系统（2）零、极点分布图及冲激响应时域波形 num=1 8; den=1 2 17;sys=tf(num,de