高二数学第一节椭圆

2 1 1椭圆及其标准方程 一 课题引入 生活中的椭圆 如何精确地设计 制作 建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢 椭圆的画法 二 讲授新课 1 椭圆定义 平面内与两个定点的距离和等于常数 大于 的点的轨迹叫作椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 注意 椭圆定义中容易遗漏的三处地方 1 必须在平面内 2 两个定点 两点间距离确定 常记作2c 3 绳长 轨迹上任意点到两定点距离和确定 常记作2a 且2a 2c 若2a F1F2轨迹是什么呢 轨迹是一条线段 若2a F1F2轨迹是什么呢 轨迹不存在 求动点轨迹方程的一般步骤 坐标法 1 建立适当的坐标系 用有序实数对 x y 表示曲线上任意一点M的坐标 2 写出适合条件P M 3 用坐标表示条件P M 列出方程 4 化方程为最简形式 5 证明以化简后的方程为所求方程 可以省略不写 如有特殊情况 可以适当予以说明 2 求椭圆的方程 探讨建立平面直角坐标系的方案 方案一 原则 尽可能使方程的形式简单 运算简单 一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴 对称 简洁 解 取过焦点F1 F2的直线为x轴 线段F1F2的垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系 如图 设M x y 是椭圆上任意一点 椭圆的焦距2c c 0 M与F1和F2的距离的和等于正常数2a 2a 2c 则F1 F2的坐标分别是 c 0 c 0 由椭圆的定义得 限制条件 代入坐标 问题 下面怎样化简 移项 再平方 两边再平方 得 整理得 由椭圆定义可知 两边除以得 叫做椭圆的标准方程 它所表示的椭圆的焦点在x轴上 焦点是 中心在坐标原点的椭圆方程 其中 合作探究 如果椭圆的焦点在y轴上 那么椭圆的标准方程又是怎样的呢 如果椭圆的焦点在y轴上 选取方式不同 调换x y轴 如图所示 焦点则变成只要将方程中的调换 即可得 p 0 也是椭圆的标准方程 3 椭圆的标准方程 焦点在x轴 焦点在y轴 总体印象 对称 简洁 像 直线方程的截距式 图形 方程 焦点 F c 0 F 0 c a b c之间的关系 c2 a2 b2 MF1 MF2 2a 2a 2c 0 定义 注 共同点 椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上 中心在坐标原点的椭圆 方程的左边是平方和 右边是1 不同点 焦点在x轴的椭圆项分母较大 焦点在y轴的椭圆项分母较大 若是 则判定其焦点在何轴 并指明 写出焦点坐标 练习1 下列方程哪些表示椭圆 练习2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 a b 1 焦点在x轴上 2 焦点为F1 0 3 F2 0 3 且a 5 3 两个焦点分别是F1 2 0 F2 2 0 且过P 2 3 点 4 经过点P 2 0 和Q 0 3 小结 求椭圆标准方程的步骤 定位 确定焦点所在的坐标轴 定量 求a b的值 练习3 已知椭圆的方程为 请填空 1 a b c 焦点坐标为 焦距等于 2 若C为椭圆上一点 F1 F2分别为椭圆的左 右焦点 并且CF1 2 则CF2 5 4 3 3 0 3 0 6 8 变式 若椭圆的方程为 试口答完成 1 练习4 已知方程表示焦点在x轴上的椭圆 则m的取值范围是 0 4 变式 方程 分别求方程满足下列条件的m的取值范围 表示一个圆 表示一个椭圆 表示焦点在x轴上的椭圆 例1 已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆 它的焦距为2 4m 外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m 求这个椭圆的标准方程 解 以两焦点所在直线为X轴 线段的垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系xOy 则这个椭圆的标准方程为 根据题意 2a 3 2c 2 4 所以 b2 1 52 1 22 0 81 因此 这个椭圆的方程为 例2 过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于A B两点 求的周长 三 回顾小结 求椭圆标准方程的方法 求美意识 求简意识 前瞻意识 探索 已知椭圆有这样的光学性质 从椭圆的一个焦点出发的光线 经椭圆反射后 反射光线经过椭圆的另一个焦点 今有一个