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品淘奥数（高年段 老师用）第十二讲：鸡免同笼问题专题简析： 鸡免同笼问题是指鸡与免同在一个笼中，已知鸡的总头数以及鸡与免的总脚数，求鸡和免各多少只的应用问题。鸡免同笼问题也叫简换问题。解答时，一般采用假设法，即假定全部的只数都是鸡或者都是免，算出假定情况下的脚数和实际上的脚数各、脚数差，然后推算出鸡和免的只数。计算时的主要数量关系是：1、如果假定全部是免，则鸡的只数=（每只免的脚数总头数-总脚数）（每一只鸡与免脚数的差）简单理解就是：鸡的只数=（4总头数-总脚数）2；免的只数=总头数-鸡的只数。2、如果假定全部是鸡，则免的只数=（总脚数-每只鸡的脚数总头数）（每一只鸡与免脚数的差）简单理解就是：免的只数=（总脚数-2总头数）2；鸡的只数=总头数-免的只数。小试牛刀1、小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？ 分析与解答：假设16只都是鸡，那么就应该有21632（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-3212（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。即：有兔（44-216）（4-2）=6（只），有鸡16-610（只）。当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有41664（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了64-4420（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4-22（只）。因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。有鸡（416-44）（4-2）=10（只），有兔16-106（只）。2、100个猴子分140个香蕉，大猴子1只分3个香蕉，小猴子1只分1个香蕉。问：大、小猴子各有多少只？分析与解答：如果将大猴子、小猴子分别看作兔和鸡，香蕉看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。假设 100只全是大猴子，那么共需香蕉300个，比实际多300140160（个）。现在以小猴子去换大猴子，每换一个总只数不变，而香蕉就要减少312（个），因为160280，故小猴子有80人，大猴子有1008020（人）。同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。3、彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。问：两种文化用品各买了多少套？分析与解答：假设买了16套彩色文化用品，则共需1916304（元），比实际多30428024（元），现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用19118（元），所以，买普通文化用品 248=3（套），买彩色文化用品 16313（套）。4、乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果搬运站共得运费115.5元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶？分析与解答：假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24500=120（元）。实际上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。搬运站每打破一只花瓶要损失0.241.261.5（元）。因此共打破花瓶4.51.53（只）。即：（0.24500115.5）（0.241.26）3（只）。5、老师带学生共100人去植树，学生平均3人栽1棵，老师每人栽3棵，正好栽树100棵。老师和学生各去了多少人？分析与解答：假设100人全是老师，就可以栽树3100 = 300棵，比实际多栽300100 = 200棵。为什么会多出200棵，因为把学生当成了老师。把3个学生算成3个老师，栽树的棵树就要多算331 = 8棵，200里面有多少个8，学生数就是多少个3人，这就可求出学生的实际人数。即：学生（ 3100100）（331）3 = 75（人）， 老师10075 = 25（人）。挑战自我1、一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？分析与解答：要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下436=144（吨）。根据条件，要装完这144吨钢材还需要45-36=9（辆）小卡车。这样每辆小卡车能装144916（吨）。由此可求出这批钢材有多少吨。即：436（45-36）45720（吨）。2、小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？分析与解答：利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了：12（23）60（下）。可求出小乐每分钟跳：（78060）（233）90（下），小乐一共跳了903=270（下），因此小喜比小乐共多跳7802702240（下）。3、小毛参加数学竞赛，共做20道题，得64分，已知做对一道得5分，不做得0分，错一题扣1分，又知道他做错的题和没做的一样多。问小毛做对几道题 ?分析与解答：因为做错的和没做的一样多，就假定这两种情况都倒扣1分。所以没做或做错的有 (520-64) (5+1)=6(道)，做对的有20-6=14(道)。4、小花到野外采蘑菇，晴天一天可以采到22个，雨天一天只能采到13个，她一连几天采了144个蘑菇，她平均每天采16个，问这几天当中有几天是雨天？分析与解答： 由一共采了144个蘑菇和平均每天采16个蘑菇这两个已知条件，我们可知道她一共采了14416=9（天），如果把这9天全部看成是晴天，她可采到229=198（个）蘑菇，比实际采到的蘑菇多了198-144=54（个），而这相差的54个蘑菇是因为将一个雨天当成晴天就多算了22-13=9（个），所以一共有雨天549=6（天）。5、鸡兔共有腿50条，若将鸡数与兔数互换，则腿数变为52条，鸡、免各有多少只？分析与解答：首先判断鸡和哪那种多：互换后腿增多说明原来鸡多。每把1只鸡换成1只兔腿的总数就增加2条，反之就减少。本题互换后增加了2条腿说明原来鸡多1只。每只鸡有2条腿，如果拿出一只鸡后腿的总数就成为48条。这时候鸡和兔就同样多。(1只鸡+1只兔)有6条腿。48（2+4）=486=8，8+1=9(只) 答：原有9只鸡，8只兔。智慧一加一1、鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？分析与解答：假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多20020=180（只）。现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少426（只），而180630，因此有兔子30只，鸡1003070（只）。即：有兔（210020）（24）30（只），有鸡10030=70（只）。2、甲乙两人射击,若命中,甲得4分,乙得5分;若不中,甲失2分,乙失3分,每人各射10发,共命中14发,结算分数时,甲比乙多10分,问甲、乙各中几发?分析与解答：假设甲中10发，乙就中14-10=4(发)。甲得410=40(分)，乙得54-36=2(分)。此题条件“甲比乙多10分”相差(40-2)-10=28(分)，甲少中1发，少4+2=6(分)，乙可增加5+3=8(分)。28(8+6)=2，10-2=8(发)甲，14-8=6(发)乙。3、有两次自然测验,第一次24道题,答对1题得5分,答错(包含不答)1题倒扣1分;第二次15道题,答对1题8分,答错或不答1题倒扣2分,小明两次测验共答对30道题,但第一次测验得分比第二次测验得分多10分,问小明两次测验各得多少分分析与解答：如果小明第一次测验24题全对，得524=120(分)。那么第二次只做对30-24=6(题)，得分是86-2(15-6)=30(分)，两次相差120-30=90(分)，比题目中条件相差10分多了80分。说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得5+1=6(分)，而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分。两者两差数就可减少6+10=16(分)。 (90-10)(6+10)=5(题)。因此，第一次答对题数要比假设(全对)减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对30-19=11(题)。第一次得分519-1(24- 9)=90，第二次得分811-2(15-11)=80。4、蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀，蜘蛛有8条腿但没有翅膀。现在共有这三种昆虫18只，有118条腿，20对翅膀。那么三种昆虫各有多少只？分析与