2012考研数学高分必看：各种题型经典归类总结(第二部分).doc

空间曲面的表面积的题型与解法智 轩一、计算曲面面积的系统解题方法1 如果曲面由显示函数 给出 2 如果曲面有参数函数 给出特别地：对于球面坐标系 若所求曲面由极坐标方程决定，则引入球体坐标系3对于柱面上的曲面面积一般不使用公式而使用第一类曲线积分。设为柱面上介于曲线弧和之间的曲面片，且又设柱面在平面的准线的方程可写成如下参数式二、曲面面积的题型与解法【例1】求包括在圆柱面之内的曲面的侧面面积。解：对于曲面， 圆柱面【例2】柱面被锥面割下部分的曲面面积。解：由于对称性，本题所求锥面所围的柱面面积为第一象限的4倍，对于右半平面，柱面方程为 ，故有（在平面投影，不能在平面投影）所以所求的曲面面积为另外，还可以求出柱面围的锥面面积如下：由于对称性，所求锥面面积为上半平面的2倍，对于上半平面，锥面方程为 ，故有（在平面投影）所以所求的曲面面积为【例3】求曲面被平面切除的那部分的面积。解：对于准线平行于平面的柱面，不能在平面上投影，因为投影面积为零，故需要转化到其他坐标平面上如的投影。【例4】求螺旋面的侧面面积。解：因为 【例5】计算空间曲线所包围的面积。解：引入球体坐标系 【例6】求柱面被球面割下部分的曲面面积。解：按照第一类曲线积分解法如下【例7】 求以极坐标曲线为准线，母线平行于轴的柱面被平面及截下的有限部分的面积。解：对于本题，就可以按照第一类曲线积分解法如下考研数学中向量组相关性的8大必须掌握的系统定理及其证明智 轩 定 理 1 一般称为的部分组，如果一个向量组线性无关，则其部分组必无关；如果部分组相关，则向量组必相关。但如果向量组相关，则部分组可能相关也可能无关，同理，部分组无关，则向量组可能无关也可能相关。证明： 记 形象记忆法：大无小无，小关大关。（部分相关全部相关；全部无关部分相关。）评 注 对此类定理的掌握不能只局限于理论证明，更重要的是需要找到直观解析或几何图案。上述定理从坐标空间的维度很容易直观理解。定 理 2 个维向量向量组成的向量组，如果坐标维数小于向量维数时一定线性相 关。特别地：个维向量一定线性相关。 证明：个维向量构成矩阵 上述定理可以这样形象理解：相当于方程组中有多余一个合理方程。或者可以这样理解：单个向量的维数相当于坐标空间的维度，向量组的维数（即向量组所含单个向量的个数）相当于任意矢量的分量个数，如果具有三个分量，它又怎能在2维空间中表示呢，除非三个分量不独立，即线性相关。 形象记忆法：坐标数大于维数总相关。（坐标数指单个向量的维数）定 理3 设维向量组，为维坐标；维向量组 为增加的坐标维数得到的（称为导出组或延伸组），即，则（1）无关导出组无关；（2）导出组相关相关。形象记忆法：高维相关低维相关；低维无关高维无关。定 理4 设，则元齐次方程的解空间的秩为 。定 理5 若，当为非零矩阵时不可逆；当为非零矩阵时，则列不满秩， 行不满秩。定 理6 向量组能由向量组线性表示， 若不能由线性表示，则。 证明：向量组能由向量组线性表示，则矩阵方程有解 向量组不能由向量组线性表示，则矩阵方程无解 若，则方程有解，成立意味 ，与条件矛盾。 故 。定 理7 若，当为列满矩阵时，则。 证明：设 ，依题意，知的标准型为，并有： 阶可逆矩阵，使 定 理8 若，则的列向量线性无关。 证明：考虑，则 为的解。 故只有零解，故的列向量线性无关。评 注第一，对向量组相关性的理解，首先把向量组转化为对应矩阵，因为秩是它们的公共量，从而等价于讨论矩阵的秩。第二，要明白秩是用子式（方阵）是否为零来定义的，所以矩阵的秩等于矩阵的行秩也等于列秩，要明白单个向量的维数（坐标空间的维度）和向量组的维数（任意矢量的分量个数）是两个不同的概念。给矩阵增加几行后得矩阵，就相当于增加每一个向量的维数，这时满秩=，就是说无关无关；但反之不成立，因为；如果，就是相关相关，反之也不成立，也是因为。第19专题讲座-二重积分的系统题型与题法2009智 轩一、二重积分的六大对称性 如果积分区域具有轴或点对称（令表示的一半区域，即中对应部分，余类推），被积函数同时具有奇偶性，那么，二重积分的计算可以得到不同程度的简化，这一技巧在研考数学中每年都必出题，务必理解记住下列6类对称性定理。 关于轴对称（关于轴对称类推） 关于都对称 关于原点对称 当和关于某一直线对称，对同一被积函数，则 关于轴对称 万能轮换对称性 轮换对称性描述 如果将与及交换，即 , ，后，积分区域方程不变，则将被积函数中的变量作同样变换后所获得的积分值与原积分值相等，这个性质在二重积分，三重积分，曲线积分和曲面积分等六类多元函数积分中都成立。轮换对称性实例二、 二重积分次序选择原则与积分次序的更换方法 陈氏穿线法【原创】后积先定常数限，先积方向正直穿；相交必须同一线，否则域内要分拆；隐含边界须周全，6类对称挂耳边；极坐标逆弧线，多种边界同园拆。先看积分区域的边界方程，那个变量幂次高，就后积此变量； 题型一 关于积分交换次序题法【例1】计算 由所围。解：幂次高，所以先积若被积函数只有一个变量，就后积此变量；【例2】，D由所围。解：被积函数只有一个变量，先积 积分次序一般以尽可能不拆分区域（即为正规区域）为基准。【例3】 更换积分次序 解： 及 作图形，得： 【例4】 交换积分次序 解： 画出图形，得： 【例5】更换积分次序 解： 【例6】更换积分次序 解：如改为先后则有下列两点技巧 的边界曲线全都用极坐标表示 若以原点为圆心的一系列同心圆与y区域的边界曲线中的不同曲线相交，则应在交点处用逆时针园弧线把的区间分为两个正规区域：三、换元法技巧以尽可能简便为出发点，再参考的特征。如球对称用球坐标，锥体用柱坐标等，微分元换算利用雅可比行列式。 其中雅可比矩阵 题型二 关于对称性题法【例7】:解：为偶函数数，关于都对称，正好是的，故 【例8】计算 解：（1） 关于对称关于都是奇数（2）关于原点对称，为偶函数，故=【例9】 设区域D由所围，试计算解：作辅助线，则D分为。显然，关于X轴对称，关于Y轴对称。【例10】 计算 解：由于D关于X，Y轮换对称性，故 中被积函数又可以轮换，积分值不变又由于D关于X，Y轴均对称，故 【例11】设二元函数， 计算二重积分，其中。解：记， 【例12】计算，其中： ，求。解：关于轴对称，关于是偶函数，则 题型三 关于极坐标题法陈氏第14技 能否使用极坐标主要由被积函数的特点决定，而不是由区域特点所决定；使用极坐标方式有两种：原位法：平移法：，选择的原则是使被积函数容易积出，一般来说，被积函数具有或形式时，使用极坐标会大大简化计算。如果选择不当会使积分求解复杂。 常用结论 【例13】计算 设在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上为零，试证明： 解：积分区域为： 显然本题适合用原点极坐标，由对称性知： 积分区域为： 使用原点极坐标，【例14】计算 。解：为偏心圆域，由于被积函数的特点，故可使用极坐标，而这里有两种取法。如使用原位法，即 如使用平移法，即 ，本质上是把圆心平移到原点，则 显然上述积分十分繁琐，本题不能使用平移法。但在别的场合，必须使用平移法以简便计算，因为平移法有个优点就是能使积分上下限常数化。参见下例。【例15】求积分。解：方法一：平移法 方法二：原位法 读者可以尝试计算上述积分，其中的计算过程要必平移法复杂得多！【例16】 求球面 被平面和 所夹部分的表面积解： 上半球由于对称性【例17】 由在第一象限所围成的区域。解：由解出相当困难，为此采取极坐标，令 为广义极坐标，则所研究的曲线在第一象限，于是解出上下限， 【例18】 求椭球体的体积 （广义极坐标）解：作广义极坐标变换 再采用穿线法，有【例19】求曲线包围的面积。解： 【例20】求曲线包围的面积。解： 题型四 关于换元题法【例21】计算 所围区域。解：令【例22】求 和 所围的面积。解：作变换，令，由此把原有的曲线区域变成矩形区域【例23】计算由曲线所围成的面积。（）解：令，雅克比行列式故 【例24】解：设 ；题型五 关于隐含边界题法【例25】计算解： 用隐含边界圆弧将区间分为和两部分，使用原点极坐标，得 【例26】 解：题中为隐含边界 【例27】 解：评 注 如果本题改为，则【例28】 解：关于Y轴对称（二个区域），而被积函数相等，故xy 【例29】 解： （利用）同步练习： 答案：。【例30】计算 解：隐含边界为 ，令 【例31】计算。解：使用和或共3条隐含边界把积分区间从上到下划分为，故 【例32】，由所围。解：隐含放边界 在图上画出此辅助线。用表示积分区域的下半部分，则： 【例33】计算。解：隐含边界把区域的第一象限部分分为左右两子域 【例34】计算积分。 解：将区间分为5个部分 【例35】计算积分。解：将区域分为由下到上的4个积分区间。【例36】 求 【例37】计算解： 【例38】计算，其中。解：用双曲线的上支将分成两块： 而为非正规区域，过点作平行于轴的直线，把分为左右两个正规区域和题型六 关于含参积分题法【例39】已知；求。解：当时，记 当时，记根据积分中值定理：【例40】 设函数 ， ，求。 解：含参数的积分问题采用平移法决定参数的取值范围是作者的精妙秘诀。平移法的思想是：先画出的区域图，再令为基准直线，然后把该基准直线分别平移到的全部边界点上，如本题，把基准直线平移到边界点，得分界直线，再把基准直线平移到边界点，得分界直线，于是得出所求积分关于参数的三个分段点，所以有 ，把基准直线平移到该区域任意位置，得直线，该直线与轴的交点为，于是 ，把基准直线平移到该区域任意位置，得直线，该直线与轴的交点在区域外，不可作为积分限，但该直线与交于，为于是 ，【例41】 ，求。解： 利用区间变换将参量转移到被积函数中，令 【例42】 ，求。解： 利用极坐标等将参量转移到积分变限中，令 【例43】, 求解：【例44】计算题型七 二重积分应用题法【例45】设为恒大于零的连续函数，求证：。证明：采用二重积分的逆向思想。设 ， 【例46】设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且。对任意，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成的旋转体，若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求。解：依题意得 （也可使用古尔金第二定理） 时，上述等式显然成立。现在上式两边对求导得 行列式的题型题法大全专题讲座一、行列式的基础题型与题法【例1】求极限 解：应用罗毕达法则 同步练习： 【例2】行列式的分解方法和重要结论设阶同型矩阵，而行列式只是就某一列分解，所以，应当是个行列式之和，即。 以我们经常遇到三阶行列式的特征值问题举例如下：其中，表示取被展开的行列式中的各列的第一子列，余类推。特别地，如特征值行列式中，有两行或两列对应成比例，上述公式可以简化为：评 注 韦达定理的一般形式为： 【例3】代数余子式的计算技巧元素的代数余子式与该元素无关，行列式按某一行元素的代数余子式展开形式中，代数余子式前面乘以不同的系数就可以得到不同的行列式。 如果把上述等式两边的中括号里的元素换成不同的值，就变成不同的行列式了。【例4】拉普拉斯行列式中逆序数的计算 二、行列式定义与余子式的应用2.1行列式定义的应用【例5】求逆序数 （1） （2）已知，求解： （1） （2）解法一对个数的排列，如果关于第个元素有个元素比大，并且都放在的前面，我们说第个元素有个逆序数，如果关于第个元素有个元素比大，但都放在的后面，我们说于第个元素有个顺序数。中关于第1个元素有个逆序数，关于第1个元素有个顺序数，即在排列中关于第个元素的逆序数为； 中关于第2个元素有个逆序数，则关于第2个元素有个顺序数，即在排列中关于第个元素的逆序数为；依此类推，可得：解法二（推荐解法） 在排列任取两个数和，则数对要么为逆序数，要么为顺序数，而该排列共有个数对，已知的逆序数为故的顺序数为，它正好就是的逆序数，故 。 【例6】 （1）已知四阶行列式中的符号为负，求； （2）在五阶行列式中，确定项的符号； （3）如果阶行列式中等于零的元素大于个，求。解：（1）由于列号2，1固定，故只能取3或者4，而 （2）， 取正号。 （3） 阶行列式展开共有项，等于零的元素大于个，则不为零的元素小于个，而行列式展开的每一项都是个不同元素的乘积，故 。陈氏第21技 -（1） 使用排列法求参数行列式某幂次前的系数。 排列法：先固定行号顺序排列：，再根据定义排列可能的列标。【例7】 在 求项。解：排列法：先固定行号顺序排列：，再根据定义排列可能的列标。 由定义知，行列式展开的每一项来源于原行列式每行每列只能取一个而且必须取一个元素 的法则。如取 ，则其余项为相应取形式，下面就是看可能的排列中哪些符合要求。则为项不合题意所求；其他取法均为不合题意所求；故 取不成立。 同样的分析知，只有取，相应取 才合题意，于是【例8】 求解： 时前两行相等 ，故D展开式必含该两因式， 时后两行相等 ，故D展开式必含该两因式，由于是四阶行列式，最高次幂不大于，故而前的系数可由定义求出： 含幂的项的形式为： 由于已经固定顺序行标，列标有两个也被固定，即：根据行列式各项取自不同行不同列的规则：当时，必有，即存在含幂 当时，必有，即存在含幂 故前的系数 陈氏第21技 -（2） 常数行列式法。 像【例8】类型题有一个绝妙的方法：即划去和所在的行和列，剩下的数（不能含未知数，否则，只能用排列法。）组成行列式，就是前的系数。又如：已知，求。易知最高次幂为，故只要求出的系数即可，而的系数。 【例9】 求解：方法一： 方法二：利用拉普拉斯展开： 【例10】设行列式 ，则有多少个根？解： 【例11】设阶行列式，而行列式，求。解： 【例12】求行列式 解： 【例13】已知 ，求。解：设行列式的第一列中的第一子列用“”表示，第一列中的第二子列用“”表示，其余符号类推。则： 2.2余子式与代数余子式的计算方法【例14】已知，求：（1）代数余子式 (2) 余子式解：（1）代数余子式 用各代数余子式的系数替代的第三列，则 (2) 余子式用各代数余子式的系数替代的第三列，则【例15】设4阶行列式的第2列元素依次为，第二列元素的余子式依次为，第四列元素的代数余子式依次为。且行列式的值为1，求。解： 三、行列式计算方法和技巧陈氏第22技 7种定势全面解决行列式计算问题。 行列式从元素特征上分为：数字字母型（五种定势），抽象分块型（一种定势），参数型（一种定势）三类。共7种定势囊括考研中所有可能的行列式计算方法。望读者系统掌握。31 行和相等型行列式的计算方法 当行列式中每一行的元素之和相等（称为行和相等型）时，计算时把各列全部加到第一列，从第一列中提出公因式，然后，各行都减去第一行就可以降阶，对列和相等型也有类似的结论，这是一类极其普遍的题型。【例16】计算解： 【例17】已知行列式 ，求 。解： 读者同步练习： 3.2 爪 型行列式的计算方法 除第一行、第一列和主对角上的元素外，其他全部为零的行列式，其形状像个爪形。爪形行列式的计算一般方法是分三种情况分别讨论。假设主对角上的元素分别为。 如中有两个或两个以上的元素为零，则必有两行成比例，故； 如中只有一个元素为零，例如，则先按第行展开，再按列展开，便得到一个主对角行列式了； 如中没有零元素，则从开始逐一提出主对角元素，然后上三角化，便得到一个上三角行列式了。【例18】计算 解：情况一：至少有两个元素为零，则； 情况二：有一个元素为零，如 （），则先按行元素展开，再按列展开。（为清楚细节，请读者以为例具体推算以下过程）情况三：没有元素为零。这是一类很普遍的情形，方法定势是：先把元素提出行列式外，然后把第列分别乘以某一个适当数后全部加到第一列，从而转化为下三角行列式。具体过程如下：评 注 爪形行列式的通用公式： 【例19】计算 解： 3.3三对角型行列式的计算方法 当行列式中除了主对角元（主对角元素必须相等）和两邻近主对角元（邻近主对角元素可以不相等）外，其余全部为零，称为三对角行列式。 计算时，先按第一列展开，可得通用递推公式 再使用递推法求出，递推法常常要用到常系数二阶差分方程，现介绍如下：常系数二阶差分方程的一般式为：其中：系数由联立求得。【例20】解：先按第一列展开得 读者同步练习： 12（提示：按最后一列展开得；或按数学归纳法解答。）【例21】设元线性方程组，其中 证明当为何值时，该方程组有唯一解，并求当为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。解：为三对角型，设由克莱姆法则知，时，方程有唯一解时，该方程组有无穷多解 3.4范德蒙型行列式和升阶技巧 升阶技巧主要有两种，一种是加边，加边的原则是不改变原有行列式的值，并使加边后的行列式能通过简单的加减行列变成爪型；第二种是加补，即加上需要补的一行和需要补的一列，使原有行列式符合范德蒙行列式，再通过代数余子式反求原行列式。【例22】解法一：加边升阶法 解法二：拆项法 可见升阶技巧做法要简便些。【例23】计算缺项范德蒙行列式 。解：加补升阶法：补上项，使原行列式符合标准范德蒙行列式。 按第5列展开得：3.5自相似型行列式的计算方法 自相似行列式分为行和（或列和）相等型和不等型。对相等型，可用多行加和提出公因式，再用三角降阶求之；也可先按第一列展开，得到递推公式。对不等型，先需要分别从末到第二行和第二列逐一对换，使之成为两类特殊的拉普拉斯型而求之。【例24】解：具有列和相等的特点。 方法一：三角降阶把列加到第一列，把列加到第二列，把列加到第列，提取公因式 方法二：展开递推 对第一列展开，有【例25】解：为行和不等型。 依次进行下列操作，将第列与第列对调，将第列与第列对调，将第3列与第2列对调；在对行进行上述完全相同的操作。得本题也可以利用拉普拉斯定理直接得出结论。评 注 可以证明下列公式成立 3.6抽象型 行列式的计算方法【例26】设A为， B 为 ， ， 则解：【例27】设A为， ， 把A按列分块，求的值？解： 原式 =【例28】 A为3阶阵 计算 解： 原式=。【例29】已知均为4维列向量，若4阶行列式，则？解： 【例30】已知是三阶矩阵，是三维线性无关的列向量，若，求行列式。解：利用分块矩阵，有： 【例31】为正交矩阵，求的解。解：由于正交矩阵的每行或每列都是单位向量，说明所在的行和列的其余元素全为零。即： 又正交矩阵，故方程有唯一解。根据克莱姆法则： 3.7 参数型 行列式的计算方法 对特征参数型先看看是否具有行和相等的特点（其实大多数具备这个特点），如果没有则要找使行列式为零的试探解，依之为出发点利用行列式性质凑出公因式。【例32】计算行列式解：观察易知：行和相等。 读者同步练习：计算行列式 。【例33】计算行列式解：没有行和相等特点，可先观察特解。易知 第一章 行列式模拟题一 填空题1. 在函数中，的系数是_.2. 设为实数，则当_，且_时，=0.3. 在n阶行列式中，当时，则D=_.4. 设A为矩阵，B为矩阵，且，则_， _.5. 设A为矩阵，|A|=-2，把A按行分块为，其中是A的第j行，则行列式_.6. 设A、B均为n阶矩阵，|A|=2，|B|=-3，则|=_.二 选择题1. 设A为n阶方阵，是A的伴随矩阵，则等于（A）（B）（C）（D）2. 设A为n阶方阵，B是A经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵，则有（A）|A|=|B| （B） （C）若|A|=0，则一定有|B|=0 （D）若|A|0，则一定有|B|0 3.设3阶矩阵，其中均为3维行向量，且已知行列式|A|=18，|B|=2，则行列式|A-B|等于（A）1（B）2（C）3（D）4三解答题1.设|A|=，计算.其中是|A|中元素的代数余子式。2.计算元素为的n阶行列式。3.计算n阶行列式。4.设是互异的实数，证明：=0的充要条件是。5.证明：奇数阶反对称的行列式为零。6.设，证明：可以找到数，使。7.试证：如果n次多项式对n+1个不同的x值都是零，则此多项式等于零。8.设，求。第一章 行列式模拟题答案一 填空题1. 显然，项只能在主对角线上的元素的积中取到，即 答案为-22. 将行列式按最后一列展开，得得 3.该行列式为下三角形，故 4. 5. 6. 得 而 二 选择题1. 先证明（1） 若（2） 若 若秩秩(A)+秩()，得秩()显然秩() A至少有一个n-1阶子式不为零，即秩()=1有 若秩阶子式都为0，故综上(1)(2)，有于是。选（D）。2. 设B=PAQ，其中P，Q为可逆矩阵，于是当|A|=0，|B|=|PAQ|=|P|A|Q|=0故选（C）。3. 选（B）。三 解答题1.2. 3. 当时 当时 4. 得证。5. 设A为反对称矩阵，即于是有 当n为奇数时，即为，得=06. 显然f(x)在0，1上连续且在（0，1）内可导。又 ，于是由罗尔定理，存在，使得。7. 证法一：设中第一个不为零的数为，则f(x)为i次多项式，故f(x)=0，矛盾，得=0 （i=0,1,2,n）,得证证法二：设n+1个不同的值为即有 以为未知量，该方程组的行列式为因为互不相同，故该行列式值不为零，所以原齐次线性方程组只有零解，故 得证。8. 故。考研数学矩阵的8大秩及其证明2009智 轩 证明：根据矩阵秩的定义直接得出。 证明：对矩阵任意添加列后变成矩阵，则秩显然不小于，即： 同理： 因而：成立。又设 ，把分别做列变换化成列阶梯形 用分别表示非全零列，则有：由于初等变换后互为等价矩阵，故而矩阵只含有个非全零列，所以：。综合上述得：特别地：如为列向量，则。如，设， 则 证明： 证明： 设 设 则的标准型为，的标准型为 存在可逆矩阵使： 证明：设，则 证明：分三种情况 （1），满秩、可逆，可逆， （2），说明中至少有一个元素的代数余子式不为零，即存在 又，不可逆，则（3）时，由矩阵秩的定义知，得所有阶子式为零 评 注 如，则。 证明：考察下列两个齐次方程组 显然，（2）的解全部是方程（1）解，因此，（2）的基础解系包含于（1）的基础解系，即 另一方面因此，（1）的基础解系包含于（2）的基础解系，即而 证明：设，则： 评 注 下面3个关于秩的公式也常常使用。 第28专题讲座-关于不定积分中的原函数存在性智 轩 于湘江杨柳邦原函数问题是不定积分范畴，可积问题是定积分范畴，不可混淆。当存在第一类间断点时，则一定没有原函数，证明如下：设是的第一类间断点，且在上有原函数，则 由于第一类间断点单侧极限存在，则推出 所以，当存在第一类间断点时，则一定没有原函数。当存在第二类间断点时，则可能有也可能没有原函数【例 1】在内不连续，可见存在第二类间断点，但可以验证它存在原函数，即【例 2】，则： 解：选。 不正确，理由在的分析中。 对本题我们有：显然，是连续的。但是：故不正确。 正确。可见存在第一类间断点，不存在原函数。第23专题讲座-概率事件的字母设置方法与技巧2009一、 各种常用事件的集合关系需要记住 事件既然是集合，因此，完全遵循集合的运算法则。基本关系包含：，事件发生必导致事件发生。相等：，且。和（并）：，和至少有一事件发生。互补： ，称为互逆或对立事件。差：，称为差事件，发生，而不发生。 注意：集合可能比 大，只减去与 相同的子集元素。积（交）： ，和同时发生。互斥：，称为互斥或不相容事件。拓展关系 称为差积转换公式 2各种常用概率关系需要记住 2.1 加法公式 若为两两互斥事件，则 注意事件不一定独立。2.2 减法公式 若独立（即：），则2.3 乘法公式 2.4 条件概率公式 当条件“”不变且时，条件概率运算中与的全部公式完全相同。如： 三、 各种常见的事件或事件组发生与否的数学描述1、都发生。2、同时发生3发生不发生。4、全不发生。5、发生条件下，发生。四、精选例题【例1】口袋中有10张卡片，其中两张是中奖卡，三个人依次从口袋中摸出一张（模出的结果是未知的，且不放回），问中奖概率是否与摸卡的次序有关？解：设三个人摸卡事件分别为 。这是一个离散古典概型。可见，中奖概率是否与摸卡的次序无关，这正是抽签原理的具体体现，以后再碰到类似题直接使用抽签原理计算就可以了。评 注 在第二个人抽签时，要利用第一个人抽签情况的一个划分，即 在第三个人抽签时，要利用第一个人和第二个人抽签情况组合的一个划分，即 【例2】设两个独立事件和不发生的概率为，A发生B不发生的概率等于发生不发生的概率，求。解：依题意，有 【例3】对某一目标一次进行了三次独立射击，第1，2，3次射击的命中率分别为：，试求三次中恰有一次命中的概率；三次中至少有一次命中的概率解：注意本题不是伯努利概型。设三次中恰有一次命中的事件 三次中至少有一次命中的事件 评 注 注意既不互斥又不对立，下列计算是错误的【例4】设有件产品包含有件次品，从中任取2件，求 有一件是次品时，另一件也是次品的概率； 一件不是次品时，另一件是次品的概率；至少一件是次品的概率。解：这类题型关键是掌握事件符号的设定。设：。 【例5】甲乙对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被击中，求它是甲射中的概率？ 解：目标被击中的概率为，根据条件概率公式 【例6】设，求。解： 【例7】设有来自三个地区的各10名，15名，25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份，7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中抽出两份。（1）求先抽到的一份是女生的概率；（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率。解：设报名表是第个地区考生的=1，2，3第次抽到的一份是男生表=1，2（1）由全概率公式得（2）由全概率公式得 求，也可利用抽签原理：由贝叶斯公式知（实际上就是条件概率）【例8】为防止意外，在矿内同时设置甲乙两种报警系统，每种系统单独使用时，甲有效的概率为0.92，乙为0.93，在甲失灵时乙仍有效的概率为0.85，求 发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率； 在乙失灵时，甲仍有效的概率。解： 设 至少有一个有效的概率为 。 。【例9】在区间中随机取两个数，求两数差的绝对值小于的概率。解：这是连续几何概型。画出两数差的绝对值小于的二维图形，使用面积比。 评 注 本题型也可使用均匀分布求：。【例10】在区间中随机地取两个数，求两数之积少于的概率。解：画出两数差的绝对值小于的二维图形（双曲线），使用面积比。 。【例11】如果每次试验的成功率都是，并且已知在三次独立重复试验中至少成功一次的概率为，求。解：这是伯努利概型。 “至少成功一次”的对立事件就是“一次也不成功，即三次全失败”。三次全失败的概率。【例12】在重伯努利试验中，若每次试验成功的概率为，求成功次数为奇数的概率？ 解：设表示第次试验时事件发生，则表示第次试验时事件不发生；表示次试验中事件发生了奇数次，并设。发生奇数次有两种情形。如果第试验发生了，则依题意，要求次试验中必发生了偶数次，也就是不可能发生；如果第试验不发生，则依题意，要求次试验中必发生了奇数次，也