求递推数列通项公式.doc

中山大学家教介绍所或数列一、 求递推数列通项公式基础类型 类型1 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例1:已知数列满足，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即 所以，类型2 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知数列满足，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，例3:已知， ，求。解： 。变式:（2004，全国I,理15）已知数列an，满足a1=1， (n2)，则an的通项 解：由已知，得，用此式减去已知式，得当时，即，又，将以上n个式子相乘，得类型3 （其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例4:已知数列中，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.变式:（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_（key:）类型4 （其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例5:已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,解之得：所以类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。解 (特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。例6: 数列：， ,求解（特征根法）：的特征方程是：。,。又由，于是 故练习:已知数列中，,，求。变式:（2006，福建,文,22）已知数列满足求数列的通项公式；（I）解： 类型6 递推公式为与的关系式。(或)解法：利用与消去 或与消去进行求解。例7：数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.解：（1）由得：于是所以.（2）应用类型4（其中p，q均为常数，）的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以类型7 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。例8：已知数列中，求数列解：由两边取对数得，令，则，再利用待定系数法解得：。类型8 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例9：已知数列an满足：，求数列an的通项公式。解：取倒数：是等差数列，变式:（2006，江西,理,22）已知数列an满足：a1，且an 求数列an的通项公式；解：（1）将条件变为：1，因此1为一个等比数列，其首项为1，公比，从而1，据此得an（n1）类型9周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例10：若数列满足，若，则的值为_。变式:（2005，湖南,文，5）已知数列满足，则=（ ）A0BCD二、数列的求和：(1)公式法：必须记住几个常见数列前n项和 ； ； 10（辽宁卷）已知等差数列的前项和为（）求q的值；（）若a1与a5的等差中项为18，bn满足，求数列的bn前n项和. ()解法一：当时，,当时,.是等差数列,4分解法二：当时,当时,.当时,.又,所以,得.4分()解：,.又,8分又得.,即是等比数列.所以数列的前项和 (2)分组求和：如：求1+1,的前n项和（注：） (3)裂项法：如求Sn 常用的裂项有； ； （湖北卷）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（）、求数列的通项公式；（）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；解：（）设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.当n2时，anSnSn1（3n22n）6n5.当n1时，a1S13122615，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）（）成立的m,必须且仅须满足，即m10，所以满足要求的最小正整数m为10. (4)错位相减法：其特点是cn=anbn 其中an是等差，bn是等比 如：求和Sn=1+3x+5x2+7