8-TVD格式.doc

8. TVD格式8.1 守恒格式将上一节的统一格式改写成注意到Lax格式迎风格式Lax-Wendroff格式于是可以定义函数Lax格式迎风格式Lax-Wendroff格式（注）通量差分格式里介绍过的熵修正函数，可以看成是函数 的第四种形式，所以当时也用了相同的记号。利用函数 ，统一格式可写成如果再记 ，则将格式写成这种形式，是为了便于推广到非线性的情形。对于非线性标量方程， 是变量，定义数值通量式中就有守恒格式8.2 显式TVD格式充分条件一：显式格式具有TVD性质的充分条件是 ， ， 【证明】根据全变差的定义，如果判据成立，则上式中各项系数都是非负的，可以从绝对值里面提出来，得到，注意到，对于无限求和，求和指标可以调整，就有所以显式格式是TVD的。将上面给出的判据应用于守恒格式利用 的表达式，就有由此可以看出（注意 的下标要从 调整为 ）， ， 所以，函数 ， 于是刚才给出的判据成为 ， 即这就是显式TVD格式的判据。这一结果表明： 显式TVD格式的下限就迎风格式，具有最少的格式粘性。 Lax-wendroff 格式没有落在上述范围之内，所以它不是TVD格式。 熵修正函数满足显式TVD格式的判据。因此，使用熵修正函数不会破坏格式的TVD性质。在显式TVD格式的判据中， 、（也就是 ）是实质性的，而 （即 ）只不过是保证显式格式稳定性的CFL条件。8.3 隐式TVD格式充分条件二：对于 ，隐式格式具有TVD性质的充分条件是 ， ， 【证明】将隐式格式改写成所以即将上式取绝对值并无限求和，就是将上式的左右两端分别记作 和 。先来看左边。利用不等式有如果 ， ，则因为 ，上式中各项系数都是非负的。类似于显式格式的证明过程，可以推出，另一方面，在判据成立的条件下，可以推出 ， ， 于是，右端 中各项系数也都是非负的。还是类似于显式格式，有（注）当 时，直接有 。综合起来，就得到所以隐式格式是TVD的。将守恒格式推广成隐式格式其中数值通量 的表达式与 类似，只是将上标换成了。这一隐式格式具有TVD性质的充分条件就是 （ ） 对于显式格式（），上式就是前面给出的条件 对于完全隐式格式（），函数 的值没有上限，只需 对于平均隐式格式（），就是8.5 TVD格式的设计上一节关于格式粘性的讨论，是针对含激波的流场，而且仅限于激波附近。对于光滑的流场，以及含激波流场中远离激波的区域，我们还是希望数值格式能够有较高的精度。为此，重点考察具有二阶精度、不带格式粘性的Lax-Wendroff格式和格式粘性最少的迎风格式它们的右端项之差为所以，在Lax-Wendroff格式右端加上这样一项，就能得到迎风格式。由于这一项的作用类似于格式粘性，但不是格式本身就有的，而是人为加上的，所以称为人工粘性（人为粘性）。反过来，如果从迎风格式右端减去这样一项，就能得到Lax-Wendroff格式。这种做法相当于给格式加上了一个负的人工粘性，故称为反扩散方法。首先能想到的，就是引入一个开关函数，在这两个格式之间来回切换。在激波附近打开开关，或将开关调到一个合适的值，使格式具有一定的格式粘性，对抑制振荡来说刚好够用。而在远离激波的区域，关掉开关，或将开关调成一个小量，又可以使格式粘性（几乎）消失，把格式的精度恢复到二阶或接近二阶。这就是构造TVD格式的基本思路。为了实现这一想法，通常的做法是把限制器函数作为系数与人工粘性项相乘，或者说是用限制器来代替开关函数。下面就以标量方程为例，介绍几种显式TVD格式，然后再推广到守恒律方程组。这些格式都是守恒形式的，因此只需给出格式的数值通量 （将下标减一，就可得到 ）。为简洁起见，下面省略代表时间的上标 。8.6 通量修正 Harten的TVD格式Harten是TVD格式的开创者，他给出了第一个具有TVD性质的二阶格式，当然是非线性格式。尽管后来的研究表明，TVD格式只有二阶精度，而且并不是处处都能有二阶精度，在极值点附近，格式的精度会降为一阶的。Harten从一阶精度的迎风格式入手，其第一修正方程是记 ，则 ，而上式成为Harten的想法是：既然已经知道会产生格式粘性 ，就事先打好埋伏，将迎风格式应用于方程此时的第一修正方程就应该是这里， 对应着 的格式粘性，而 则是与 对应的格式粘性，并且 。于是就有这表明，对于原方程来说，这一做法将得到一个二阶格式。而且，迎风格式是TVD的，因此这个格式也应该是TVD的。Harten将通量 修改成 ，因此称为通量修正法。由于修正的方程可写成相当于在原方程的右边添加了一个负的人工粘性（事先添加的），所以通量修正法是一种反扩散方法。对于迎风格式，有而Harten的TVD格式，就是将迎风格式的数值通量用在修正通量 的身上，所以其数值通量的形式为式中分别是通量 和 的特征速度。经过推导，Harten给出了 的具体计算公式这里 ，而函数 的表达式，Harten取为并推广到隐式格式，成为同时还指出，对于定常问题，上式中无需第二项，应取为在后来的实际应用中，即使是非定常问题，往往也取这种简单的形式。由 的表达式可知， ，所以因此，Harten的TVD格式是五点格式。为了避免出现非物理解，可用熵修正函数来代替绝对值函数，作为格式中的函数 。Harten最初将这一格式命名TVNI格式（全变差不增格式），并宣称该格式是二阶的。但后来人们发现，在数值解的极值点，即满足 ， ，或 ， ，的网格点上，有 ， ，从而 。于是修正的数值通量还原成了三点迎风格式的数值通量。所以，在这样的网格点上，格式只有一阶精度。格式只有二阶精度，在极值点还要降阶，这是所有TVD格式的通病。也是后来人们研究基本无震荡格式（ENO格式）的原因。8.7 反扩散法对流方程的迎风格式为在此基础上，根据反扩散法的思路，Lax-Wendroff格式可写成记 ， ，以上各式的分母如果为零，表达式的值就取为零。在Lax-Wendroff格式中引入限制器函数 ，得到这里规定， 时，取 作为限制器函数的自变量。而当 时，取 作为限制器函数的自变量。显然，当 时，限制器关掉，格式回到迎风格式，是一阶的。当 时，格式就是Lax-Wendroff格式，是二阶的。特别的是，当 时，若 ，格式变成而当 时，这正是二阶迎风格式。可以证明，当 ， 时，格式具有TVD性质。综上所述，关于反扩散法和限制器函数 ，有以下结果： 当 时，格式就是迎风格式，一阶精度。 当 时，格式就是二阶迎风格式，二阶精度。 当 时，格式就是Lax-Wendroff格式，具有二阶精度。 要想通过反扩散法构造出二阶格式，需使 ，也就是要介于二阶迎风格式与Lax-Wendroff格式之间。 当 ， 时，格式具有TVD性质。 限制器函数 ，是为了保证反扩散项一定是负的，不会变成正的。变成正的，就成格式粘性了。 当 时，应该令 。这意味着，在数值解的极值点，格式退化为迎风格式。带来的后果是格式降为一阶的。 限制器函数具有“对称性”常见的限制器函数有 minmod限制器 van Leer限制器 van Albada限制器 Superbee限制器 Chakravarthy-Osher（C-O）限制器 （） 推广的minmod限制器 （）最后两种限制器只有当 时才满足对称性条件。8.8 人工粘性法 高阶对称TVD格式与反扩散法的思路相反，通过向Lax-Wendroff格式添加人工粘性，可以重新得到迎风格式再运用限制器 ，得其中限制器函数 ，这里用到了上一小节中的 。可以证明，当 ， ，时，格式具有TVD性质。常见的限制器函数有用显式的高阶对称TVD格式模拟非定常问题，效果很好，精度高。但用隐式的高阶对称TVD格式模拟定常问题，效果就不好。8.9 通量修正 Roe的高阶TVD格式Roe的想法是直接对迎风格式（推广到方程组就是通量差分格式）右端的最后一项使用限制器，以达到调控格式粘性的目的。但是他采用了高阶对称TVD格式中的限制器 ，即定义数值通量则Roe的高阶TVD格式可写成具体写出来，当 时，上式为所以（将 写成 ） ， 同理，当 时，所以（将 写成 ） ， 综合起来，并注意 和 总有一个为零，格式具有TVD性质的充分条件是 ， 即 ， （注）从显式格式稳定的CFL条件 可推出所以，上面导出的充分条件在 ， ， 时成立。这就是保证TVD格式充分条件成立的“更”充分条件。Roe的高阶TVD格式很容易推广到隐式格式此格式具有TVD性质的充分条件是 ， 即而保证它们成立的“更”充分条件就是 ， ， 还可以按照MUSCL方法，用左、右极限 代替 和 ，此时数值通量的形式变成要注意的是，为了保证格式具有TVD性质，需用加了限制器的MUSCL方法来计算左、右极限 。另外，还可以用熵修正函数代替 。模拟定常问题时，Roe的高阶隐式TVD格式效果很好，弥补了高阶对称TVD格式的不足。8.10 NND格式张涵信院士提出的NND格式是国内最早的TVD格式。在讨论格式粘性的时候，曾推导出第一修正方程，对截断误差的第一主项进行了分析。张涵信则考察了第二修正方程，对截断误差的第一、第二主项做了更深入的分析。对流方程的第二修正方程可以写成这里， 就是格式粘性（对于统一格式， ）。它对应着物理上的耗散（扩散），在波的传播过程中影响波的振幅。而第二修正方程右端的三阶导数项，对应着物理上的色散（弥散），在波的传播过程中影响波的相位。所以 称为格式色散。张涵信院士通过对第二修正方程的分析，提出了“抑制波动原则” （格式粘性不能是负的，这是已有的结论）。 在激波上游，应保证 。 在激波下游，应保证 。同时根据这一原则，给出了构造差分格式的原则：如果将对流方程中的对流项（或者通量）分裂成了正、负两部分，那么 在激波上游，对正的部分应该使用迎风差分近似，而对负的部分可以使用中心差分近似。 而在激波下游，则正好相反。对正的部分可以使用中心差分近似，对负的部分应该使用迎风差分近似。这可以看成是迎风原则的进一步细化。例如，对于单个守恒律方程设 ，则在激波上游，有差分格式这里为了与中心差分近似的精度匹配，迎风差分使用了二阶近似。在激波下游，应有这样构造出来的差分格式，由于使用了二阶差分，精度提高到二阶，同时也扩充成了五点格式。在建立了“如何判断是激波的上游还是下游”的方法之后，可将上述格式统一写成守恒格式再通过对数值通量使用限制器函数，可保证格式具有TVD性质，从而得到二阶精度的TVD格式，称为NND格式（无波动、无自由参数的高分辨率格式）。以minmod限制器为例，数值通量的定义为其中直接对通量（方程组的时候，就是对通量向量的每一个分量）使用限制器，也是NND格式的一个特点。8.11 双曲型守恒律方程组的TVD格式最后将前面介绍的各种TVD格式推广应用到双曲型守恒律方程组其守恒格式为数值通量 通常可以写成物理通量的中心差分项 再加上一个修正项。在下面给出的表达式中，将省略表示时间的上标，而修正项中出现的上标表示向量的分量或者矩阵的列。Harten的TVD格式其中， 是向量 的分量， 是矩阵 的列， 是矩阵 的特征值。以这些特征值为对角线元素构成的对角矩阵 就是 的对角化矩阵，即 。根据通量差分方法，这些量（ 、 、 ）在 处的值都要用Roe平均来计算。但是在计算量很大的情形，也可以放弃性质，用算术平均计算。数值通量中的而 。最后，函数 ， 是熵修正函数Roe