高考数学复习点拨-幂函数综合题型探析.doc

幂函数综合题型探析幂函数作为常见的函数模型，可以和许多问题联系在一起，是重要的知识交汇点，也是课标高考易于考查的考点，值得我们重视。下面对有关幂函数的综合题型归纳探析。一、信息迁移型例1 若点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(-2，14)在幂函数g(x)的图象上，定义hx=fx，f(x)g(x)gx，fxg(x)，试求函数hx的最大值以及单调区间。解析：设fx=xa，因为点(2，2)在f(x)的图象上，所以(2)a=2，所以a=2，即fx=x2；又设gx=xb，点(-2，14)在g(x)的图象上，所以(-2)b=14，所以b=-2，即gx=x-2。在同一坐标系下画出函数fx和gx的图象，如图1，则有hx=x-2， x-1x2，-1x0或01。 y f(x) f(x) g(x) g(x) -1 o 1 x 图1根据图象可知函数hx的最大值等于1，单调递增区间是(-，-1)(0，1)；递减区间是(-1，0)(1，+)。点评：幂函数是新课标新增加的内容，虽然幂函数的形式多种多样，图象和性质较为复杂，学习起来有一定的难度，但考试要求不是很高，只要掌握简单的5个幂函数的有关图象与性质即可，所以要重视对5个简单幂函数的研究，熟练掌握其图象和性质，在考试中一般会以这些简单函数为载体，考查函数的有关问题。本题在两个函数f(x)和g(x)的基础上定义了一个新的函数hx，hx的实质是取f(x)和g(x)中的较小者，这类问题借助图象来解决，直观形象，其最值和单调区间容易求出，所以要重视数形结合思想的运用。二、图象变换型例2 若函数fx=3x-5x-2在区间(m，+)上是递减函数，求实数m的取值范围。解析：本题考查简单幂函数的性质以及函数图象的平移问题。由于fx=3x-5x-2=3x-6+1x-2=3+1x-2，所以函数fx的图象是由幂函数gx=1x的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，所以其图象如图2。 y y=(3x-5)/(x-2) 3 0 2 x y=1/x 图2其单调递减区间是(-，2)和(2，+)，而函数fx在区间(m，+)上是递减函数，所以应有m2。提示：函数y=1x是一个比较常用的幂函数，它也叫做反比例函数，其定义域是x|xR，x0，是一个奇函数，对称中心为(0，0)，在(-，0)和(0，+)上都是递减函数。一般地，形如y=ax+bcx+d的函数都可以经过对y=1x的图象变换得到，所以这些函数的性质都可以借助y=1x的性质来得到。三、讨论性质型3. 已知幂函数fx=x13(2m-6)(mN)是偶函数，且在(0，+)上是减函数，求函数fx的解析式，并讨论gx=afx-bxfx的奇偶性。解析：由fx在(0，+)上是减函数得13(2m-6)0，m3。mN，m=0，1， 2。又因为fx是偶函数，只有当m=0时符合，故fx=x-2。于是gx=a|x|-bx ，g-x=a|x|+bx。当a0且b0时，gx为非奇非偶函数；当a=0且b0时，gx为奇函数；当a0且b=0时，gx为偶函数；当a=0且b=0时，gx为既奇又偶函数。点评：本题是利用幂函数的定义和性质求解解析式，根据函数奇偶性的定义讨论奇偶性的。四、开放探索型例4 已知幂函数fx=x3-ppN在0，+上是增函数，且在定义域上是偶函数。（1）求p的值，并写出相应的函数fx的解析式；（2）对于（1）中求得的函数fx，设函数gx=-qffx+2q-1fx+1。问是否存在实数qq0，p3。又pN，p=0，1，2。fx在定义域上是偶函数，只有当p=1符合，故fx=x2。（2）由fx=x2，则gx=-qx4+2q-1x2+1。假设存在实数qq0，使得gx满足题设条件。令t=x2，则gt=-qt2+2q-1t+1(t0)。t=x2在(-，0)上是减函数，当x(-，-4时，t16，+)；当x-4，0时，t0，16。 若gx在区间(-，-4上是减函数，且在区间-4，0上是增函数，则gt在0，16上是减函数，且在16，+)上是增函数，此时二次函数gt的对称轴方程是t=16，即t=-(2q-1)2(-q)=1-12q=