草地水量问题的数学模型2.doc

草地水量问题的数学模型刘海景1 林锡波2 王燕芹31韶关学院2004级数学系应用数学班2韶关学院2006机电系06自动化3韶关学院2006级数学系数学教育班摘 要本文针对网球场草地的降水后情况,首先分析草地干燥的过程,定义了水高度(水面与草地地面的高度差,也称水头差)的概念,巧妙地把问题转换成对水高度的分析的问题,建立了描述草地干燥过程的微分方程模型;其次对微分方程中的未知量进行理论分析，并且在假设描叙下雨速度的数学函数遵循某一曲线的情况下分析了模型,分析了雨过后草地水量的减少过程.得到水位高最高值是在下雨速度由高到低这一过程取得,时间为下雨速度等于蒸发、蒸腾和渗透速度之和这一时刻.并根据所建立的模型预测雨停后经过时间时草地变干燥.关键词:水头差； 渗透系数；水压梯度；蒸发率1 问题的提出草地网球比赛常因下雨而被迫中断,由于防水层不一定有效,往往需要经过一段时间使草地的最上层充分干后,才能继续进行比赛,雨停之后,部分雨水直接渗入地下,部分蒸发到空气中去.虽然有一些机械装置可用来加速干燥过程,但为避免损伤草皮,最好让草地自然地变干.试建立一个描述这种干燥过程的数学模型,并说明雨停止以后草地里的水量减少过程.2 模型的假设2.1 不考虑除自然变干外的其他因素(如有排水道,一些加速干燥的机器等);2.2 所研究的对象除了下雨带来的降水外和外界水体系没有联系;2.3 草地的草分布是均匀的并且每一棵小草的蒸腾的速率一样的;2.4 在所研究的面积内草地自由水面的蒸发速率处处相等. 3 符号的约定3.1 f(t) t时刻下雨的速度，(毫米/秒);3.2 h(t) t时刻草地上面的水高度(也称水头差)， (毫米);3.3 v(t) t时刻渗入地面的速度(随着水高度的变化而变化) ，(厘米/秒);3.4 (t) t时刻草地的蒸腾速度(毫米/秒);3.5 (t) t时刻草地蒸发的速度(毫米/秒);3.6 K 渗透系数;3.7 H 土柱上水头差（厘米）即静水压力；3.8 I 水压梯度;3.9 下雨时间(秒);3.10 L 发生水分渗透作用的土层的厚度（厘米）即渗透路程。4 问题的分析此题的目的是要我们分析从下雨开始时到草地最上层干燥后这一过程草地水量变化的问题.草地水量变化的问题可以对草地水的质量变化的分析,也可以是对水体积大小的分析,这里我们采用草地水高度变化来分析草地水量变化的问题,当水位最高时表示此时草地最为潮湿,当水位高度为零时就说草地土壤表面干燥了.首先，采用微分方程模型对草地水量进行分析，得到相应的微分方程。经过分析当水高度为零时候说明草地土壤表面干燥了。其次，对微分方程一些未知量进行讨论。通过参照相关书籍和网上相关论文，给出微分方程未知量相应的推导理论依据。最后，对模型的讨论和推广。5模型的建立和求解5.1 下面采用微分方程模型对此问题进行分析，如图： 下 雨 蒸腾 水面蒸发水高度（水头差）地面渗透作用通过分析显然有以下的结论和式子: (1) 式中：表示时刻草地上的水高度；表示时刻草地蒸腾的速度；表示时刻草地地面渗透的速度；表示时刻水面蒸发的速度。5.2式(1)中各符号的讨论:5.1.1 的分析。显然是一个变化的量,每一场雨它的下雨速度的数学函数都不同,但是雨速的变化都有两个过程:小大,大小.这里我们把下雨速度达到最大值的时间定在，并且下雨过程中的雨速函数的轨迹遵循某一抛物线.经分析这抛物线有以下几点性质:开口向下、经过坐标原点.所以我们可以写出如下的函数方程. (2)其中是下雨时间,为下雨的最大速度.经过分析其最大速度可以是反映这一类型雨的雨速的最大值 (比如是中雨的f(/2)，就用中雨和大雨的分界雨速来表示).5.2.2 渗透系数的测量理论分析。在饱和水分土壤中，渗透性按照达西公式计算如下：式中：为渗透速度，每秒钟通过1平方厘米土壤断面的水的流量，以立方厘米表示；为水压梯度，即渗透层中单位距离内的水压降；为渗透系数，在单位水压梯度（I=1）下，单位时间内通过单位截面积的流量（毫升/分或小时）；为土柱上水头差（厘米）即静水压力；为发生水分渗透作用的土层的厚度（厘米）即渗透路程。在时间t内渗透过一定截面积A（平方厘米）的水量Q，可以用下列的方程式来表示： 因此渗透系数 （毫米/厘米2/分或小时）土壤渗透性的测定有室外法（渗透简法）及室内法（环刀法）。5.2.3 v(t)的分析。 (3)由5.2.2 K的测量理论分析可以得到，是一个随着水高度变化而变化的变化，即是是关于的函数.通过计算可以得到如下的式子： (4)5.2.4 草地蒸腾的理论分析。由Penman公式求参考作物最大腾发率EtoPenman公式 (5)式中：Po, P分别为标准大气压和当地大气压；为气温与饱和水汽压关系曲线的斜率；为干湿球湿度计常数；Rn为净辐射；Ea为空气动力学参数。公式(5)所需资料可从常规气象观测资料获得。计算的Eto是充分供水条件下一种参考作物(短绿草)的最大腾发率。由作物系数求充分供水条件下作物腾发率 (6)作物系数是作物本身生物学特性的反映，它与作物的种类、品种、生育期等有关。5.2.5 水面蒸发的理论分析。水面蒸发水面蒸发是在充分供水条件下的蒸发。从分子运动论的观点来看，水面蒸发是发生在水体与大气之间界面上的分子交换现象。包括水分子自水面逸出，由液态变为气态；以及水面上的水汽分子返回液面，由气态变为液态。通常所指的蒸发量E，是从蒸发面跃出的水量和返回蒸发面的水量之差值，称为有效蒸发量。E的几种计算方法。1.经验公式法在缺乏实测资料情况下，可采用经验公式估算水面蒸发。此类公式国内外很多，基本特征是选择有实测资料的饱和水汽压、风速等作为主要参数，其它因素统一作为有关系数来考虑。其一般形式为： (7)式中，f（u）为风速函数；e0为饱和水汽压；ez为水面上z高度的实际水汽压；k为系数。此类公式国外的如：1)Penman公式2)Kuzmin公式 式中，e2、e8分别为水面上2米、8米处的水汽压；u8为水面上8米高处的风速。国内的有：1) 原华东水利学院于1966年综合国内12个蒸发站资料得出的公式：式中，e200、u200分别为水面上200厘米高处水汽压与风速。我们计算的是，是蒸发量，只要我们通过相应的公式就可以计算出蒸发速度了。5.3 微分方城的求解对上面是式子分析: (8) (9) 对(9)进行微分得到: (10) 它要求的只是雨停后的数学模型即是雨停后水关差与时间变化的关系式.即： (11)应用Matlab计算出： (12)显然h(t)随着时间的表化慢慢变小,当t=时候为零6结果的分析和检验 由于没有考虑到非自然因素时间肯定是比现实中的要长的多,我们也可以考虑非自然因素,比如是排水系统(水沟,机器烘干等)那么我们就把这些因素归为一类,取综合影响度设为同样也是可以得出微分方程,解出微分方程. (15)7模型的评价与推广本文在建立水量问题的模型时，用到了房室模型，定义了水高度（草地最上面水位的高度,也称水头差）的概念，巧妙的把问题转换成对水高度的分析问题，但是本文忽略了非自然干燥的因素，所以让结果和现实中有比较大的出入.这个模型可以用到不同类型的网球场地