初中数学竞赛辅导讲义及习题解答-第22讲-园幂定理

1 第二十二讲第二十二讲 园幂定理园幂定理 相交弦定理 切割线定理 割线定理统称为圆幂定理 圆幂定理实质上是反映两条相 交直线与圆的位置关系的性质定理 其本质是与比例线段有关 相交弦定理 切割线定理 割线定理有着密切的联系 主要体现在 1 用运动的观点看 切割线定理 割线定理是相交弦定理另一种情形 即移动圆内两 条相交弦使其交点在圆外的情况 2 从定理的证明方法看 都是由一对相似三角形得到的等积式 熟悉以下基本图形 基本结论 例题求解例题求解 例 1 如图 PT 切 O 于点 T PA 交 O 于 A B 两点 且与直径 CT 交于点 D CD 2 AD 3 BD 6 则 PB 思路点拨思路点拨 综合运用圆幂定理 勾股定理求 PB 长 注 比例线段是几何之中一个重要问题 比例线段的学习是一个由一般到特殊 不断深化 的过程 大致经历了四个阶段 1 平行线分线段对应成比例 2 相似三角形对应边成比例 3 直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来 4 圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来 例 2 如图 在平行四边形 ABCD 中 过 A B C 三点的圆交 AD 于点 E 且与 CD 相切 若 AB 4 BE 5 则 DE 的长为 A 3 B 4 C 4 15 D 5 16 思路点拨思路点拨 连 AC CE 由条件可得许多等线段 为切割线定理的运用创设条件 2 注 圆中线段的算 常常需要综合相似三角形 直角三角形 圆幂定理等知识 通过代数 化获解 加强对图形的分解 注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键 例 3 如图 ABC 内接于 O AB 是 O 的直径 PA 是过 A 点的直线 PAC B 1 求证 PA 是 O 的切线 2 如果弦 CD 交 AB 于 E CD 的延长线交 PA 于 F AC 8 CE ED 6 5 AE BE 2 3 求 AB 的长和 ECB 的正切值 思路点拨思路点拨 直径 切线对应着与圆相关的丰富知识 1 问的证明为切割线定理的运用创 造了条件 引入参数 x k 处理 2 问中的比例式 把相应线段用是的代数式表示 并寻找 x 与 k 的关系 建立 x 或 k 的方程 例 4 如图 P 是平行四边形 AB 的边 AB 的延长线上一点 DP 与 AC BC 分别交于 点 E E EG 是过 B F P 三点圆的切线 G 为切点 求证 EG DE 思路点拨思路点拨 由切割线定理得 EG2 EF EP 要证明 EG DE 只需证明 DE2 EF EP 这样 通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明 注 圆中的许多问题 若图形中有适用圆幂定理的条件 则能化解问题的难度 而圆中线 段等积式是转化问题的桥梁 需要注意的是 圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明 可拓展到平面几 何各种类型的问题中 例 5 如图 以正方形 ABCD 的 AB 边为直径 在正方形内部作半圆 圆心为 O DF 切半圆于点 E 交 AB 的延长线于点 F BF 4 求 1 cos F 的值 2 BE 的长 思路点拨思路点拨 解决本例的基础是 熟悉圆中常用辅助线的添法 连 OE AE 熟悉圆中重要 性质定理及角与线段的转化方法 对于 1 先求出 EF FO 值 对于 2 从 BE F EAF Rt AEB 入手 3 注 当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形 善于分析图形是解与圆相关综合题的关 键 分析图形可从以下方面入手 1 多视点观察图形 如本例从 D 点看可用切线长定理 从 F 点看可用切割线定理 2 多元素分析图形 图中有没有特殊点 特殊线 特殊三角形 特殊四边形 全等三 角形 相似三角形 3 将以上分析组合 寻找联系 学力训练学力训练 1 如图 PT 是 O 的切线 T 为切点 PB 是 O 的割线 交 O 于 A B 两点 交弦 CD 于点 M 已知 CM 10 MD 2 PA MB 4 则 PT 的长为 2 如图 PAB PCD 为 O 的两条割线 若 PA 5 AB 7 CD 11 则 AC BD 3 如图 AB 是 O 的直径 C 是 AB 延长线上的一点 CD 是 O 的切线 D 为切点 过 点 B 作 O 的切线交 CD 于点 F 若 AB CD 2 则 CE 4 如图 在 ABC 中 C 90 AB 10 AC 6 以 AC 为直径作圆与斜边交于点 P 则 BP 的长为 A 6 4 B 3 2 C 3 6 D 8 5 如图 O 的弦 AB 平分半径 OC 交 OC 于 P 点 已知 PA PB 的长分别为方程 02412 2 xx的两根 则此圆的直径为 A 28 B 26 C 24 D 22 4 6 如图 O 的直径 Ab 垂直于弦 CD 垂足为 H 点 P 是 AC 上一点 点 P 不与 A C 两 点重合 连结 PC PD PA AD 点 E 在 AP 的延长线上 PD 与 AB 交于点 F 给出下 列四个结论 CH2 AH BH AD AC AD2 DF DP EPC APD 其中正 确的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 7 如图 BC 是半圆的直径 O 为圆心 P 是 BC 延长线上一点 PA 切半圆于点 A AD BC 于点 D 1 若 B 30 问 AB 与 AP 是否相等 请说明理由 2 求证 PD PO PC PB 3 若 BD DC 4 l 且 BC 10 求 PC 的长 8 如图 已知 PA 切 O 于点 A 割线 PBC 交 O 于点 B C PD AB 于点 D PD AO 的延长线相交于点 E 连 CE 并延长交 O 于点 F 连 AF 1 求证 PBD PEC 2 若 AB 12 tan EAF 3 2 求 O 的半径的长 9 如图 已知 AB 是 O 的直径 PB 切 O 于点 B PA 交 O 于点 C PF 分别交 AB BC 于 E D 交 O 于 F G 且 BE BD 恰哈好是关于 x 的方程 0 134 6 22 mmxx 其中m为实数 的两根 1 求证 BE BD 2 若 GE EF 36 求 A 的度数 10 如图 ABC 中 C 90 O 为 AB 上一点 以 O 为圆心 OB 为半径的圆与 AB 相交于点 E 与 AC 相切于点 D 已知 AD 2 AE 1 那么 BC 11 如图 已知 A B C D 在同一个圆上 BC CD AC 与 BD 交于 E 若 AC 8 CD 4 且线段 BE ED 为正整数 则 BD 5 12 如图 P 是半圆 O 的直径 BC 延长线上一点 PA 切半圆于点 A AH BC 于 H 若 PA 1 PB PC a a 2 则 PH A a 2 B a 1 C 2 a D 3 a 13 如图 ABC 是 O 的内接正三角形 弦 EF 经过 BC 的中点 D 且 EF AB 若 AB 2 则 DE 的长为 A 2 1 B 2 15 C 2 3 D 1 14 如图 已知 AB 为 O 的直径 C 为 O 上一点 延长 BC 至 D 使 CD BC CE AD 于 E B E 交 O 于 F AF 交 CE 于 P 求证 PE PC 15 已知 如图 ABCD 为正方形 以 D 点为圆心 AD 为半径的圆弧与以 BC 为直径的 O 相交于 P C 两点 连结 AC AP CP 并延长 CP AP 分别交 AB BC O 于 E H F 三点 连结 OF 1 求证 AEP CEA 2 判断线段 AB 与 OF 的位置关系 并证明你的结论 3 求 BH HC 16 如图 PA PB 是 O 的两条切线 PEC 是一条割线 D 是 AB 与 PC 的交点 若 PE 2 CD 1 求 DE 的长 17 如图 O 的直径的长是关于 x 的二次方程0 2 2 2