多元函数微分学

高数课件 周洋 第八章多元函数微分法及其应用 开始 退出 第一节多元函数的基本概念 返回 第二节偏导数 第四节多元复合函数的求导法则 第五节隐函数的求导公式 第六节微分法在几何上的应用 第八节多元函数的极值及其求法 第七节方向导数与梯度 第三节全微分 总习题 返回 一 区域 四 多元函数的连续性 三 多元函数的极限 二 多元函数概念 第一节多元函数的基本概念 习题 第一节多元函数的基本概念一 区域1 邻域设是xOy平面上的一个点 是某一正数 与点距离小于 的点的全体称为的邻域 记为 即也就是 返回 下一页 2 区域设E是平面上的一个点集 P是平面上的一个点 如果存在点P的某一邻域使 则称P为E的内点 图8 1 如果点集E的点都是内点 则称E为开集 如果点P的任一邻域内既有属P于E的点 也有不属于E的点 E则称P为E的边界点 图8 2 设D是开集 如果对于D内的图8 1任何两点 都可用折线连结起 下一页 上一页 返回 来 而且该折线上的点都属于D P则称开集D是连通的 连通的开集称为区域或开区域 E开区域连同它的边界一起 称为闭区域 图8 23 n维空间设n为取定的一个自然数 我们称有序n元数组的全体为n维空间 而每个有序n元数组称为n维空间中的一个点 数称 返回 下一页 上一页 为该点的第i个坐标 n维空间记为 n维空间中两点及间的距离规定为 返回 下一页 上一页 二 多元函数概念定义1设D是平面上的一个点集 如果对于每个点P x y D 变量z按照一定法则总有确定的值和它对应 则称z是变量x y的二元函数 或点P的函数 记为点集D称为该函数的定义域 x y称为自变量 z 例题 返回 下一页 上一页 也称为因变量 数集称为该函数的值域 把定义1中的平面点集D换成n维空间内的点集D 则可类似的定义n元函数 当n 1时 n元函数就是一元函数 当n 2时n元函数统称为多元函数 返回 下一页 上一页 三 多元函数的极限二元函数当 即时的极限 这里表示点以任何方式趋于 也就是点与点间的距离趋于零 即定义2设函数f x y 在开区域 或闭区域 内有定义 是D的内点或边界点如果对于任意给定的正数 总存在正数 使得对于适合不等式 返回 下一页 上一页 的一切点P x y D 都有成立 则称常A为函数f x y 当 时的极限 记作或这里 例题 返回 下一页 上一页 四 多元函数的连续性定义3设函数f x y 在开区域 或闭区域 D内有定义 是D的内点或边界点且 如果则称函数f x y 在点连续 若函数f x y 在点不连续 则称为函数f x y 的间短点 函数 返回 下一页 上一页 当x 0 y 0时的极限不存在 所以点 0 0 是该函数的一个间断点 函数在圆周上没有定义 所以该圆周上各点都是间断点 是一条曲线 性质1 最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数 在D上一定有最大值和最小值 在D上至少有一点及一点 使得为最大值而为最小值 即对于一切P D 有 返回 下一页 上一页 性质2 介值定理 在有界闭区域D上的多元函数 如果在D上取得两个不同的函数值 则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次 如果 是函数在D上的最小值m和最大值M之间的一个数 则在D上至少有一点Q 使得f Q 性质3 一致连续性定理 在有界闭区域上的多元连续函数必定在D上一致连续 若f P 在有界闭区域D上连续 那么对于任意给定的正数 总存在正数 使得对于D上的 返回 下一页 上一页 任意二点 只要当时 都有成立 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 由多元初等函数的连续性 如果要求它在点处的极限 而该点又在此函数的定义区域内 则极限值就是函数在该点函数值 即 例题 返回 上一页 一 偏导数的定义及其计算方法 二 高阶偏导数 第二节偏导数 习题 返回 一 偏导数的定义及其计算方法定义设函数在点的某一邻域内有定义 当y固定在而x固定在处有增量 x时 相应地函数有增量如果 1 存在 则称此极限为函数在点处对x的偏导数 记作 返回 下一页 例如 极限 1 可以表示为 2 类似地 函数在点对y的偏导数定义为 返回 下一页 上一页 3 记作如果函数在区域D内每一点 x y 处对x的偏导数都存在 那么这个偏导数就是x y函数 它就称为函数对自变量x的偏导函数 记作 返回 下一页 上一页 类似的 可以定义函数z f x y 对自变量y的偏导函数 记作求时只要把y暂时看作常量对x求导数 求时只要把暂x时看作常量对y求导数 例题 返回 下一页 上一页 图8 6 返回 下一页 上一页 二 高阶偏导数设函数z f x y 在区域D内具有偏导数那么在D内都是x y的函数 如果这两个函数的偏导数也存在 则称它们是函数z f x y 的二阶偏导数 按照对变量求导次序的不同下列四个二阶偏导数 返回 下一页 上一页 二元函数z f x y 在点的偏导数有下述几何意义 设为曲面z f x y 上的一点 过作平面 截此曲面得一曲线 此曲线在平面上的方程为 则导数 即偏导数 就是这曲线在点处的切线对x轴的斜率 见图8 6 同样偏导数的几何意义是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对y轴的斜率 返回 下一页 上一页 其中第二 第三两个偏导数称为混合偏导数 同样可得三阶 四阶 以及n阶偏导数 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 定理如果函数z f x y 的两个二阶混合偏导数及在D内连续 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等 例题 例题 返回 上一页 第三节全微分及其应用 习题 下一页 返回 第三节全微分及其应用二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时 因变量相对于该自变量的变化率 上面两式的左端分别叫做二元函数对x和对y的偏增量 而右端分别叫做二元函数对x和对y的偏微分 设函数z f x y 在点P x y 的某邻域内有定义 并设为这邻域内的任意一 下一页 上一页 返回 点 则称这两点的函数值之差为函数在点P对应于自变量增量 x y的全增量 记作 z 即定义如果函数z f x y 在点 x y 的全增量 1 可表示为 下一页 上一页 返回 其中A B不依赖于 x y而仅与x y有关 则称函数z f x y 在点 x y 可微分 而称为函数z f x y 在点 x y 全微分 记作dz 即 2 如果函数在区域D内各点处都可微分 那么称这函数在D内可微分 下面讨论函数z f x y 在点 x y 可微分的条件 定理1 必要条件 如果函数z f x y 在点 下一页 上一页 返回 x y 可微分 则该函数在点 x y 的偏导数必定存在 且函数z f x y 在点 x y 的全微分为 3 证设函数z f x y 在点P x y 可微分 于是对于点P的某个邻域内的任意点 2 式总成立 特别当时 2 式也应成立 这时 所以 2 式成为 下一页 上一页 返回 上式两边各除以 再令而极限 就得从而 偏导数存在 而且等于A 同样可证 B 所以三式成立 证毕 下一页 上一页 返回 定理2 充分条件 如果z f x y 的偏导数在 x y 连续 则函数在该点可微分 证因为我们只限于讨论在某一区域内有定义的函数 对于偏导数也如此 所以假定偏导数在点P x y 连续 就含有偏导数在该点的某一邻域内必然存在的意思 设点为这邻域内任意一点 考察函数的全增量 下一页 上一页 返回 在第一个方括号内的表达式 由于y y不变 因而可以看作是x的一元函数的增量 于是应用拉格郎日中值定理 得到又依假设 在点连续 所以上式可写为 下一页 上一页 返回 4 其中为 x y的函数 且当时 同理可证第二个方括号内的表达式可写为 5 其中为 y的函数 且当时 由 4 5 两式可见 在偏导数连续的假定下 全增量 z可以表示为 下一页 上一页 返回 容易看出它就是随着即而趋于零的 这就证明了z f x y 在点P x y 是可微分的 例题 上一页 返回 第四节多元复合函数的求导法则 返回 下一页 习题 第四节多元复合函数的求导法则定理如果函数及都在点t可导 函数z f u v 在对应点 u v 具有连续偏导数 则符合函数在t可导 切其导数可用下列公式计算 1 证设t获得增量 t 这时 的对应增量为 u v 由此 函数z f u v 下一页 上一页 返回 相应的获得增量 z 根据规定 函数z f u v 在点 u v 具有连续偏导数 于是由第三节公式 6 有这里 当时 将上式两边各除以 t 得因为当 时 下一页 上一页 返回 所以这就证明符合函数在点t可导 且其导数可用公式 1 计算 证毕 全微分形式不变设函数z f u v 具有连续偏导数 则有全微分 下一页 上一页 返回 如果u v又是x y的函数 且这两个函数也具有连续偏导数 则复合函数的全微分为 下一页 上一页 返回 其中及发分别由公式 4 及 5 给出 把公式 4 及 5 中的及带如上式 得 下一页 上一页 返回 由此可见 无论z是自变量u v的函数或中间变量u v的函数 它的全微分形式是一样的 这个性质叫做全微分形式不变性 上一页 返回 一 一个方程的情形 二 方程组的情形 第五节隐函数的求导公式 返回 习题 一 一个方程的情况隐函数存在定理1设函数在点的某一邻域内具有连续偏导数 且 则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单质来年许具有连续导数的函数 它满足条件 并有 1 返回 下一页 公式推导 将方程所确定的函数代入 得恒等式其左端可以看作是x的一个复合函数 求这个函数的全导数 由于恒等式两端求导后仍然恒等 即得由于 且 所以存在的 返回 下一页 上一页 一个邻域 在这个邻域内 于是得如果的二阶偏导数也都连续 我们可以把等式 1 的两端看作x的复合偏导数而再求一次导 即得 返回 下一页 上一页 隐函数存在定理可以判定由方程所确定的二元函数的存在 以及这个函数的性质 隐函数存在定理2设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数 返回 下一页 上一页 且 则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 它满足条件 并有 2 将公式 2 做如下的推导 由于将上式两端分别对x和y求导 应用复合函数求导 返回 下一页 上一页 法则得因为连续 且 所以存在点的一个邻域 在这个邻域内 于是得 返回 下一页 上一页 二 方程组的情况考虑方程组 5 在四个变量中 一般只能有两个变量独立化 因此方程组 5 就有可能确定两个二元函数 这种情形下我们可以由函数F G的性质来断定方程组 5 所确定的两个二元函数的存在 以及它们的性质 返回 下一页 上一页 隐函数存在定理3设以及在点的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数 又 且偏导数所组成的函数行列式 或称雅可比 Jacobi 行列式 返回 下一页 上一页 在点不等于零 则方程组 在点的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数 它们满足条件 并有 返回 下一页 上一页 6 返回 下一页 上一页 下面仅就公式 6 做如下推导 由于 返回 下一页 上一页 将恒等式两边分别对x求导 应用复合函数求导法则得这是关于的线性方程组 由假设可知在点的一个邻域 系数行列式 返回 下一页 上一页 从而可解出 得同理 可得 返回 上一页 一 空间曲线的切线与法平面 二 曲面的切平面与法线 第六节微分法在几何上的应用 返回 习题 一 空间曲线的切线与法平面设空间曲线 的参数方程 1 这里假定 1 式的三个函数都可导 在曲线 上取对应与的一点及对应于的邻近一点 根据解析几何 曲线的割线的方程是 返回 下一页 当沿着 趋于 时割线的极限位置就是曲线 在点处的切线 图8 7 用 t除上式的各分母 得令 这 t 0 通过对上式取极限 即得图8 7曲线在点处的切线方程 返回 下一页 上一页 这里当要假定都不能为零 切线的方向向量称为曲线的切向量 向量就是曲线通过 在点处的一个切向量 点通过而与切线垂直的平面称为曲线 在 返回 下一页 上一页 点处的法平面 它是通过点而以T为法向量的平面 因此这法平面的方程为 返回 下一页 上一页 二 曲面的切平面与法线我们先讨论由隐式给出曲面方程的情形 然后把显式给出的曲面方程z f x y 作为它的特殊情形 设曲面 由方程 9 给出 是曲面 上的一点 并设函数的偏导数在该点连续且不同时为零 在曲线 上 通过点M引一条曲线 图8 8 假定曲线 的参数方程为 返回 下一页 上一页 程为 10 对应于点且 不全为零 则由 2 式可得这曲线的切线方程为图8 8 返回 下一页 上一页 引入向量则表示 10 在点M处的切向量 返回 下一页 上一页 与向量n垂直 因为曲线 10 是曲面上通过点M的任意一条曲线 它们在点M的切线都与同一个向量n垂直 所以曲面上通过点M的一切曲线在点M的切线都在同一个平面上 这个平面称为曲面 在点M的切平面 这切平面的方程是 12 通过点而垂直于切平面 12 的直线称为曲面在该点的法线 法线方程是 返回 下一页 上一页 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量 向量就是曲面 在点M处的一个法向量 返回 上一页 一 方向导数 二 梯度 第七节方向导数与梯度 返回 习题 第七节方向导数与梯度一 方向导数设函数z f x y 在P x y 的某一邻域U P 内有定义 自点P引射线 设x轴正向到射线的转角为 并设为上的另一点 图8 9 且 我们考虑函数的增量与两点间的距离的比值 当沿着趋于时 如果这个比的极限存在 则称这极 返回 下一页 限为函数f x y 在点P沿方向的方向导数 记作 即图8 9 返回 下一页 上一页 定理如果函数z f x y 在点P x y 是可微分的 那么函数在该点沿任一方向的导数都存在且有其中为x轴到方向的转角 证根据函数z f x y 在点P x y 是可微分的假定 函数的增量可以表达为 返回 下一页 上一页 两边各除以 得到所以 返回 下一页 上一页 这就证明了方向导数存在且其值为 返回 下一页 上一页 对于三元函数u f x y z 来说 它在空间一点P x y z 沿着 设方向的方向为 的方向导数 同样可以定义为其中 同样可以证明 如果函数在所考虑的点处可微分 那么函数在该点沿着方向的方向导数 返回 下一页 上一页 为 返回 下一页 上一页 二 梯度在二元函数的情形 设函数z f x y 在平面区域D内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P x y D 都可以定出一个向量这向量称为函数z f x y 在点P x y 的梯度 记作 即 返回 下一页 上一页 函数在某点的梯度是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为方向导数的最大值 由梯度的定义可知 梯度的模为一般来说二元函数z f x y 在几何上表示一个曲面 这曲面被平面z c c是常数 所截得的曲线L的方程为 返回 下一页 上一页 这条曲线在xOy面的投影是一条平面曲线 图8 10 它在xOy平面直角坐标系中的方程为图8 10 返回 下一页 上一页 对于曲线上的一切点 已给函数的函数值都是c 所以我们称平面曲线为函数z f x y 的等高线 由于等高线f x y c上任一点P x y 处的法线斜率为所以梯度 返回 下一页 上一页 为等高线上点P处的法向量 因此我们可得梯度与等高线的下述关系 函数z f x y 在点P x y 的梯度方向与过点P的等高线f x y c在这点的法线的一个方向相同 且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线 而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数 这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向 对于三元函数来说 函数u f x y z 在空间区域G内具有一阶连续偏导数 则对每一点 都可定出一个向量 返回 下一页 上一页 这向量称为函数u f x y z 在点P x y z 的梯度 将它记作 即如果我们引进曲面 返回 下一页 上一页 为函数u f x y z 的等量面的概念 则可得函数u f x y z 在点P x y z 的梯度的方向与过点P的等量面f x y z c在这点的法线的一个方向相同 且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面 而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数 返回 上一页 一 多元函数的极值及最大值 最小值 二 条件极值 第八节多元函数的极值及其求法 返回 习题 第八节多元函数的极值及其求法一 多元函数的极值及最大值 最小值定义设函数在点的某个邻域内有定义 对于该邻域内异于的点 如果都适合不等式则称函数在点有极大值 如果都适合不等式 返回 下一页 则称函数在点有极小值 极大值 极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 以上关于二元函数的极值概念 可推广到n元函数 设n元函数在点的某一邻域内有定义 如果对于该邻域内有异于的任何点都不适合不等式 返回 下一页 上一页 则称函数在点有极大值 极小值 定理1 必要条件 设函数在点具有偏导数 且在点处有极值 则它在该点的偏导数必然为零 证不妨设在点处有极大值 依极大值的定义 在的某邻 返回 下一页 上一页 域内异于的点都适合不等式特殊地 该邻域内取而的点 也应合适不等式这表明一元函数在处取得极大值 因而必有 返回 下一页 上一页 类似地可证如果三元函数在点具有偏导数 则它在点具有极值的必要条件为定理2 充分条件 设函数在 返回 下一页 上一页 点的某邻域内连续且具有一阶及二阶连续偏导数 又 令则在处是否取得极值的条件如下 1 时具有极值 且当时有极大值 当时有极小值 2 时没有极值 3 时可能有极值 也可能没 返回 下一页 上一页 有极值 还需另作讨论 二阶连续偏导数的函数的极值的求法叙述如下 第一步解方程组求得一切实数解 即可求得一切驻点 第二步对于每一个驻点 求出二阶偏导数的值和 第三步定出的符号 按定理2的 返回 下一页 上一页 结论判定是否是极值 是极大值还是极小值 返回 下一页 上一页 二 条件极值拉格朗日乘数法上面所讨论的极值问题 对于函数的自变量 除了限制在函数的定义域以外 并无其他条件 所以有时候称为无条件极值 但在实际问题中 有时会遇到对函数的自变量还有附加条件的极值问题 例如 求表面积为而体积为最大的长方体的体积问题 设长方体的三棱的长为还必须满足附加条件 象这种对自变量有附加条件的极值称为条件极值 返回 下一页 上一页 对于有些实际问题 可以把条件极值化为无条件极值 然后利用第一目中的方法加以解决 例如上述问题 可由条件 将z表示成x y的函数再把它代入中 于是问题就化为求 返回 下一页 上一页 的无条件极值 但在很多情形下 将条件极值化为无条件极值并不这样简单 我们另有一种直接寻求条件极值的方法 可以不必先把问题化到无条件极值的问题 拉格朗日乘数法要找函数在附加条件下的可能极值点 可以先构成辅助函数其中为某一常数 求其对x与y的一阶偏导数 返回 下一页 上一页 并使之为零 然后与方程联立起来 由这方程组解出及 则其中就是函数在附加条件下的可能极值点的坐标 返回 下一页 上一页 第八章结束 上一页 返回 总习题八1 在 充分 必要 和 充分 三者中选择一个正确的填入下列空格内 1 在点可微分是在该点连续的充分条件 在点连续是在该点可微分的必要条件 2 在点的偏导数及存在是在该点可微分的必要 下一页 返回 条件 在点可微分是函数在该点的偏导数及存在的充分条件 3 的偏导数及在点存在且连续是在该点可微分的充分条件 4 函数的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续是这两个二阶 下一页 返回 上一页 混合偏导数在D内相等的充分条件 2 求函数的定义域 并求 3 证明极限不存在 下一页 返回 上一页 题解 题解 4 设求及 5 求下列函数的一阶和二阶偏导数 下一页 返回 上一页 题解 题解 题解 6 求函数当时的全增量和全微分 7 设证明 在点 0 0 处连续且偏导数存在 但不可微分 下一页 返回 上一页 题解 题解 8 设 而都是可微函数 求 9 设具有连续偏导数 而求 10 设 其中f具有连续的二阶偏导数 求 下一页 返回 上一页 题解 题解 题解 11 设试求和 12 求螺旋线在点处的切线及法平面方程 13 在曲面上求一点 使这点处的法线垂直于平面 并写出这法线的方程 下一页 返回 上一页 题解 题解 题解 14 设x轴正向到方向的转角为 求函数在点 1 1 沿方向的方向导数 并分别确定转角 使这导数有 1 最大值 2 最小值 3 等于0 15 求函数在椭球面上点处沿外法线方向的方向导数 下一页 返回 上一页 题解 题解 16 求平面和柱面的交线上与xOy平面距离最短的点 17 在第一卦限内做椭球面的切平面 使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小 求着切平面的切点 并求此最小体积 返回 上一页 题解 题解 解 求定义域需满足即需满足 下一页 返回 而是D的一个内点 返回 上一页 解 设当时 沿的方向趋近于零显然 该极限随k的不同而改变 返回 解 当 显然 当 下一页 返回 下一页 返回 上一页 同理当 显然 当 返回 上一页 解 返回 解 返回 解 全增量 返回 下一页 返回 上一页 证明 显然时 有 返回 下一页 返回 下一页 上一页 返回 下一页 上一页 返回 若令沿方向趋近于0 上一页 解 返回 解 返回 解 返回 解 返回 下一页 返回 上一页 解 返回 解 返回 解 返回 解 返回 下一页 返回 下一页 上一页 返回 上一页 解 返回 下一页 返回 上一页 解 返回 下一页 上一页 返回 下一页 上一页 返回 下一页 上一页 返回 上一页 习题8 11 已知函数试求 2 试证函数满足关系式 3 以知函数 试求 下一页 返回 4 求下列各函数的定义域 下一页 返回 上一页 5 求下列各极限 下一页 返回 上一页 6 证明下列极限不存在 下一页 返回 上一页 7 函数在何处是间断的 8 证明 上一页 返回 例1圆柱体的体积和它的底半径 高之间具有关系这里 当 在集合内取定一对值时 的对应值就随之确定 例2一定量的理想气体的压强 体积和绝对温度之间具有关系 下一页 返回 其中为常数 这里 当 在集合内取定一对值时 的值就随之确定 例3设是电阻并联后的总电阻 由电学知道 它们之间具有关系这里 当在集合内取定一对值时 的对应值就随之确定 上一页 返回 例4设求证证因为可见 对任给 取则当 下一页 返回 时 总有成立 所以 下一页 上一页 返回 例5求解这里在区域和区域内都有定义 同时为及的边界点 但无论在内还是在内考虑 下列运算都是正确的 上一页 返回 例6求解函数是初等函数 它的定义域为因不是连通的 故不是区域 但是区域 且 所以是函数的一个定义域 因 故 下一页 返回 例7求解 下一页 上一页 返回 上一页 返回 习题8 21 求下列函数的偏导数 下一页 返回 2 设 求证 3 设 求证 4 折 求 下一页 返回 上一页 5 设 在 2 4 5 处的切线对于x轴的倾角是多少 6 求下列函数的 和 下一页 返回 上一页 7 设 求 及 8 设 求及 9 验证 满足 满足 下一页 返回 上一页 例1求在点 1 2 处的偏导数 解把看作常量把看作常量将 1 2 代入上面的结果 就是 下一页 返回 例2求的偏导数解 下一页 上一页 返回 例2求的偏导数解 下一页 上一页 返回 例3设 求证 证因为 所以 下一页 上一页 返回 例4求的偏导数 解把y和z都看作常量 得由于所给函数关于自变量的对称性 所以 上一页 返回 例6设 求 及 解 下一页 返回 返回 上一页 例7验证满足方程证因为 所以 下一页 返回 因此例8证明函数满足方程 下一页 返回 上一页 其中 证由于函数关于自变量的对称性 所以 下一页 返回 上一页 因此 返回 上一页 习题8 31 求下列函数的