电大教育专科【高等数学（B）】形成性考核册答案(完整版附题目).doc

此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 精品文档 电大电大 高等数学 高等数学 B B 形成性考核册答案形成性考核册答案 电大电大 高等数学 高等数学 B B 形考作业形考作业 1 1 答案 答案 初等数学知识 一 名词解释 邻域 设是两个实数 且 满足不等式的实数的全体 称为点 和a0 axx 的邻域 a 绝对值 数轴上表示数的点到原点之间的距离称为数的绝对值 记为 aaa 区间 数轴上的一段实数 分为开区间 闭区间 半开半闭区间 无穷区间 数轴 规定了原点 正方向和长度单位的直线 实数 有理数和无理数统称为实数 二 填空题 1 绝对值的性质有 0 abaab 0 b b a b a aaa baba baba 2 开区间的表示有 ba 3 闭区间的表示有 ba 4 无穷大的记号为 5 表示全体实数 或记为 x 6 表示小于的实数 或记为 b bbx 7 表示大于的实数 或记为 aa xa 8 去心邻域是指的全体 用数轴表示即为 9 MANZU aaaa 9 满足不等式的数用区间可表示为 1 1 2 x x 2 1 1 三 回答题 1 答 1 发展符号意识 实现从具体数学的运算到抽象符号运算的转变 2 培养 严密的思维能力 实现从具体描述到严格证明的转变 3 培养抽象思维能力 实现从具体数学到概念化数学的转变 4 树立发展变化意识 实现从常量数学到变量数学的转变 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 精品文档 2 答 包括整数与分数 3 答 不对 可能有无理数 4 答 等价于 51 5 答 2 3 2 1 四 计算题 1 解 12 02 01 02 01 0 2 1 xx x x x x xx或或 2 1 解集为 2 解 05 01 05 01 0 5 1 056 2 x x x x xxxx或 15 xx或 5 1 解集为 3 解 为方程的解 520 5 2 0103 21 2 xxxxxx 函函 数 数 P3P3 一 名词解释 函数 设 x 与 y 是两个变量 若当 x 在可以取值的范围 D 内任意取一个数值时 变量 y 通过某一法则 f 总有唯一确定的值与之对应 则称变量 y 是变量 x 的函数 其中 D 叫做 函数的定义域 f 称为对应法则 集合 G y y f x x 叫做函数的值域 D 奇函数 若函数的定义域关于原点对称 若对于任意的 恒有 xfy x 为奇函数 则称函数 xfxf xfy 偶函数 若函数的定义域关于原点对称 若对于任意的 恒有 xfy x 则称函数为偶函数 xfxf xfy 定义域 自变量的取值范围 记作 Dx 值域 所有函数值组成的集合 记作 G y y f x x D 初等数学 包括几何与代数 基本上是常量的数学 三角函数 称为三角函数 xyxyxyxyxyxycscseccottancossin 指数函数 称函数为指数函数 10 aaay x 复合函数 设若的值域包含在的定义域中 则 xuufy xu ufy 通过构成的函数 记作 称其为复合函数 称为中间变量 yux xfy u 对数函数 称函数为对数函数 10 log aaxy a 且 反函数 若函数的值域为 若 都有一个确定的且满足的 xfy GGy xfy 值与之对应 则由此得到一个定义在上的以为自变量 为因变量的新函数 称它为xGyx 的反函数 记作 xfy 1 yfx 幂函数 称函数 为实数 为幂函数 xy 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 精品文档 常函数 称函数为常函数 为常数ccy 常量 在某一变化过程中 始终保持不变的量 变量 在某一变化过程中 可以取不同数值的量 二 填空题 1 函数概念最早是由莱布尼兹引进的 有了函数概念 人们就可以从数量上描述运动 2 在历史上第一个给出函数一般定义的是狄里克雷 并给出了一个不能画出图形的函 数 这就是著名的狄里克雷函数 其表达式是 是有理数 是无理数 x x xf 1 0 3 函数的三种表示法 解析法 图像法 列表法 4 函数表达了因变量与自变量之间的一种对应规则 5 单值函数是当自变量在定义域中取定了一数值时 与之对应的函数值是唯一的函数 6 奇函数的图像特点是关于原点对称 偶函数的图像特点是关于 y 轴对称 7 单调函数的图像特点是总是上升或总是下降 8 反函数的图像特点是关于直线 y x 对称 三 回答题 1 答 设函数在集合上有定义 如果存在一个正数 对所有的 xfy DMDx 恒有 则称函数为有界函数 Mxf xfy 2 答 1 当一个函数在区间有界时 正数的取法不是唯一的 xfy 内 baM 2 有界性是依赖于区间的 3 答 则称函数在区间 212121 xfxfxxbaxx 则 且 xfy 单调增加 否则 称为单调减少 内 ba 4 答 若函数在区间单调 其值域是 则函数存在反 xfy 内 ba dc xfy 函数其定义域是 值域是 1 xfy dc ba 四 作图题 1 解 是抛物线 2 xy 2 解 是立方抛物线 3 xy 3 解 是正弦曲线 xysin 4 解 是余弦曲线 xycos 5 解 是正切曲线 xytan 6 解 是半抛物线 2 1 xy 7 解 是自然对数函数 xyln 8 解 是指数函数 a 1 x y2 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 精品文档 9 解 是对数函数 a 1 xy 2 log 10 解 是对数函数 a 1 xy 2 1 log 11 解 是指数函数 a1 x ey 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 第 11 题图 第 12 题图 五 计算题 1 解 4 2 2 22 ll rs 2 解 设长为 宽为 则 xy 10 20 10 6022 y x y yx 面积 2 2001020cms 3 解 所以定义域为 101 xx 1 4 解 5log 2 2 f 4 5 log 2 1 2 f 12 log 22 2 bababaf 1 log 4 2 2 xxf 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 精品文档 5 解 由解得 交换和 得到的反函数 2 x x y y y x 1 2 xy 2 x x y x x y 1 2 由 故定义域为 101 xx 1 1 6 解 复合函数为3121 11 2 xxxy 六 讨论题 答 1 复合函数是函数之间的一种运算 2 并不是任何两个函数都能构成一个复合函数 3 复合函数可以是由多个 大于两个 函数复合而成 4 中 后者的值域正好是前者的定义域 xuufy 5 构成复合函数的各简单函数 除了最后一个外 都是基本初等函数 极 限 P9 一 名词解释 极 限 一个数列或函数其变化趋势的终极状态 无穷小量 极限为零的变量或者常数 0 连 续 设函数在及其一个邻域内有定义 且等式 xfy 0 xx 成立 则称函数在连续 lim 0 0 xfxf xx xfy 0 xx 数列极限 对数列来说 若时 则称数列的极限为记 n x naxn n x a 作 axn n lim 函数极限 设函数在的附近有定义 当时 则称函 xfy 0 xx 0 xx Axf 数在时的极限为 A 记作 xfy 0 xx Axf xx lim 0 无穷大量 若 则称为该极限过程下的无穷大量 limxf xf 二 填空题 1 从极限产生的历史背景来看 极限概念产生于解决微积分的基本问题 求面积 体 积 弧长 瞬时速度以及曲线在一点的切线问题 2 极限概念描述的是变量在某一变化过程中的终极状态 3 在中国古代 极限概念已经产生 我国春秋战国时期的 庄子 天下篇 中说 一尺之棰 日取其半 万世不竭 就是极限的朴素思想 4 公元 3 世纪 中国数学家刘徽的割圆术 就用圆内接正多边形周长去逼近圆周长这 一极限思想来近似地计算圆周率的 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 精品文档 5 极限概念产生于求面积求切线两个实际问题 三 回答题 1 简述连续性概念 答 设函数在及其一个邻域内有定义 且等式成立 则 xfy 0 xx lim 0 0 xfxf xx 称函数在连续 在 a b 内连续是指函数在 a b 内的 xfy 0 xx xfy xfy 每个点处均连续 2 间断点分成几类 答 限中至少有一个不存在第二类间断点 左右极 的左右极限均存在第一类间断点 在该点 间断点 3 什么是单侧连续 答 设函数在及其右邻域内有定义 且等式成立 则 xfy 0 xx lim 0 0 0 xfxf xx 称函数在右连续 同理可定义左连续 xfy 0 xx 4 什么是连续函数 答 若函数在 a b 内的每个点处均连续 且在左端点处右连续 右端点处 xfy 左连续 则称函数在 a b 上连续 xfy 5 简述复合函数的连续性定理 答 设函数在点处连续 函数在点处连续 而 zfy 0 zz xz 0 xx 00 xz 并设在点的某一邻域内有定义 则复合函数在点处连续 xfy 0 xx xfy 0 xx 四 论述题 极限思想的辩证意义是什么 答 极限概念描述的是变量在某一变化过程中的终极状态 是一个无限逼近的过程 是 一个客观上存在但又永远达不到的数 在解决实际问题时 无限 的过程标志着可以得到 精确的答案 他是为解决实际问题的需要而产生的 反过来又成为解决实际问题的有力工具 五 计算题 1 解 3 4 1 3 2 4 lim 13 24 lim 2 2 2 2 n n n n nn 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 精品文档 2 解 4 1 4 1 2 2sin 1 lim 2sin 2 lim 00 x x x x xx 3 解 0 1 1 lim 1 lim nn nn nn 4 解 e e xx x x x x 1 1 1 lim 1 1 lim 11 六 讨论 解 lim 0 xf x 1 1 lim 0 x x lim 0 xf x 00lim 0 x 函数在 x 0 处极限不存在 lim 0 xf x lim 0 xf x 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 精品文档 电大天堂电大天堂 高等数学 高等数学 B B 形考作业形考作业 2 2 答案 答案 导导 数数 一 名词解释 导数 设函数在及其邻域内有定义 xfy 0 xx 若存在 则称此极限值为函数在点处的导数 x xfxxf x y xx limlim 00 00 xfy 0 xx 值 记为 等 00 0 xxdx dy xx yxf 平均变化率 称为平均变化率 x xfxxf x y 00 瞬时变化率 称为瞬时变化率 x xfxxf x y xx limlim 00 00 导函数 对于区间 a b 内的每一点 x 都有导数值 这样由这些导数值构成的函数 称为的导函数 xfy 高阶导数 二阶及二阶以上的导数 驻点 使得的点 0 x f 极值 设函数在及其邻域内有定义 且在的邻域内 xfy 0 xx 0 xx 恒成立 则称为极大值点 称为极大值 同理可定义极小值 极大 0 xfxf 0 xx 0 xf 值与极小值统称为函数的极值 二 填空题 1 导数的物理意义是瞬时速度 2 导数的几何意义是曲线在一点处切线的些率 3 导数的第三种解释是变化率 4 导数是一种特殊的极限 因而它遵循极限运算的法则 5 可导的函数是连续的 但是连续函数不一定可导 三 回答题 1 什么是费马定理 答 设函数在的某邻域内有定义 并且在处可导 如果对任意 xfy 0 xx 0 xu 0 x 的 有 或 那么 0 xux 0 xfxf 0 xfxf 0 0 x f 2 什么是罗尔定理 答 设函数在闭区间 a b 上连续 在开区间 a b 内可导 并且满足 xfy 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 精品文档 那么至少存在一点 使得 bfaf ba 0 f 3 什么是拉格朗日定理 它的辅助函数是怎样构成的 答 设函数在闭区间 a b 上连续 在开区间 a b 内可导 那么至少存在一 xfy 点 使得 ba abfafbf 辅助函数为 ax ab afbf xfx 4 函数的性质有哪些 答 函数的性质有 有界性 奇偶性 周期性 单调性 5 导数的绝对值大小告诉我们什么 它反映在函数曲线上情况又怎样 答 导数绝对值大小反映曲线的陡峭程度 导数的绝对值越大 则曲线越陡峭 否则 曲线越平缓 6 什么是极大值 或极小值 答 设函数在及其邻域内有定义 且在的邻域内恒成 xfy 0 xx 0 xx 0 xfxf 立 则称为极大值点 称为极大值 0 xx 0 xf 设函数在及其邻域内有定义 且在的邻域内恒成立 xfy 0 xx 0 xx 0 xfxf 则称为极小值点 称为极小值 0 xx 0 xf 7 请举例说明费马定理只给出了极值的必要条件而不是充分条件 答 例如 直线 y c c 为常数 在任意一点都满足费马定理的条件 且导数值都是 0 但是在任意一点处都不是极值点 8 最大值与极大值是一回事吗 答 不是一回事 连续函数在某个闭区间上可能有多个极大值和极小值 但是最大值和 最小值却各有一个 9 求最大值或最小值通常要经过哪几个步骤 答 1 找出驻点和那些连续但不可导的点来 并计算出这些点的函数值 2 计算 出比区间端点处的函数值 3 将以上个函数值进行比较 可得到最大值与最小值 4 如果是应用问题 则需先分析题意 设变量 列出函数关系 在求出唯一驻点 它就是答案 四 计算题 1 解 6 6 lim 3 3 lim 3 3 limlim 0 22 000 x x x x fxf x y xxxx 2 解 xx xy 2 14 4 2 3 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 精品文档 3 解 xxxxycossin2 2 4 解 nx y ln 1 5 解 332233 sin cos cos33 sin cos cosxxxxxxy 6 解 xx x ytan sin cos 1 7 解 当时 0 x x xy 1 ln 当时 综上所述 0 x xx xy 11 ln x x 1 ln 8 解 3 1 3 2 3 2 ln 3 2 xey xx 9 解 2 1 2 x x y 22 2 22 2 1 22 1 22 1 2 x x x xxx y 10 解 2 1sin cosxxy 2 2sin sinxxy 2 3sin cosxxy 2 sin xny n 五 应用题 1 解 33 3 4 3 4 tVtRRV 当时 22 43 3 4 ttV 10 R10 t 400 V 答 体积 V 增加的速率为 400cm s 2 解 设一边长为 x 则另一边长为 1 x 矩形面积 S x 1 x 令 解得 2 xx xS21 0 S 2 1 x 答 从中间截断 可得到最大矩形的面积 2 解 设宽为米 则长为米 围墙长度为 x x 512 x xL 512 2 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 精品文档 令 2 2 2 5122512 2 x x x L 0 L 即 解得x05122 2 x16 x 舍掉 512 x16 x 答 当宽为 16 米 长为 32 米时 才能使材料最省 微 分 P17 一 名词解释 微分 设函数处的微分 记xxfyxxfxxfy在点为函数处可导 则称在点 作xxfdydy 即 函数的一阶微分形式的不变性 无论是自变量也好 还是中间变量也好 u 总是成立的 duufdy 微分的线性化 由知 其中为线性 lim 0 0 xf x y x 0 高阶的无穷小是比 xxxfy xxf 0 主部 也就是微分 二 填空题 1 微分有双重意义 一是表示微小的量 二是表示一种与求导密切相关的运算 2 微分学包括两个系统 概念系统与算法系统 3 导数是逐点定义的 它研究的是函数在一点附近的性质 4 微分中值定理建立了函数的局部性质和整体性质的联系 建立了微积分理论联系实 际的桥梁 三 回答题 1 微分学基本问题是什么 答 求非均匀变化量的变化率问题 2 微分学的基本运算是什么 答 求导运算和求微分的运算 3 微分的线性化有什么应用 答 可进行近似计算等 四 计算题 1 1 解 dx x dy xx x y 334 11 4 40 2 解 dx x dy xx y xxx xx 4 4ln1 4 4ln1 4 4ln44 2 3 解 xdxdyxxxy2sin2sincossin2 4 解 xxxycossin dxxxxdy cos sin 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 精品文档 2 解 cm 804 38 3 4 33 V 3 解 设03 0 1 0 3 xxxxf 取 则 xxfxfxxf 000 01 1 01 0 103 0 13 1 1 1 1 03 1 3 2 33 x xxff 五 证明题 证明 令 xxxexf x 取0 0 则 xx x eexffxfxfxfe xx 1 0 0 0 0 0 证毕 xe x 1 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 精品文档 电大天堂电大天堂 高等数学 高等数学 B B 形考作业形考作业 3 3 答案 答案 不定积分不定积分 一 名词解释 原函数 如果函数定义在同一区间 并且处处有 xFxf与 ba 则称是的一个原函数 dxxfxdFxfxF 或 xF xf 不定积分 若是的一个原函数 则称为的不定积分 记作 xF xfCxF xf CxFdxxf 不定积分几何意义 表示形状完全一样只是位置不同的一族曲线 二 填空题 1 在数学中必须考虑的运算有两类 正运算与逆运算 2 对应于加法运算的逆运算是减法 对应于乘法运算的逆运算是除法 对应于正整数 次乘方运算的逆运算是开方 对应于微分运算的逆运算是积分 3 关于逆运算我们至少有两条经验 一是逆运算一般说比正运算困难 二是逆运算常 常引出新结果 如减法引出负数 除法引出有理数 正数开方引出无理数 负数开方引出虚 数 三 回答题 1 什么叫函数 f x 在区间 a b 的原函数 有多少个 它们彼此之间有什么关系 答 若 则称是的一个原函数 有无穷多个 彼此之间相差一个 xfxF xF xf 常数 2 什么叫函数 f x 在区间 a b 的不定积分 答 函数 f x 的原函数的全体 称为函数 f x 的不定积分 3 两个函数的不定积分相等是什么意思 答 这两个函数相等 4 说明数学运算中存在的正运算与逆运算 答 减法是加法的逆运算 除法是乘法的逆运算 开方是乘方的逆运算 不定积分是微 分的逆运算 等等 5 说明原函数和不定积分的关系 答 原函数的全体就是不定积分 四 计算题 1 求下列函数的原函数 1 解 因为 所以该函数的原函数为 Cxdx55Cxxf 5 2 解 CxxfCxxdx 22 2该函数的原函数为 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 精品文档 3 解 Cexdedxe xxx222 2 2 2 1 44 Cexf x 2 2 该函数的原函数为 4 解 Cxxdxxdxx 3 4 1 3 1 3 1 3 2 9 1 3 1 1 666 Cxxf 3 4 2 9 该函数的原函数为 5 解 CxCxdxx 6155 6 1 66 Cxxf 6 该函数的原函数为 6 解 CxxfCxdx2 22该函数的原函数为 7 解 CxxfCxdx x 2 1 该函数的原函数为 8 解 CxxfCxxdxcos cossin该函数的原函数为 9 解 CxxfCxdxx 556 5 1 5 1 该函数的原函数为 10 解 CfCd 443 4 1 4 1 该函数的原函数为 2 求下列各不定积分 1 解 Cxdxx 54 5 1 2 解 CxCxdxxdxxx 2 5 1 2 3 2 3 5 2 1 2 3 1 3 解 Cxdx x x x 4ln 4 ln 4 1 4 解 Cxxdxxxdxtan 1 sectan 22 5 解 Cedxe xx 6 解 Cxxd x dx x 1ln 1 1 1 1 1 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 精品文档 7 解 Cxxxddxxx 2 sin 2 1 sinsincossin 8 解 1 1 1 2 1 arctan 1 1 arctanarctan 2 22 xd x xxdx x xxxxdx Cxxx 1ln 2 1 arctan 2 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 精品文档 定定 积积 分 分 P26 一 名词解释 定积分 设函数在区间内插入个分点 上连续 在区间 baxfy ba 1 n 把区间分成个小区间 其长度为bxxxxxa nn 1210 ba n 1 ii xx 其中0 1 2 3 在每个小区间上任取一点 iii xxx 1 i1 n 1 ii xx i 并作乘积 再求出部分和 令 若 1 iii xx ii xf 1 0 n i iin xfS max 10 i ni x 为常数 则称为函数的定积分 记作SSn 0 lim SS上 在区间 baxfy b a n i ii xfdxxf 1 0 0 lim 定积分几何意义 若函数 则定积分表示由曲线 直0 xfy b a dxxf xfy 线轴所围的曲边梯形的面积 xbxax以及 定积分中值定理 设函数 则在 上连续 在区间 baxfy 上至少存在一点 ba 使得 b a baabfdxxf 其中 微积分基本定理 设函数则上连续 在区间 baxfy b a dxxf 这里 aFbF a b xF xfxF 牛顿 莱布尼兹公式 即微积分基本定理中的公式 二 填空题 1 定积分是对连续变化过程总效果的度量 求曲边形区域的面积是定积分概念的最直 接的起源 2 积分学的基本问题是非均匀变化量的求积问题 它的数学模型是 1 0 0 lim n i ii xf 它的物理原形是求变速运动的路程 它的几何原形是求曲边梯形的面积 3 微分学的基本问题是求非均匀变化量的变化率问题 它的数学模型是 它的 x y x 0 lim 物理原形是求瞬时速度 它的几何原形是求切线斜率 它的基本运算是求导运算和求微分的 运算 4 微分学研究的是函数的局部性态 无论是微分概念 还是微商概念 都是逐点给出 的 数学家研究函数的局部性质 其目的在于以局部定整体 5 积分学包括不定积分和定积分两大部分 不定积分的目的是提供积分方法 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 精品文档 三 回答题 1 定积分有哪些应用 答 物理学应用 几何学应用等 例如 路程问题 曲边梯形面积问题等 2 定积分的性质有哪些 答 由以下 9 条 1 b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf 2 b a b a dxxfkdxxkf 3 b a a b dxxfdxxf 4 a a dxxf0 5 b a c a b c dxxfdxxfdxxf 6 b a abdx 7 若在 b a b a dxxgdxxfxgxfba 则上 8 设 上的最大值和最小值 在分别是函数 baxfymM 则 b a abMdxxfabm 9 设函数 则在 使得上连续 在区间 baxfy 上至少存在一点 ba b a baabfdxxf 其中 3 简述积分区间上限为变量时定积分定理 答 设函数则上可导 且上有定义且连续 在闭区间 batfy x a badttf 在 x a xfdttf 4 建立定积分步骤有哪些 答 分为 4 步 1 分割 2 作积 3 作和 4 取极限 ii xf 1 0 n i ii xf 1 0 0 lim n i ii xf 其中 max 10 i ni x 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 精品文档 四 计算题 1 利用定积分性质 比较下列积分值大小 1 解 32 10 xxx 时 当 1 0 1 0 32 dxxdxx 2 解 23 21 xxx 时 当 2 1 2 1 23 dxxdxx 3 解 xxx 2 lnln 21 时 当 2 1 2 1 2 lnlnxdxxdx 2 求函数的平均值 上 在区间 41 332 2 xxy 解 平均值 A 4 1 232 2 49 1 4 3 2 3 3 2 3 1 332 14 1 xxxdxxx 3 设 4 sin 0 xdx dy tdty x 求 解 xdtt dx dy x sin sin 0 2 2 4 sin 4 x x xdx dy 4 设 求 2 1 1 1 x dx A y dx dy 解 dx dy A x dx A x 1 2 1 1 2 1 5 计算下列定积分 1 解 20 1 3 4 1 4 3 1 3 xdxx 2 解 4 1 2 3 2 3 2 3 3 14 14 3 2 1 4 3 2 xdxx 3 解 2 1 1 2 cossin 2 xxdx 4 解 0 1 0 1 10 1 1 1 0 e eeexdedxe xxx 5 解 2 1 3 dx x x 2 1 3 33 dx x x 2 1 3 3 1 dx x 12ln3 2ln1 ln31 1 2 3ln3 1 2 xx 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 精品文档 6 解 4 1 4 1 4 1 4 1 2 32 1 6 1 32 1 6 1 32 1 32 1 6 1 94 1 dt t dt t dt tt dt t 11ln 12 1 5ln 6 1 5 11 ln 12 1 5ln 12 1 1 4 32ln 12 1 1 4 32ln 12 1 tt 6 解 如下图 体积 V 4 0 4 0 22 32 0 4 2 1 44 axaaxdxdxxf 第 6 题图 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 7 解 如上图 体积 3 2 0 2 12 1 2 1 4 1 2 1 2 0 2 0 32 2 2 xxxdx x xdx x V 8 解 如上图 9 3 1 132 2 2 1 1 2 y x y x xy xy 或 面积 3 1 322 3 32 1 3 3 1 3 32 xxxdxxxS 9 解 如上图 面积 4 2 24 2 4 eeedxeS xx 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 精品文档 电大天堂电大天堂 高等数学 高等数学 B B 形考作业形考作业 4 4 答案 答案 微积分简史微积分简史 注意 以下六题自己从书中相应位置的内容去概括 要抓住重点 言简意赅 写满所留 的空地 1 论述微分学的早期史 答 见书 P216 217 2 简述费马对微分学的贡献 答 见书 P217 218 3 简述巴罗对微分学的贡献 答 见书 P218 220 4 论述积分学的早期史 答 见书 P206 210 5 论述微积分对人类历史的贡献 答 见书 一 前言一 前言 一开始的部分 前两段 6 牛顿和莱布尼兹对微积分的发现做出了什么贡献 答 见书 P222 225 微分方程 P33 一 回答题 1 微分方程的定义 答 含有未知函数的导数或微分的方程 2 何为微分方程的通解 特解 初始条件 答 满足微分方程的所有函数 叫做微分方程的通解 满足微分方程的一个解或者部分 解 称为微分方程的特解 微分方程最初所满足的条件 叫做初始条件 3 何为变量可分离的微分方程 答 把形如的微分方程 称为微分方程 ygxf dx dy 4 微分方程与建模有和关系 答 抛弃具体意义 只关心微分方程的形状 研究如何解方程 等这些工作做熟练了 反过来又可以用它解决实际问题 5 建模思想和步骤是什么 答 建模思想就是将各种各样的实际问题化为数学问题 通过建立数学模型 最终使实 际问题得到解决 步骤 1 明确实际问题 并熟悉问题的背景 2 形成数学模型 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 精品文档 3 求解数学问题 4 研究算法 并尽量使用计算机 5 回到实际中去 解释结果 二 计算题 1 求下列微分方程的解 1 解 代入初始条件得 Cxxdxxy3 32 2 1 C 满足初始条件的特解为 13 2 xxy 2 解 CxCxdxxdxxy 2 3 1 2 1 2 1 3 8 1 2 1 1 444 代入初始条件得 满足初始条件的特解为 3 8 C 3 8 3 8 2 3 xy 3 解 代入初始条件得 Cexdedxey xxx333 2 3 3 6 62 C 满足初始条件的特解为 22 3 x ey 2 解 由题意 2 1 1 3 2 2 x y x xy C x xdx x xy 1 1 3 3 2 2 代入初始条件得 4 C4 1 3 x xxf 3 解 由题意 100000 1000 2 0200 x y xy Cxxdxxy 2 1 0200 2 0200 代入初始条件得 所求的函数关系是0 C 2 200 xxy 4 解 由题意 分离变量 21600 0 0 0 R t R R t R kR dt dR kdt R dR 两边积分 kdt R dR CktRlnln kt CeR 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 精品文档 代入初始条件得 这时 0 0 R t R 0 RC kt eRR 0 代入初始条件得 21600 0 R t R k eR R 1600 0 0 2 2 1 1600 k e 代入得2ln1600 k 1600 2ln k kt eRR 0 化简得 t eRR 1600 2ln 0 1600 02 t RR 所以镭的量 R 与时间 t 的函数关系为 1600 02 t RR 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 精品文档 高等数学 高等数学 B B 1 1 综合练习 综合练习 一 名词解释 1 函数 设 x 与 y 是两个变量 若当 x 在可以取值的范围 D 内任意取一个数值时 变量 y 通过某一法则 f 总有唯一确定的值与之对应 则称变量 y 是变量 x 的函数 其中 D 叫做函数的定义域 f 称为对应法则 集合 G y y f x x 叫做函数的值域 D 2 奇函数 若函数的定义域关于原点对称 若对于任意的 恒有 xfy x 为奇函数 则称函数 xfxf xfy 3 连续 设函数在及其一个邻域内有定义 且等式 xfy 0 xx 成立 则称函数在连续 在 a b 内连续是指函 lim 0 0 xfxf xx xfy 0 xx xfy 数在 a b 内的每个点处均连续 xfy 4 定积分 设函数在区间内插入个分点 上连续 在区间 baxfy ba 1 n 把区间分成个小区间 其长度为bxxxxxa nn 1210 ba n 1 ii xx 其中0 1 2 3 在每个小区间上任取一点 iii xxx 1 i1 n 1 ii xx i 并作乘积 再求出部分和 令 若 1 iii xx ii xf 1 0 n i iin xfS max 10 i ni x 为常数 则称为函数的定积分 记作SSn 0 lim SS上 在区间 baxfy b a n i ii xfdxxf 1 0 0 lim 5 微分方程 含有未知函数的导数或微分的方程 二 填空题 1 函数的反函数是 x y3 xy 3 log 2 若函数内可导且单调增加 则 有 在 baxf bax 0 x f 3 1 1 lim 44 e x x x 4 若 则 xdxxfsin sin xxf 5 若函数的一阶导数为零 则在该点取得极值且为1 2 xcbxaxy在点 a b c 三 判断题 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 精品文档 1 若 f x 在 a b 内严格单调 则 f x 在 a b 内存在反函数 2 若 f x 与 g x 在都是偶函数 则 f x g x 在实数范围内也是偶函数 3 若数列单调增加 则数列存在极限 n a n a 4 若函数 f x 在点 a 可导 则函数 f x 在点 a 连续 5 函数 f x 在 a b 内的极大值必定大于它在该区间内的极小值 四 单选题 1 函数内 D 在 00 1 x xxf A 没有极大值点 B 没有极小值点 C 既没有极大值点也没有极小值点 D 既有极大值点也有极小值点 2 设函数连续 则等于 A xf dxxf dx d A B xfdxxf C D Cxf dx xdf 3 下列函数中 C 为复合函数 A B x y 1 x y3 C D xyln1 xy 2 log 4 设函数在点处可导 则 B xf 0 x h xfhxf h lim 00 0 A 与 h 都有关 B 仅与有关 而与 h 无关 0 x 0 x C 仅与 h 有关 而与无关 D 与 h 都无关 0 x 0 x 5 若在区间 a b 上 f x 0 在 a b 内 根据定积分的几何意义 则0 x f A b a dxxf A 大于 B 小于 abbf abbf C 等于 D 大于 abbf abaf 五 计算题 1 求函数的定义域 2 3 1 x x xf 解 由题意知 函数的定义域为 03 2 x33 x 33 2 用导数定义求函数在点的导数 2 2 xxxf1 x 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 精品文档 解 x xx x fxf xx 22 1 1 lim 1 1 lim 2 00 x xx x 2 0 lim 1 1 lim 0 x x 3 求的近似值 1 0 e 解 令 取 x ey 0 0 x1 0 x 则由近似公式 xxfxfxxf 000 1 11 0 001 0 eee 4 设函数 求其原函数 17 35 xxxf 解 Cxxxdxxx 4635 4 7 6 1 17 所以原函数为 yCxxx 46 4 7 6 1 5 求不定积分 dxxa 22 解 令 则 taxsin taxacos 22 tdtadxcos dttatdtadxxa 2cos 2 1 2 1 cos 22222 Ctt a t a Ct t a cossin 22 2sin 4 1 2 22 2 C a xa a xa a xa 2222 2 arcsin 2 如下图 C xax a xa 2 arcsin 2 222 六 论述题 试简要论述微积分产生的历史背景 答 见书 P205 作业 4 微积分简史 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 精品文档 1 论述微分学的早期史 答 在微分学这个邻域内 费马给出了一个统一的无穷小方法 用以解决求最大最小值问题 牛顿和莱 布尼茨各自创立一套一般的符号体系 建立计算的正规程序或算法 柯西等 19 世纪数学家为这门学科重 建逻辑上的一致的 严格的基础 2 简述费马对微分学的贡献 答 属于微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作是 1629 年费马给出的 曲线的切线问题和函数的极 大 极小值问题都是微分学的基本问题 正是这两个问题的研究促进了微分学的诞生 费马在这两个问 题都作出了重要贡献 他处理这两个问题的方法是一致的 用现代语言来说 都是先取增量 而后让增 量趋向于 0 而这正是微他学的实质所在 在费马求面积的过程中 我们看到了定积分的概念与运算的大 部分的主要方面 可以肯定地说 除了巴罗以外 没有任何数学家像费马这样接近于微积分的发明了 3 简述巴罗对微分学的贡献 答 巴罗最重要的著作是他的 光学和几何学讲义 在这本书中我们能够找到非常接近近代微分过程的 步骤 巴罗求切线的方法非常接近于微分学中所采用的方法 特别有趣重要的是巴罗把作曲线的切线与 曲线的求积联系了起来 这就是说 他把微分学和积分学的两个基本问题以几何对比形式联系起来了 巴罗的确走到了微积分基本定理的大门口了 4 论述积分学的早期史 答 积分学起源于各种求积问题 如面积 体积和弧长的计算这些问题的研究在西方要追溯到遥远的古 希腊 安提丰提出 随着一个圆的内接正多边形的边数逐次成倍增加 圆与多边形的差将被穷竭 阿基 米德对穷竭法做出发最巧妙的应用 得到了球的体积和圆柱体的体积 我国古代的刘徽的割圆术和祖恒 提出的 幂势既同 则积不容异 原理 对微积分作出了重大贡献 5 论述微积分对人类历史的贡献 答 微积分的诞生具有划时代的意义 是数学史上的分水岭和转折点 这个伟大的发明明显不同于旧数 学 旧数学是关于常量的 静止的 而