【原创——每日一练,为高考加油】数学方法选讲整理合集word版2-2.doc

例八已知都是小于1的正数，且。求证：。解题分析 看到轮换对称式，想到实际上可以通过恒等变形得到。证一 根据由于，所以。而且点评 这个证明我们采用了两种办法，一种是恒等变形和均值不等式，一种是首先固定求极值然后讨论的不同取值求极值，核心在于分步求极值。解题分析 看到题目中含有的形式，想到构造二次方程。证二 假设，那么：所以是方程的两个根，而且两个根都在内，因此：而且。由此我们得到：和点评 二次方程构造的办法明显比证一好得多，关键在于能否理解字母背后的意义和进行不等式放缩。例九求证：。解题分析 使用待定系数法开三次根号。证一 假设，那么假设，那么得到：分解因式：代入原来的方程得到：。所以。同理：。所以：结论得证。点评 大多数同学看到根号之后想利用移项三次方开根号，但是效果不好，真正的开根号的方法是利用待定系数法，把结构看清楚再开。解题分析 注意到含有两个形式相近的数相加的形式，所以考虑构造二次方程。证二 构造方程。因为所以是方程的一个根，同时容易证明1和是方程的另一个根。因此根据韦达定理，也就得到结论。点评 这个方法巧妙的避开了开三次根号，注意在构造方程的时候实际上我们先是利用了结论构造方程，然后再证明三者都是方程的根。例十三角形中，求证：。解题分析 注意到乘法元算可以转化为加法运算，联系等号成立的条件之一是三者相等。证一 当三角形不是锐角三角形的时候。否则，构造函数，其中。那么根据函数的凸凹性：于是我们得到：点评 这个证法的前提假定是大家已经能够利用导数判断函数的凸凹性，并且明确凸凹性的定义。把乘法化成加法使这个证明的关键之处。解题分析 这道题还可以按照求极值的思路来。证二 不妨假设三角形是锐角三角形，并且角是固定的。那么由于在的时候单调递增，在的时候单调递减，所以我们可以得到：在的时候达到最大值，这时候：注意到的导函数为：它在是单调递增的，在是单调递减的。所以最大值在的时候取得，是。于是命题得证。点评 从这个命题的证明上看，多元函数的极值问题可以通过分步求极值得到解答。解题分析 下面大家看一种方程的构造思路。证三 令，那么整理之后可以得到：所以。点评 这个办法很简捷，但是很难构思出来，关键是把二次的形式构思出来，而且不等式恰好能够凑巧碰上。例十一设是两个不相等的正数，且，求证：。解题分析 注意到可以分解因式，而且比较容易利用平均值不等式。证一 注意到两个数不相等，所以也就证明了后面一个不等式。而同上：也就证明了前面一个不等式。点评 这种解法是非常常见的解法。关注于把恒等式表达成的形式。解题分析 注意到题目中的恒等式变形之后很接近的形式。证二 设，那么题目给出的条件恒等式可以表达为：而是方程的两个解，所以：由此得到后一个不等式。至于前一个不等式由即可得到。点评 这种方法侧重于构造，方法和上面的构造类似。例十二已知：，求证：。解题分析 首先想到的是消元法。证一 由我们可以得到：于是：根据：，于是我们得到结论。点评 这种方法是常规方法，应该不难想到。解题分析 注意到很像二次方程的判别式，所以我们猜测可以构造二次方程。证二 构造方程注意到根据条件可以得到：于是是方程的一个解，因此判别式不小于零，即：，即得结论。点评 这种方法实际上是和上面的几个题目刚好相反，上面的题目是构造平方和，然后说无根或重根，判别式不大于零，而这个题目是说求出根，说明判别式不小于零。构造高次方程例十三求证：解题分析 注意到其中含有类似于方程的根的形式。证明 由于满足方程，因此：。展开之后就是三次方程：也就是说：将这个根带入就可以得到答案。点评 本题的解法也比较巧妙，不过有了题目中的明显暗示，所以思路也就不难猜测，关键在于二次方程向三次方程转化的时候要注意衔接。例十四已知实数满足求证：全都是1。解题分析 注意到可以用不等式。证一 根据是下凸函数，可以得到：等号当且仅当的时候才成立，而，所以：。而这种情况满足方程组。点评 注意到这种证法实际上只是利用了方程组的前两个方程。解题分析 题目中的已知条件实际上是一个元多次方程组，显然一般情况下我们是无从着手的。但是这个题目有特殊点，我们应该充分利用这个特殊点。证二 构造以为根的一元次方程：于是我们知道：全部相加得到：由此我们得到1是方程的一个根，也就是说中有一个是1，不妨设是，在原方程组销掉我们就得到了新的方程组。同样利用这个办法，就可以逐步的得到所有的都是1。点评 这种构造高次方程的方法需要大家仔细体会。高考构造应用例十五设二次函数，方程的两个根满足。求证：当的时候，。解题分析 观察该命题的特