无穷小与无穷大MicrosoftWord文档.doc

初学者应当注意的是，无穷小量是极限为0的变量而不是数量0，是指自变量在一定变动方式下其极限为数量0，称一个函数是无穷小量，一定要说明自变量的变化趋势。例如x24是x2时的无穷小量，而不能笼统说x24是无穷小量。 无穷小量通常用小写希腊字母表示，如、等，有时候也用(x)、(x)等，表示无穷小量是x的函数。 无穷小量有下列性质：1、有限个无穷小量代数和仍是无穷小量。 2、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。 3、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。 4、常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。 5、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。 无穷大定义 有了无穷小的概念，自然会联想到无穷大的概念，什么是无穷大呢？ 当自变量x趋于a时，函数的绝对值无限增大，则称f(x)为当xa时的无穷大。记作lim f(x)=，xa 同样，无穷大不是一个具体的数字，而是一个无限发展的趋势，任何无论多大的常数，都小于+。 另外,无穷小也是可以根据趋近于零的速度进行比较的 趋近于零的速度高的无穷小叫做相对趋近于零的速度低的无穷小为高阶无穷小；速度相同为等阶无穷小 彭哲也不能找到一个绝对值比所有非0的实数的绝对值都小的实数.从这个意义上来说,并不存在一个确定的无穷小数.但我们在实际的应用中必须要有一个无穷小数的概念.因此我们可以人为地定义,存在一个数,它的绝对值小于任意给定的非0实数的绝对值.这个数就叫作无穷小数.在现实中并不能找到一个与这个数完全相符合的确定的数,所以无穷小数这个概念其实是无限近似地反映了这一现实.但是我们必须引进这一概念,如果不引进这一概念,很多时候我们将无法表述,我们将无法更接近地反映现实.为了和后面的无穷小数区分开来,我们不妨把这个无穷小数叫作绝对无穷小数. 同理，不能找到一个数使它的绝对值大于任意给定的实数的绝对值大数区分开来 前面我们定义了绝对无穷大数和绝对无穷小数,为了实践的需要,我们还必须定义相对无穷大数和相对无穷小数. 我们规定绝对值大于任意给定的有限实数的绝对值的实数为无穷大数(相对无穷大数).同样我们规定绝对值小于任意给定的非0的有限实数的绝对值的数为无穷小数(相对无穷小数). 不能找到一个绝对值比所有有限实数都大的有限实数,所以所谓的有限实数也只是和无限实数相对而言的,离开了无限实数我们将无法理解有限实数.无限实数与有限实数之间并没有绝对的分割线.如果一个实数,必可以找到一个确定的实数,使之大于这个实数的绝对值.必可以找到另一个确定的实数,使之小于这个实数的绝对值.则这个实数就是有限实数. 相对无穷大数和相对无穷小数满足于实数的一切特性. 绝对无穷大数和绝对无穷小数虽是现实中不存在的数,但经过恰当的解释可以参与实数运算.绝对无穷大数的绝对值加上任何正数还是无穷大数,这是绝对无穷大数的最基本的特点.这一特点规定了绝对无穷大数的一切特点,也由此规定了绝对无穷小数的一切特点. 关于无穷小的概念，我来补充几句：其实无穷小到底有多大，虽无法数量化，但却是可以形象地表达出来的。无穷小的极限绝对不是0，这是正确的，因为既然叫小，那么这个数一定比0大，否则直接叫0算了，为什么还称作无穷小呢？那么无穷小的极限到底是个什么数呢？具体的数字恐怕神仙也不能说出，但在数学王国里而不是现实世界中，这个无穷小却可以让你亲眼看到它的真实样子，它的样子就是几何学中的点。点是一个绝对奇妙的空间量，它没有大小，无法度量，要多小就有多小，无数个点罗在一起也只是一个点，一小段线段上的点足以同宇宙中所有的点一一对应，把整个世界上所有的点都集中在这条线段上，也不会拥挤，因为它没有大小，我们这个世界是由点构成的，因此点绝对不是0，更不是一无所有，如果没有的话，它无法构成世界。它比0大，比无穷小小，它是无穷小的极限，但它也不是什么有，说它有，它却没有，说它没有，它却有，它就处在似有非有的状态。点构造了数学奇特的美，玄而又玄。数学是世界上最精确的科学，完美而无遗漏。 无穷小绝对不是0。无穷小只是无限趋于0，本来就比0大，本来就不是0，又怎么会直接叫它0呢？但是它的极限却是0。事实上，以0为极限的函数就是无穷小。显然上一段的说法是不正确的。但用“点”来比喻“无穷小”还是蛮形象的。如果说“点”是理论中的概念，那么无穷小也是。上一段认为点的大小介于0和无穷小之间，也显然是不正确的，正确的说法应为点等价于无穷小。无穷小量是数学分析中的一个概念，用以严格地定义诸如“最终会消失的量”参 1、“绝对值比任何正数都要小的量”等非正式描述。在经典的微积分或数学分析中，无穷小通常它以函数、序列等形式出现，例如，如果一个序列 如果满足如下性质： 对任意的预先给定的正实数 ，存在正整数 使得 在 时必定成立；或用极限符号把上述性质简记为