2.3.2 两个变量的线性相关PPT演示课件

两个变量的线性相关 1 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中 研究人员获得了一组样本数据 根据上述数据 人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系 2 散点图 两个变量的散点图中点的分布的位置是从左下角到右上角的区域 即一个变量值由小变大 另一个变量值也由小变大 我们称这种相关关系为正相关 二 两个变量的线性相关 3 思考 1 两个变量成负相关关系时 散点图有什么特点 两个变量的散点图中点的分布的位置是从左上角到右下角的区域 即一个变量值由小变大 而另一个变量值由大变小 我们称这种相关关系为负相关 2 你能举出一些生活中的变量成正相关或者负相关的例子吗 4 3 若两个变量散点图呈下图 它们之间是否具有相关关系 5 散点图 回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近 我们就称这两个变量之间具有线性相关关系 这条直线就叫做回归直线 这条回归直线的方程 简称为回归方程 6 方案一 采用测量的方法 先画一条直线 测量出各点到它的距离 然后移动直线 到达一个使距离之和最小的位置 测量出此时直线的斜率和截距 就得到回归方程 如何具体的求出回归方程 7 方案二 在图中选取两点画直线 使得直线两侧的点的个数基本相同 我们应该如何具体的求出这个回归方程呢 8 方案三 在散点图中多取几组点 确定几条直线的方程 分别求出各条直线的斜率和截距的平均数 将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距 我们应该如何具体的求出这个回归方程呢 9 上述三种方案均有一定的道理 但可靠性不强 我们回到回归直线的定义 求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画 从整体上看 各点与直线的偏差最小 计算回归方程的斜率和截距的一般公式 其中 b是回归方程的斜率 a是截距 10 最小二乘法的公式的探索过程如下 设已经得到具有线性相关关系的变量的一组数据 x1 y1 x2 y2 xn yn 设所求的回归直线方程为Y bx a 其中a b是待定的系数 当变量x取x1 x2 xn时 可以得到Yi bxi a i 1 2 n 它与实际收集得到的yi之间偏差是yi Yi yi bxi a i 1 2 n 这样 用这n个偏差的和来刻画 各点与此直线的整体偏差 是比较合适的 11 12 问题归结为 a b取什么值时Q最小 即总体和最小 Q y1 bx1 a 2 y2 bx2 a 2 yn bxn a 2 13 先对a配方 14 再对b配方 15 我们可以用计算机来求回归方程 人体脂肪含量与年龄之间的规律 由此回归直线来反映 16 将年龄作为x代入上述回归方程 看看得出数值与真实值之间有何关系 17 若某人65岁 可预测他体内脂肪含量在37 1 0 577 65 0 448 37 1 附近的可能性比较大 但不能说他体内脂肪含量一定是37 1 18 例 假设关于某设备的使用年限x 年 和所支出的维修费用y 万元 有如下的统计资料 使用年限x 年 23456维修费用y 万元 2 23 85 56 57 0若资料知y x呈线性相关关系 试求 1 线性回归方程Y bx a的回归系数a b 2 估计使用年限为10年时 维修费用是多少 19 1 于是有b 112 3 5 4 5 90 5 4 2 1 23 a 5 1 23 4 0 08 2 回归方程为Y 1 23x 0 08 当x 10时 Y 12 38 万元 即估计使用10年时维护费用是12 38万元 20 小结 1 求样本数据的线性回归方程 可按下列步骤进行 第一步 计算平均数 第二步 求和 第三步 计算 第四步 写出回归方程 21 2 回归方程被样本数据惟一确定 各样本点大致分布在回归直线附近 对同一个总体 不同的样本数据对应不同的回归直线 所以回归直线也具有随机性 3 对于任意一组样本数据 利用上述公式都可求得 回归方程 如果这组数据不具有线性相关关系 即不存在回归直线 那么所得的 回归方程 是没有实际意义的 因此 对一组样本数据 应先作散点图 在具有线性相关关系的前提下再求回归方程 22 例1 有一个同学家开了一个小卖部 他为了研究气温对热饮销售的影响 经过统计 得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表 1 画出散点图 2 从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律 3 求回归方程 4 如果某天的气温是2摄氏度 预测这天卖出的热饮杯数 23 1 散点图 2 从图3 1看到 各点散布在从左上角到由下角的区域里 因此 气温与热饮销售杯数之间成负相关 即气温越高 卖出去的热饮杯数越少 24 3 从散点图可以看出