第八章-多元函数

本章目录 第1节空间解析几何简介第2节多元函数的概念第3节二元函数的极限与连续第4节偏导数与全微分第5节多元函数的微分法第6节二元函数的极值第7节二重积分 第1节空间解析几何简介 一 空间直角坐标系在空间取一定点 过点作三条互相垂直的直线 并按右手系规定 的正方向 即右手握住轴 当右手的四个手指从正向轴以转向正向轴时 大拇指的指向就是轴正方向 再规定一个单位长度 即建立右侧的空间直角坐标系 点称为坐标原点 三条直线分别称为轴 轴 轴 每两条坐标轴确定一个平面 称为坐标平面 由轴和轴确定的平面称为平面 同样的可以定义平面和平面 通常 将平面配置在水平面上 轴放在铅直的位置 而且由下向上为轴正方向 三个坐标平面将空间分成8部分 称为8卦限 把坐标平面之上 坐标平面之前 坐标平面之右的卦限称为第一限 另外 在坐标平面之上的其余三个卦限 按逆时针方向依次称为第二 第三 第四卦限 在坐标平面之下的四个卦限 在第一卦限下面的卦限称为第五卦限 其余按逆时针方向依次称为第六 第七 第八卦限 二 空间任意两点间的距离给定空间两点 过 各作三个平面分别垂直于三个坐标轴 这六个平面构成一个以线段为一条对角线的长方体 如右图所示 由图可知 过 分别作垂直于轴的平面 相交轴于点和 则 即 同理可得 和 则于是 求得点与之间的距离公式若点为坐标原点 则得点与坐标原点的距离公式为若点和均位于平面上 则该两点的距离公式为 三 曲面与方程定义8 1若曲面上任意一点的坐标都满足方程 而不在曲面上的点的坐标都不满足方程 则方程称为曲面的方程 而曲面称为方程的图形 如右图所示 例1一动点与两定点 的距离相等 求此动点的轨迹方程 解 依题意有由两点间距离公式得化简后可得点的轨迹方程为 例2求三个坐标平面的方程 解 容易看到平面上任一点的坐标必有 满足的点也必然在平面上 所以 平面的方程为同理 平面的方程为 平面的方程为 例3求球心为点 半径为的球面方程 解 设球面上任一点为 那么有 由两点间距离公式有 化简得球面方程为特别地 当球心为原点时 球面方程为是球面的上半部 如下面左侧图所示 是球面的下半部 如下面右侧图所示 第2节多元函数的概念 一 多元函数的定义定义8 2设是一个非空的元有序数组的集合 是一个对应规则 使得对于每一个有序数组 都有唯一确定的实数与之对应 则称对应规则是定义在上的元函数 记为 变量称为自变量 称为因变量 集合称为函数 的定义域 也可以记为 对于 所对应的值 记为或称为当时 函数的函数值 全体函数值的集合称为函数的值域 记为或 特别地 当 为一元函数 记为 当时 为二元函数 记为 二元及二元以上的函数统称为多元函数 例1是以 为自变量 为因变量的二元函数 则函数的定义域和值域分别为和例2设有一个长方体 高为 底则是边长为的正方形 则其体积为 显然 对每一个有序数组 总有唯一确定的与之对应 使得 因此 是一个以 为自变量 为因变量的二元函数 其定义域和值域 分别为和 二 二元函数的定义域二元函数的定义域在几何上表示一个平面区域 所谓平面区域可以是整个平面或者是平面上由几条曲线所围成的部分 围成平面区域的曲线称为该区域的边界 包括边界在内的区域称为闭区域 不包括边界的区域称为开区域 包括部分边界的区域称为半开区域 若区域延伸到无穷远处 则称为无界区域 否则称为有界区域 有界区域总可以包含在一个以原点为圆心的相当大的圆域内 如本节例2 函数的定义域是平面的第一象限 不包含坐标轴 部分 为无界开区域 函数的定义域是平面上由直线的右上方确定的无界开区域 如下图所示 函数的定义域是平面上由圆围成的有界闭区域 如下方左侧图形所示 函数的定义域是平面上由圆围成的有界开区域 如下方右侧图形所示 三 二元函数的几何意义一元函数通常表示平面上的一条曲线 二元函数 其定义域是平面上的一个区域 对于定义域中的任意一点 必有唯一的数与其对应 因此 三元有序数组就确定了空间中的一个点 所有点的集合就是函数的图形 通常是个曲面 如下图所示 例3作二元函数的图形 解 由两边平方得整理后得因此 方程的图形是以为球心 且以1为半径的球面 即的图形为该球面的上半部 如右图所示 第3节二元函数的极限与连续 定义8 3若当趋于时 函数与某常数无限接近 则称的极限为 记作或其中 注意 这里说的当趋于时 以为极限 是指以任何方式趋于时 都趋于 因为平面上由一点到另一点有无数条路线 因此 当趋于 时 二元函数要比一元函数中趋于复杂得多 例1证明证明 由再由和所以 当时 于是 只要取 则当时 恒成立 因此 定义8 4设二元函数满足条件 1 在点的某邻域内有定义 2 极限存在 3 则称函数在点处连续 否则称点是函数的间断点 如上面的例题中 函数在点的极限值等于在这点的函数值 所以函数在该点连续 返回本章目录 若函数在平面区域内的每一点都连续 则称函数在区域内连续 二元连续函数的性质 1 二元连续函数经四则运算后仍为二元连续函数 2 若在有界闭区域上连续 则必在上取得最大值和最小值 第4节偏导数与全微分 偏导数的概念 定义设函数 在 的周围邻 近有定义 当y固定在y0而x有增量 x时 相应地函 数有偏增量 若极限 存在 则称此极限为函数 在点 处对x的 偏导数 记作 或 若极限 存在 则称此极限值为函数 在点P0 x0 y0 对y的偏导数 记作 或 若函数 在平面区域D内每一点的偏导 数都存在 则称函数f x y 在D内偏导数存在 函数 在点 处对自变量x的偏导数记作 对自变量y的偏导数记作 讨论偏导数与一元函数的导数有何关系 例1已知 求 并求 解 例2求函数 的偏导数 解 偏导数的经济意义 边际需求设有甲 乙两种相关商品 它们的价格 分别为 需求量分别为 需求函数可表示 为 则需求量 和 关于价格 和 的偏导数 表示 甲 乙两种商品的边际需求 弹性当价格 不变而 发生变化时 需求量 和 将随 变化而变化 需求量 和 对价格的弹性 分别为 称为甲商品需求量 对自身价格 的直接价格偏弹 性 称甲商品需求量 对相关价格 的交叉价格偏 弹性 例3已知某商品的需求量 是该商品价格 和另 一相关商品价格 的函数 求当 时需求的直接价格偏弹性 及交叉价格 偏弹性 解当 时 且 所以 高阶偏导数 定义若函数 的偏函数导数关于 的偏导数仍然存在 则称它们的偏导数是 的二阶 偏导数 分别记作 其中 称为二阶混合偏导数 类似地 可以定义三阶 四阶 n阶偏导数 二 阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数 而 称 为函数 的一阶偏导数 例4求 的二阶偏导数 解 讨论 上例中两个混合偏导数相等吗 根据这个结 果 你有什么猜想 例5已知 求 解 全微分 回忆 一元函数微分的定义 若函数在x处的增 量 可以表示成 其中 是 的高阶无 穷小 则 称为函数 在x处的微分 记作 即 并且有 引例面积z的增量 1 是 的线性函数 2 是比 高阶的无穷小 因此 当 都较小时 有 且有 微分的定义若二元函数 在点 处的增量 可以表示 为 其中A B是x y的函数 与 无关 是一个 比 较高阶的无穷小 则称 是函数 在点 处的全微分 记作 即 这时 也称函数在点 处可微 全微分与偏导数的关系若函数 在 处可微 则 1 式对任意的 都成立 所 以当 时 此时 由定义有 两端除以 并令 取极限 得 即 同理得 若记 则 注意在一元函数中 可导与可微是等价的 但这 个结论对二元函数 不成立 即 都存在 也不能保证函数在点 可微 不过可以证明 若函数 在点 的 某一邻域内有连续的偏导数 则 在点 可微 例7求函数 的全微分 解因为 所以 全微分的应用若函数 在点 可 微 则当自变量的增量 和 很小时 有下述近似 计算公式 或 例8计算 的近似值 解设 所以 得 小结 1 偏导数的概念 2 高阶偏导数 3 全微分 第五节复合函数微分法与隐函数微分法 一 复合函数求导的链式法则 二 复合函数的全微分 二 隐函数求导公式 一 复合函数求导的链式法则 定理 若函数 处偏导连续 则复合函数 在点t可导 且有链式法则 证 设t取增量 t 则相应中间变量 有增量 u v 全导数公式 t 0时 根式前加 号 例如 易知 但复合函数 偏导数连续减弱为偏导数 存在 则定理结论不一定成立 说明 若定理中 推广 设下面所涉及的函数都可微 1 中间变量多于两个的情形 例如 2 中间变量是多元函数的情形 例如 又如 当它们都具有可微条件时 有 注意 这里与不同 表示固定y对x求导 表示固定v对x求导 口诀 分段用乘 分叉用加 单路全导 叉路偏导 例1设 解 例2 解 例3设 求全导数 解 注意 多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解 的问题中经常遇到 下列两个例题有助于掌握这方面问题 的求导技巧与常用导数符号 例4设 f具有二阶连续偏导数 求 解令 则 例5设 二阶偏导数连续 求下列表达式在 解已知 极坐标系下的形式 1 则 已知 注意利用已有公式 同理可得 二 复合函数的全微分 设函数 的全微分为 可见无论u v是自变量还是中间变量 其全微分表达 都可微 则复合函数 形式都一样 这性质叫做全微分形式不变性 例6 利用全微分形式不变性再解例1 解 所以 三 隐函数求导公式 隐函数的求导公式 隐函数存在定理1 设函数在点的 邻域内具有连续的偏导数 且 则方程 在点 的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数 的函数 它满足条件 并有 解 令 则 例 验证方程 在点 的某邻域内能 唯一确定一个单值可导 且 时 的隐函数 并求这函数的一阶和二阶导数在 的值 依定理知方程 在点 的某邻域 内能唯一确定一个单值可导 且 时 的函数 函数的一阶和二阶导数为 解 令 则 隐函数存在定理2 设函数 在点 的某一邻域内有连续的偏导数 且 则方程 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值 连续且具有连续偏导数的函数 它满足条件 并有 解 令 则 例3 设 求 思路 解 令 则 整理得 整理得 整理得 第六节二元函数的极值 二 条件极值与拉格朗日乘数法 一 二元函数的极值与最值 1 二元函数极值的定义 一 二元函数的极值和最值 设函数 在点 的某邻域 内有定义 对于该邻域内异于的点 若满足不等式 则称函数在 有极大值 若满足不等式 则称函数在 有极小值 极大值 极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 1 2 3 例1 例 例 处有极小值 在 函数 0 0 4 3 2 2 y x z 处有极大值 在 函数 0 0 2 2 y x z 处无极值 在 函数 0 0 xy z 2 二元函数取得极值的条件 证不妨设 定理1 必要条件 设函数 在点 具有偏导数 且 在点 处有极值 则它在该点的偏导数必 然为零 在点 处有极大值 则对于 的某邻域内任意 都有 推广 如果三元函数 在点 具有偏导数 则它在 有极值的必要条 件为 说明一元函数 在 处有极大值 必有 故当 时 有 仿照一元函数 凡能使一阶偏导数同时为零的点 均称为函数的驻点 驻点 极值点 问题 如何判定一个驻点是否为极值点 注意 例如 点 是函数 的驻点 但不是极值点 定理2 充分条件 设函数 在点 的某邻域内连续 有一阶及二阶连续偏导数 又 令 则 在点 处是否取得极值的条件如下 1 时具有极值 当 时有极大值 当 时有极小值 2 0 2 B AC 时没有极值 3 时可能有极值 也可能没有极值 还需另作讨论 解 例4 求函数 的极值 先解方程组 求得驻点为 将上方程组再分别对 求偏导数 在点处 又 所以函数在 处有极小值 在点处 所以 不是极值 在点处 所以 不是极值 在点 处 又 所以函数在处有极大值 求函数 极值的一般步骤 第一步 解方程组 求出实数解 得驻点 第二步 对于每一个驻点 求出二阶偏导数的值 A B C 第三步 定出 的符号 再判定是否是极值 求最值的一般方法 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较 其中最大者即为最大值 最小者即为最小值 与一元函数相类似 我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值 3 二元函数的最值 解 设水箱的长为 宽为 则其高应为 则水箱所用材料的面积 求偏导数得 例5 某工厂要用铁板做成一个体积为 的有盖长方 体水箱 问当长 宽 高各取怎样的尺寸时 才能使用 料最省 解这方程组 得 根据题意可知 水箱所用材料面积得最小值一定存在 并在开区域 内取得 又函数在 内只有唯一的驻点 因此当 时 取得最小值 即当水箱的长为 宽为 高 为 时 水箱所用的材料最省 例6有一宽为24cm的长方体铁板 把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽 问怎样折法才能使段面的面积最大 解设折起来的边长为 求偏导数得 倾角为 则各边长如图示 所求面积 解方程组得 由题义知这就是极大值点 实例 小王有200元钱 他决定用来购买两种急需物品 计算机磁盘和录音磁带 设他购买磁盘 盒录音磁带达到最佳效果 效果函数为设每张磁盘8元 每盒磁带10元 问他如何分配这200元以达到最佳效果 问题的实质 求在条件下的极值点 二 条件极值与拉格朗日乘数法 条件极值 对自变量有附加条件的极值 拉格朗日乘数法 要找函数 在条件 下的 可能极值点 先构造函数 其中 l 为某一常数 可由 解出 其中 就是可能的极值点的坐标 拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况 要找函数 在条件 下的极值 先构造函数 其中 均为常数 可由偏导数为零及条件解出 即得极值点