解析几何归纳础知识整理概括

解析几何归纳础知识整理概括 椭圆（一）椭圆的基本概念 1、椭圆的第一定义平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的集合叫椭圆。 点集M=P|PF1|+|PF2|=2a|F1F2| （1）到两个定点F1，F2的距离之和等于|F1F2的点的集合是线段F1F2. （2）到两个定点F1，F2的距离之和小于F1F2的点的集合是空集。 椭圆的第二定义平面内一动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数e的点的集合叫椭圆。 点集M=P|PF|d?e,0?e?1 2、椭圆的标准方程xaxb2222?ybya2222，F1(?c,0),F2(c,0).?1,(a?b?0)（焦点在x轴上）a2?b2?c2，F1(0,?c),F2(0,c).a2?b2?c2?1,(a?b?0)（焦点在y轴上）xa 22223、点P(x0,y0)与椭圆点P(x0,y0)在椭圆点P(x0,y0)在椭圆点P(x0,y0)在椭圆?yb22?1(a?b?0)的位置关系。 xaxaxa2222?yby222222?1(a?b?0)内部?1(a?b?0)上?x0a22x0ab?222?y0b22?1byb?2y02?12?1(a?b?0)外部?x0a2y0b2? 14、椭圆的参数方程椭圆（二）椭圆的几何性质xa22?yb22?x?a cos?,?R?1上任意一点P（x，y），则?y?b sin?焦点在x轴上焦点在y轴上图形范围对称性顶点性质离心率|x|a，|y|b关于x轴、y轴、坐标原点对称A1（a，0）A2（a，0）B1（0，b）B2（0，b）离心率e=ca|x|b，|y|a A1（0，a）A2（0，a）B1（b，0）B2（b，0），0 1、在确定椭圆的标准方程时若不能确定焦点的位置，可进行讨论焦点在x轴上、y轴上的两种情形或把所求的椭圆标准方程设为Ax2?By2?1,(A?0,B?0,A?B). 2、与椭圆x22a ba?k b?k 3、椭圆上任意一点P到焦点F的距离的最大值是|PF|=a+c，最小值是|PF|=ac.2?y22?1,(a?b?0)共焦点的椭圆可设为x22?y22=1，（ab0） 4、椭圆上任意一点P到两焦点的距离之积的最大值是a，此时P点与椭圆的短轴的两端点重合 5、注意利用平面几何知识解决椭圆问题。 如|PF1|PM|?|PF2|PN|?|OF2|PF1|PM|,?|OA2|PF2|PN|双曲线1.双曲线定义第一定义平面内到两定点F1,F2距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的集合叫做双曲线。 定点F1,F2叫双曲线的焦点，两焦点间距离是焦距。 M=P|PF1|?|PF2|?2a,2a?|F1F2|第二定义平面内到定点F的距离与到定直线L的距离之比是大于1的常数的点的集合叫双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线。 M=P|PF|d?e,e?1注意 （1）在第一定义中若2a=|F1F2|，则点的集合是以F1,F2为端点的射线，若2a|F1F2|，点的集合是空集。 （2）在第一定义中当|PF1|?|PF2|?2a，则点的集合是双曲线的右支（如图1），当|PF2|?|PF1|?2a，点的集合是双曲线的左支（如图2）。 （3）在定义二中定点F不在定直线L上。 2.双曲线的标准方程 （1） （2）xay2222?ybx2222，a2?b2?c2?1,(a?0,b?0)，焦点在x轴上（实轴在x轴上），a?b?c?1,(a?0,b?0)，焦点在y轴上（实轴在y轴上）222a b3.双曲线几何性质图形关于x轴、y轴、原点对称x?a或x?a A1（a，0）A2（a，0）实轴2a，ca对称性范围y?a或y?a顶点虚轴2b离心率渐近线e?y?bax A1（0，a）A2（0，a）实轴2a虚轴2b?1（e确定双曲线的开口程度）y?abx （1）P（x0,y0)点在右支上，则 （1）P(x0,y0)点在上支上|PF1|?a?ex0，|PF2|?a?ex0|PF1|?a?ey0,|PF2|?a?ey焦点半径 （2）P(x0,y0)点在左支上，则|PF1|?ex0?a,|PF2|?ex0?a （2）P(x0,y0)点在下支上|PF1|?ey0?a，|PF2|?ey0?a4求双曲线标准方程常见的类型及方法 （1）定义法（已知条件满足双曲线定义） （2）待定系数法（定位确定双曲线的焦点位置，设方程根据焦点位置设方程，定值确定系数） （3）已知渐进线方程bx?ay?0，可设双曲线方程是b x?a y?，确定?值即2222可。 （4）不能确定双曲线的焦点位置时。 可设方程为mx （5）与双曲线x222?ny2?1,(mn?0)xa22?yb22?1,(a?0,b?0)共焦点的双曲线方程设为22a?k b?k5.几种特殊的双曲线?y22?1,(?b?k?a) （1）等轴双曲线x2?y2?a2，（等轴双曲线离心率是2）a ba b共轭双曲线的四个焦点共圆， （2）离心率倒数平方和等于1， （3）有相同的渐近线） （2）共扼双曲线x22?y22?1与x22?y22（性质 （1）互为?1互为共轭双曲线。 6.双曲线中的基本三角形 （1）如图3?AOB中，|OA|?a,|OB|?c,|AB|?b,tan?AOB?ba,e?1cos?AOB （2）焦点三角形?F1PF2的面积S?bcot2?2，（?F1PF2?）抛物线 1、抛物线定义平面内与一个定点F和一条定直线L（L不过F点）的距离相等的点的集合叫抛物线。 定点F叫做抛物线的焦点，定直线L叫做抛物线的准线。 2、抛物线的标准方程形式y2?2px（p0）y2?2px（p0）x2?2py（p0）x22?2py（p0）P称为焦准距（焦点到准线的距离） 3、抛物线的几何性质对称性，范围，顶点，离心率，（以y?2px为例） 4、抛物线的通径过抛物线焦点F且垂直于对称轴的直线，与抛物线相交于P 1、P2两点，则两交点(P1P2)之间的距离就是抛物线的通径，长度是2p。 5、有关的重要结论设过抛物线y?2px的焦点的直线的倾斜角是?，与抛物线交于A（x1,y1),B(x2,y2)。 则有下列结论2 （1）|AB|=x1?x2?p，|AB|=此时|AB|是抛物线的通径。 ）2psin2，（显然当?90?时，|AB|最小。 最小值是2p，? （2）x1x2? （3）S?AOB? （4）1|AF|?p24,y1y2?p p222sin?1|BF|?2p（定值） （5）以|AB|为直径的圆与准线相切。 1.抛物线的标准方程、图形及几何性质标准方程焦点在x轴上，开口向右y2焦点在x轴上，开口向左y2焦点在y轴上，开口向上x2焦点在y轴上，开口向下x2?2px?2px?2py?2py图形顶点对称轴焦点离心率准线通径焦准距x?p2p2F(p2,0)O(0,0)x轴F(?p2,0)F(0,p2)y轴F(0,?p2)e?1x?y?p2y?p22p（是过焦点的所有弦中最短的弦）p2.抛物线标准方程中p的几何意义是焦点到准线的距离，故p03.抛物线的标准方程中，一次项的变量决定对称轴，一次项的符号决定开口方向。 4.弦长公式 （1）过焦点F（p2，0）的弦长x1，x2分别为弦AB的端点的横坐标，1AF?1BF?2py1，y2分别为弦AB的端点的纵坐标，弦|AB|x1+x2+p，p2，y1y2 （2）一般的弦长公式类似于椭圆，x1，x2分别为弦的横坐标，y1，y2分别为弦的纵坐标，弦所在的直线方程为y=kx+b，代入抛物线方程得Ax2+Bx+C=0，则1?k2x1?x2或1?1k2y1?y2椭圆与双曲线的标准方程的对比名称椭圆双曲线yy图象OxOx平面内到两定点F1,F2的距离的和为常数（大于F1F2）的动点的轨迹叫椭圆即MF1?MF2?2a平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数（小于F1F2）的动点的轨迹叫双曲线即|MF1|?|MF2|?2a定义当2a2c时，轨迹是椭圆，当2a2c时，轨迹是双曲线当2a2c时，轨迹是一条线段当2a2c时，轨迹是两条射线F1F2当2a2c时，轨迹不存在当2a2c时，轨迹不存在焦点在x轴上时xaya22?ybxb22?12222焦