专题20 数学归纳法及其证明（原卷版）2020年高考数学二轮专项提升(江苏)

专题20 数学归纳法及其证明（原卷版）2020年高考数学二轮专项提升(江苏) 12专题20数学归纳法及其证明 1、（xx浙江）已知数列nx满足11x?，11ln (1)n n nx xx?()n?*N证明当n?*N时（）10nnxx?；（）1122n nn nx xxx?；（）121122nnnx? 2、（xx年江苏卷）. (1)求7C364C47的值； (2)设m，nN N*，nm，求证(m1)Cmm(m2)Cmm1(m3)Cmm2n Cmn1(n1)Cmn(m1)Cm2n2. 3、（xx年江苏卷）已知集合X1,2,3，Y n1,2,3，n(nN N*)，设S n(a，b)|a整除b或b整除a，aX，bY n，令f(n)表示集合S n所含元素的个数 (1)写出f (6)的值； (2)当n6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明 4、（xx年江苏卷）已知函数f0(x)sin xx(x0)，设f n(x)为f n1(x)的导数，nN N*. (1)求2f1?22f2?2的值； (2)证明对任意的nN N*，等式?nf n1?44f n?422都成立12一数学归纳法一般证明一个与正整数n有关的命题，按下列步骤进行归纳奠基证明当n取第一个值n0时命题成立归纳递推假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时的命题也成立。 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立这种证明方法叫做数学归纳法 二、关键点 (1)验证是基础数学归纳法的原理表明第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点 (2)递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k1”的过程中，要正确分析式子项数的变化关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项 (3)利用假设是核心在第二步证明nk1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“nk时命题成立”作为条件来导出“nk1”，在书写f(k1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心不用归纳假设的证明就不是数学归纳法题型一运用数学归纳法证明等式运用数学归纳法证明等式要注意三个步棸 1、验证对于成立的第一个数， 2、假设基础， 3、通过假设基础验证n=n+1也成立。 例 1、(2019南京、盐城一模）已知数列a n满足a11，a23，且对任意nN N*，都有a1C0na2C1na3C2na n1Cnn(a n21)2n1成立 (1)求a3的值； (2)证明数列a n是等差数列例 2、(2019泰州期末）已知函数f(x)1|2x1|，0x1，设f n(x)f n1(f1(x)，其中f1(x)f(x)，方程f n(x)0和方程f n(x)1根的个数分别为g n (0)，g n (1) (1)求g2 (1)的值； (2)证明g n (0)g n (1)1.12例 3、(2018南通、泰州一调） (1)用数学归纳法证明当xN N*时，cos xcos2xcos3xcos nxsin?n12x2sin12x12(xR R，且x2k，kZ Z)； (2)求sin62sin263sin364sin462018sin20186的值题型二运用数学归纳法证明不等式运用数学归纳法证明不等式处理运用假设基础，最关键的是要用到放缩法进行缩小或者放大。 有时也要运用综合法、分析法进行证明。 例 4、(2019苏北三市期末）已知数列a n满足a113，an12a2n2a n，nN N*. (1)用数学归纳法证明a n?0，12； (2)令b n12an，证明ni11b i3n13.例 5、(2019苏锡常镇调查）已知f(n)错误!错误!错误!错误!，g(n)错误!错误!错误!错误!，其中nN N*，n2. (1)求f (2)，f (3)，g (2)，g (3)的值； (2)记h(n)f(n)g(n)，求证对任意的mN N*，m2，总有h(2m)m12.题型三数学归纳法中的“归纳-猜想-证明”问题数学归纳法中的“归纳-猜想-证明”问题我们称为不完全归纳法，首先要通过n=1,2,3求出参数，或者归纳出解析式，然后再运用数学归纳法给与证明。 例 6、(2019常州期末）是否存在实数a，b，c，使得等式135246n(n2)(n4)12n（n1）4(an2bnc)对于一切正整数n都成立？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由序，当第一个子串“010”的最后一个0所在数位是第k(kN N*，且k3)位，则称子串“010”在第k位出现；再继续从第k1位按从左往右的顺序找子串“010”，若第二个子串“010”的最后一个0所在数位是第km位(其中m3且mN N*)，则称子串“010”在第km位出现；如此不断地重复下去如在字符串11010101010中，子串“010”在第5位和第9位出现，而不是在第7位和第11位出现记在n位由0，1组成的所有字符串中，子串“010”在第n位出现的字符串的个数为f(n) (1)求f (3)，f (4)的值； (2)求证对任意的正整数n，f(4n1)是3的倍数 2、(xx苏锡常镇调研）设|2，n为正整数，数列a n的通项公式a nsin n2tann，其前n项和为S n. (1)求证当n为偶数时，a n0；当n为奇数时，a n(1)n12tann； (2)求证对任何正整数n，S2n12sin21(1)n1tan2n 3、(2019镇江期末）已知x，y为整数，且xy0，?0，2，n为正整数，cosx2y2x2y2，sin2xyx2y2，记A n(x2y2)n cosn，Bn(x2y2)n sinn. (1)试用x，y分别表示A1，B1； (2)用数学归纳法证明对一切正整数n，A n均为整数 124、(xx南京三模）在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在曲线yx2(x0)上已知点A(0，1)，P n(xn0，yn0)，nN N*.记直线AP n的斜率为k n. (1)若k12，求P1的坐标； (2)若k1为偶数，求证k n为偶数思路分析 (1)先求得k nxn01xn0. 5、(2019苏锡常镇调查）已知数列a n，a12，且a n1a2na n1对任意nN N*恒成立求证 (1)a n1a na n1a n2a2a11(nN N*)； (2)a n1nn1(nN N*) 6、(2019南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港二调）已知a1，a2，a n(nN N*，n4)均为非负实数，且a1a2a n2.证明 (1)当n4时，a1a2a2a3a3a4a4a11； (2)对于任意的nN N*，n4，a1a2a2a3a n1a na na11. 7、(2019无锡期末）已知数列a n满足a123，1a n12a n1a n11(n2) (1)求数列a n的通项公式； (2)设数列a n的前n项和为S n，用数学归纳法证明S n 128、(2019南通通州、海门、启东三县期末）设(qx)na0a1xa2x2ar xran xn，其中qR R，nN N*. (1)当q1时，化简nr0a rr1； (2)当qn时，记A nn（a0a1）2，B nnr0a r，试比较A n与B n的大小 9、(2018苏州期末）在正整数集N N*上定义函数yf(n)，满足f(n)f(n1)122f(n1)，且f (1)2. (1)求证f (3)f (2)910； (2)是否存在实数a，b，使得f(n)1a?32nb1对任意正整数n恒成立，并证明你的结论 10、(