人教版B版高中数学选修45(B版）数学归纳法原理

人教版B版高中数学选修45(B版）数学归纳法原理 新课导入探究试证-1+3-5+(-1)n(2n-1)=(-1)n教学目标知识与能力了解数学归纳法的原理及其使用范围和基本步骤.过程与方法1.通过递推思想研究数学归纳法.2.通过多米若骨牌游戏这个模型直观地类比抽象的数学归纳法.情感态度与价值观培养学生严密的逻辑思维能力和严谨的态度.教学重难点重点难点了解数学归纳法的原理及其使用范围和基本步骤.排序不等式的证明思路及应用.探究多米若骨牌是一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定会导致后一块骨牌倒下.这样，只要推倒第一块骨牌，就可以导致第二块骨牌倒下最后，不论有多少块骨牌，都能倒下.你知道为什么所有骨牌都会倒下吗？分析使所有骨牌都倒下的条件有两个 (1)第一块骨牌倒下； (2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.其中，条件 (2)事实上是一个递推关系；当第k k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下.只要保证 (1) (2)成立，那所有的骨牌一定会全部倒下.按照上述思路证明题目会怎样？证明 (1)当n=1时，等式左右两边都等于-11，即这时等式成立. (2)假设当n=k(k1)时等号成立，即-1+3-5+(-1)k k(2k-1)=(-1)k k k k此时，左边=-1+3-5+(-1)k k(2k-1)+(-1)k k+12(k+1)-1=(-1)k k-k+2(k+1)-1=(-1)k+1(k+1)=右边所以当n=k+1时，等号成立.由 (1) (2)可证等式成立.当证明一个命题对于不小于某正整数n n00的所有正整数n n都成立，可以用以下两个步骤 (1)证明当n=n00时命题成立； (2)假设当n=k(k N+,且kn00）时命题成立，证明n=k+1时命题也成立.?数学归纳法思考你认为数学归纳法的基本思想是什么？在数学归纳法的两个步骤中，第一步是奠基，第二步是假设与递推.这两部非常重要，缺一不可.而递推是实现从有限到无限的飞越关键.例例1证明n n33+5n(n N+)能够被66整除.?分析这是一个与整除有关的命题，它涉及全体正整数，若用数学归纳法证明，第一步应证n=1时命题成立；第二步要明确目标，即在假设k k33+5k能够被66整除的前提下证明.证明 (1)当n=1时，n n33+5n=6显然能够被66整除，命题成立. (2)假设n=k(k1)时，命题成立，即k k33+5k能被66整除.当n=k+1时，(k+1)33+5(k+1)=(k33+5k)+3k(k+1)+6.由假设知k k33+5k能被66整除，而k(k+1)是偶数，故3k(k+1)能够被66整除。 因此，当n=k+1时命题成立.由 (1) (2)知，命题对一切正整数成立，即n n33+5n(n N+)能够被66整除.?例例2平面上有n(n N+,n3)个点，其中任何三点都不在同一条直线上.过这些点中任意两点作直线，这样的直线共有多少条？证明你的结论.?分析可以先从有限个点的情况中，归纳出一个猜想；然后再用数学归纳法证明猜想成立.解猜想过n n个点(任意三点不共线)中任意两点作直线，共有.?112n n?证明 (1)当n=3时，命题成立. (2)假设当n=k时命题成立,即过k k个点(任意三点不共线)中任意两点作直线，这样的直线共有?11.2k k?当n=k+1时，共有k+1个点(任意三点不共线)，过k k个点中的任一两点作直线，这样的直线共有条，过这k k个点中的任意一点与第k+1个点作直线，这样的直线共有k k条.因此，过这k+1个点中任意两点作直线，这样的直线共有所以当n=k+1时命题成立.?112k k?111111.22k k k k k?由 (1) (2)可知，猜想正确.思考结合上述证明过程，你认为数学归纳法有什么特殊作用吗？数学归纳法实现了由有限到无限的飞跃课堂小结1.数学归纳法的步骤 (1)证明当n=n00时命题成立； (2)假设当n=k时命题成立，证明n=k+1时命题也成立.2.数学归纳法的应用.当证明一个命题对于不小于某正整数的所有正整数n n都成立，可以用数学归纳法.随堂练习1.由数学归纳证明1+3+5+(2n-1)=n22证证明 (1)当n=1时，命题成立. (2)假设当n=k(k1)时，命题成立.即即1+3+(2k-1)=k2.当当n=k+1时,1+3+5+（2k-1)+(2k+1)-1=(k+1)2.所以，当n=k+1时，命题成立.由由 (1) (2)知，命题对一切正整数成立.2.凸n n边形有多少条对角线？证明你的结论.解凸n n边形有条对角线.下面证明这个命题.?132n n? (1)当n=3时，三角形没有对角线，命题成立. (2)假设当n=k时，命题成立，即凸k k边形有条对角线.当n=k+1时，凸(k+1)边形的对角线条数为所以，当n=k+1时命题成立.?132kk?11132kk?由 (1) (2)可知，对任意正整数n n，命题成立.当时，1=123=1,命题成立假设当时，命题成立，即当时，所以时命题成立由22222222212. (1)n=1.6 (2)n=k(k1)11+2+3+.+k=k(k+1)(2k+1).6n