第7讲 归纳与猜想

第7讲 归纳与猜想 广东省中考数学第2轮复习第7讲归纳与猜想专题归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），考生通过认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。 其解题思维过程是从特殊情况入手探索发现规律综合归纳猜想得出结论验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。 常见类题范例精讲【归纳与猜想】例1观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律111122222233333344444455?写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示猜想并写出与第n个图形相对应的等式。 第1页例2将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行下去，将结果填在下表中，并解答所提出的问题所剪次数正方形个数1427310413516?如果能剪100次，共有多少个正方形？据上表分析，你能发现什么规律？如果剪n次共有A n个正方形，试用含n、A n的等式表示这个规律；利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？能否将正方形剪成xx个小正方形？为什么？若原正方形的边长为1，设a n表示第n次所剪的正方形的边长，试用含n的式子表示a n；试猜想a1a2a3?a n与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系例3下图中，图是一个扇形AOB，将其作如下划分第一次划分如图所示，以OA的一半OA1为半径画弧，再作AOB的平分线，得到扇形的总数为6个，分别为扇形AOB、扇形AOC、扇形COB、扇形A1OB 1、扇形A1OC 1、扇形C1OB1；第二次划分如图所示，在扇形C1OB1中，按上述划分方式继续划分，可以得到扇形的总数为11个；第三次划分如图所示；?依次划分下去.根据题意，完成右表根据上表，请你判断按上述划分方式，能否得到扇形的总数为xx个？为什么？A O图B AA1C C1B1B AA1C C1B1B O图第一次划分O图第二次划分图第三次划分第2页同步训练1【烟台03，桥西0304】如图，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题 （1）212S1 （2）213S2 （3）214S3122232A41A13A511S4S3A S22A6S5S11?A O11请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；推算出OA10的长；求出S12S22S32?S102的值2观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n个图中的小黑点的个数为y.图1图2图3图4图5解答下列问题填表当n8时，y；你能猜想y与n之间的关系式吗？你是怎么得到的，请与同伴交流；下边给出一种研究方法。 请你根据上表中的数据，把n作为横坐标，把y作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点（n，y）.猜一猜上述各点是否在某一函数的图象上？如果在某一函数的图象上，请你求出该函数的关系式。 3.一个自然数a恰等于另一个自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数，如6482，64就是一个完全平方数若axx2xx2xx2xx2，求证a是一个完全平方数，并写出a的平方根第3页4.下列是由同型号黑白两种颜色的正三角形瓷砖按一定规律铺设的图形仔细观察图形可知图有1块黑色的瓷砖，可表示1?(1?1)?1；2图有3块黑色的瓷砖，可表示为1?2?(1?2)?2；2(1?3)?3；2图有6块黑色的瓷砖，可表示为1?2?3?实践与探索图图图图请在图的虚线框内画出第4个图形；（只须画出草图）第10个图形有块黑色的瓷砖；（直接填写结果）第n个图形有块黑色的瓷砖（用含n的代数式表示）5.随着信息技术的高速发展，电话进入了千家万户，据调查某校初三班的同学家都装上了电话，暑假期间全班每两个同学都通过一次电话，如果该班有56名同学，那么同学们之间共通了多少次电话？为解决该问题，我们可把该班人数n与通电话次数s间的关系用下列模型来表示若把n作为点的横坐标，s作为纵坐标，根据上述模型中的数据，在给出的平面直角坐标系中，描出相应各点，并用平滑的曲线连接起来；根据图中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图象上？如果在，求出该函数的解析式；根据中得出的函数关系式，求该班56名同学间共通了多少次电话第4页6.在数学活动中，小明为了求何图形。 请你利用这个几何图形，求11111?2?3?4?n的值（结果用n表示），设计如图1所示的几222221212212411111?2?3?4?n的值为；22222123图1图2请你利用图2，再设计一个能求7.如图，正方形表示一张纸片，根据要求需多次分割，把它分割成若干个直角三角形操作过程如下第一次分割，将正方形纸片分成4个全等的直角三角形，第二次分割将上次得到的直角三角形中一个再分成4个全等的直角三角形；以后按第二次分割的作法进行下去请你设计出两种符合题意的分割方案图；设正方形的边长为a，请你就其中一种方案通过操作和观察将第 二、第三次分割后所得的最小的直角三角形的面积S填入下表分割次数n最小直角三角形的面积S123?11111?2?3?4?n的值的几何图形。 2222212a4在条件下，请你猜想分割所得的最小直角三角形面积S与分割次数n有什么关系？用数学表达式表示出来第5页8.下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的?观察图形，填写下表推测第n个图形中，正方形的个数为，周长为（都用含n的代数式表示）；这些图形中，任意一个图形的周长y与它所含正方形个数x之间的关系式为y9.定义若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形。 探究一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形。 我们把DEF（图乙）第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2）?依次规则操作下去。 n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为S n.若DEF的面积为10000，当n为何值时，2S n3？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）当n1时，请写出一个反映S n1，S n，S n1之间关系的等式（不必证明）。 第6页第6讲归纳与猜想专题归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），考生通过认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。 其解题思维过程是从特殊情况入手探索发现规律综合归纳猜想得出结论验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。 常见类题范例精讲【归纳与猜想】例1观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律111122222233333344444455?写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示猜想并写出与第n个图形相对应的等式。 55解5566n?n n?n?。 n?1n?1例2将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行下去，将结果填在下表中，并解答所提出的问题第7页所剪次数正方形个数1427310413516?如果能剪100次，共有多少个正方形？据上表分析，你能发现什么规律？如果剪n次共有A n个正方形，试用含n、A n的等式表示这个规律；利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？能否将正方形剪成xx个小正方形？为什么？若原正方形的边长为1，设a n表示第n次所剪的正方形的边长，试用含n的式子表示a n；试猜想a1a2a3?a n与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系解10031301，规律是本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；A n3n1；若A n22，则3n122，n7，故需剪7次；若A nxx，则3n1xx，此方程无自然数解，不能将原正方形剪成xx个小正方形；1a nn；211131117a11，a1a21，a1a2a31，?从而猜想到22442488a1a2a3?a n1.直观的几何意义如图所示。 例3下图中，图是一个扇形AOB，将其作如下划分第一次划分如图所示，以OA的一半OA1为半径画弧，再作AOB的平分线，得到扇形的总数为6个，分别为扇形AOB、扇形AOC、扇形COB、扇形A1OB 1、扇形A1OC 1、扇形C1OB1；第二次划分如图所示，在扇形C1OB1中，按上述划分方式继续划分，可以得到扇形的总数为11个；第三次划分如图所示；?依次划分下去.第8页a11a2a3C A O图B AA1C1B1B AA1C C1B1B O图第一次划分O图第二次划分图第三次划分根据题意，完成下表划分次数1234?n扇形总个数6111621?5n1根据上表，请你判断按上述划分方式，能否得到扇形的总数为xx个？为什么？解由5n1xx，得n5，n是整数，可能。 xx同步训练3【烟台03，桥西0304】如图，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题 （1）212S1 （2）213S2 （3）214S3122232A41A3A5111S4S3A S22A6S5S11?AO11请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；推算出OA10的长；求出S12S22S32?S102的值解（n）21n1，S nn；2OA11，OA22，OA33，?，OA1010；155S12S22S32?S102（123?10）444观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n个图中的小黑点的个数为y.第9页图1图2图3图4图5解答下列问题填表n y112337413521?当n8时，y57；你能猜想y与n之间的关系式吗？你是怎么得到的，请与同伴交流；下边给出一种研究方法。 请你根据上表中的数据，把n作为横坐标，把y作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点（n，y）.猜一猜上述各点是否在某一函数的图象上？如果在某一函数的图象上，请你求出该函数的关系式。 解观察y这一行，后面的数比前一个数依次增大2，4，6，?，2（n1），所以当n5时，y132（51）21；由知，当n8时，y2110121457；略；根据点的排列情况，在一条曲线上，猜想是抛物线，图象略。 设二次函数的解析式为yax2bxc，由（1，1）、（2，3）、（3，7）三点可得，?abc1?a1?4a2bc3，解得?b1，故所求的函数关系式为yx2x1.?9a3bc7?c1?反思问题通过从“特殊”到“一般”的归纳过程来探究规律结果，先在坐标系中描出各点的位置，再依据点的位置特征判断变量之间可能的关系，最后根据猜想求解，这正是“课标”倡导的思想。 3.一个自然数a恰等于另一个自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数，如6482，64就是一个完全平方数若axx2xx2xx2xx2，求证a是一个完全平方数，并写出a的平方根解先从较小的数字探索a11212222232（121）2，a22222323272（231）2，a332324242132（341）2，a442425252212（451）2，?于是猜想axx2xx2xx2xx2（xxxx1）2 （4010007）2，证明采用配方法（略）推广到一般，若n是正整数，则an2n2（n1）2（n1）2是一个完全平方数n（n1）12解题策略猜想是数学中重要的思想和方法之一。 较大的数字问题可仿较小数字问题来处理，实现了以简驭繁的策略。 在解题时，如果你不能解决所提出的问题，可先解决“一个与此有关的问题”。 你能不第10页能想出一个更容易着手的问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？你能否解决这个问题的一部分？这就是数学家解题时的“绝招”。 4.下列是由同型号黑白两种颜色的正三角形瓷砖按一定规律铺设的图形仔细观察图形可知图有1块黑色的瓷砖，可表示1?(1?1)?1；2图有3块黑色的瓷砖，可表示为1?2?(1?2)?2；2(1?3)?3；2图有6块黑色的瓷砖，可表示为1?2?3?图实践与探索图图图请在图的虚线框内画出第4个图形；（只须画出草图）第10个图形有块黑色的瓷砖；（直接填写结果）第n个图形有块黑色的瓷砖（用含n的代数式表示）1解如右图；55，n（n1）（n为正整数）；235.观察下列图形，如图所示，若第1个图形中的空白面积为1，第2个图形中非阴影部分的面积为，4927第3个图形中非阴影部分的面积为，第4个图形中非阴影部分的面积为，?探究第n个图形中非1664阴影部分的面积为多少（用字母n表示）？33解当n1时，S1；当n2时，S（）21；4493273当n3时，S（）31；当n4时，S（）41；1646443所以，第n个图形中非阴影部分的面积为（）n1；4第11页3点拨认真分析n、S与三者之间存在的内在关系探求其规律。 46.随着信息技术的高速发展，电话进入了千家万户，据调查某校初三班的同学家都装上了电话，暑假期间全班每两个同学都通过一次电话，如果该班有56名同学，那么同学们之间共通了多少次电话？为解决该问题，我们可把该班人数n与通电话次数s间的关系用下列模型来表示若把n作为点的横坐标，s作为纵坐标，根据上述模型中的数据，在给出的平面直角坐标系中，描出相应各点，并用平滑的曲线连接起来；根据图中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图象上？如果在，求出该函数的解析式；根据中得出的函数关系式，求该班56名同学间共通了多少次电话解略；根据图中各点的排列规律，猜想各点可能在一个二次函数的图象上，用待定系数法可求得s121nn；2211111?2?3?4?n的值（结果用n表示），设计如图1所示的几2222212122124当n56时，s1540；7.在数学活动中，小明为了求何图形。 请你利用这个几何图形，求11111?2?3?4?n的值为；222222，再设计一个能求123图1图2请你利用图11111?2?3?4?n的值的几何图形。 222221解 （1）1?n；2 （2）如图1或如图2或如图3或如图4等，图形正确。 12112412223?12122131224?12第12页11223?2?132122128.如图，正方形表示一张纸片，根据要求需多次分割，把它分割成若干个直角三角形操作过程如下第一次分割，将正方形纸片分成4个全等的直角三角形，第二次分割将上次得到的直角三角形中一个再分成4个全等的直角三角形；以后按第二次分割的作法进行下去请你设计出两种符合题意的分割方案图；设正方形的边长为a，请你就其中一种方案通过操作和观察将第 二、第三次分割后所得的最小的直角三角形的面积S填入下表分割次数n最小直角三角形的面积S123?12a4在条件下，请你猜想分割所得的最小直角三角形面积S与分割次数n有什么关系？用数学表达式表示出来解现提供如下三种分割方案每次分割后得到的最小直角三角形的面积都是上一次最小直角三角形面积的1，所以当n