高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积优化训练北师大版.docx

2.5 从力做的功到向量的数量积5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下列命题中正确的个数有（ ）a0=0 0a=0 0-= |ab|=|a|b| 若a0，则对任一非零b有ab0 ab=0，则a与b中至少有一个为0 a与b是两个单位向量，则a2=b2A.7 B.5 C.4 D.2解析：7个命题中只有正确.对于,两个向量的数量积是一个实数，应有0a=0；对于,应有0a=0；对于,由数量积定义，有|ab|=|a|b|cos|a|b|，这里是a与b的夹角，只有=0或=时，才有|ab|=|a|b|；对于,若非零向量a、b垂直，有ab=0；对于,由ab=0可知ab，可以都非零.答案：D2.已知|a|=3，|b|=6，当ab，ab，a与b的夹角为60时，分别求ab.解：当ab时，若a与b同向，则它们的夹角=0，ab=|a|b|cos0=361=18；若a与b反向，则它们的夹角=180，ab=|a|b|cos180=36（-1）=-18.当ab时，它们的夹角=90，ab=0.当a与b的夹角是60时，有ab=|a|b|cos60=36=9.3.已知|a|=10，|b|=12，a与b的夹角为120，求ab.解：由定义，ab=|a|b|cos=1012cos120=-60.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.给出下列命题：在ABC中，若0，则ABC是锐角三角形；在ABC中，若0，则ABC是钝角三角形；ABC是直角三角形=0；ABC是斜三角形一定有0.其中，正确命题的序号是_.解析：0.B是锐角，但并不能断定其余的两个角也是锐角.推不出ABC是锐角三角形.故命题是假命题.0，=-0.A是钝角，因而ABC是钝角三角形.故命题是真命题.ABC是直角三角形，则直角可以是A，也可以是B、C.而=0仅能保证B是直角.故命题是假命题.一方面，当ABC是斜三角形时，其三个内角均不是直角，故0.故命题是真命题.答案：2.若向量a、b、c满足a+b+c=0，且|a|=3,|b|=1,|c|=4，则ab+bc+ac=_.解法一：a+b+c=0,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0.2(ab+bc+ac)=-(a2+b2+c2)=-(|a|2+|b|2+|c|2)=-(32+12+42)=-26.ab+bc+ac=-13.解法二：根据已知条件可知|c|=|a|+|b|,c=-a-b，所以a与b同向，c与a+b反向.所以有ab+bc+ac=3cos0+4cos180+12cos180=3-4-12=-13.答案：-133.已知a、b是两个非零向量，同时满足|a|=|b|=|a-b|，求a与a+b的夹角.解法一：根据|a|=|b|，有|a|2=|b|2.又由|b|=|a-b|，得|b|2=|a|2-2ab+|b|2,ab=|a|2.而|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2=3|a|2,|a+b|=|a|.设a与a+b的夹角为，则cos=，=30.解法二：设向量a=(x1，y1),b=(x2,y2),|a|=|b|,x12+y12=x22+y22.由|b|=|a-b|，得x1x2+y1y2=(x12+y12)，即ab=(x12+y12).由|a+b|2=2(x12+y12)+2(x12+y12)=3(x12+y12)，得|a+b|=(x12+y12).设a与a+b的夹角为，则cos=，=30.解法三：根据向量加法的几何意义，在平面内任取一点O，作=a，=b，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB.|a|=|b|，即|=|，OACB为菱形，OC平分AOB，这时=a+b，=a-b.而|a|=|b|=|a-b|，即|=|=|.AOB为正三角形，则AOB=60，于是AOC=30，即a与a+b的夹角为30.4.若(a+b)(2a-b)，(a-2b)(2a+b)，试求a与b的夹角的余弦值.解：由(a+b)(2a-b),(a-2b)(2a+b)有a2=b2,|a|2=|b|2,|a|=|b|.由2a2+ab-b2=0得ab=b2-2a2=|b|2-2|a|2=|b|2-2|b|2=|b|2，cos=.a、b的夹角的余弦值为.5.已知|a|=5,|b|=12，当且仅当m为何值时，向量a+mb与a-mb互相垂直?解：若向量a+mb与a-mb互相垂直，则有(a+mb)(a-mb)=0，a2-m2b2=0.|a|=5,|b|=12,a2=25,b2=144.25-144m2=0.m=.当且仅当m=时，向量a+mb与a-mb互相垂直.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.若向量a、b、c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是( )A.（a+b）+c=a+（b+c） B.（a+b）c=ac+bcC.（ab）c=a（bc） D.m（a+b）=ma+mb解析：根据向量的加、减、乘运算法则解答此题.（ab）ca（bc）.答案：C2.已知a、b、c为任意非零向量，若a=b，则下列命题：|a|=|b|；a2=b2；a2=ab；c（a-b）=0.正确的有( )A. B.C. D.解析：a=b|a|=|b|；a2=b2；a2=ab；c（a-b）=0，而四个命题均不能推出a=b成立.答案：D3.对任意向量a、b，|a|b|与ab的大小关系是( )A.|a|b|ab B.|a|b|abC.|a|b|ab D.两者大小不定解：|a|b|-ab=|a|b|-|a|b|cos=|a|b|（1-cos）.0，-1cos1，1-cos0，2.又|a|0，|b|0，1-cos0，|a|b|ab.答案：C4.设a、b、c是任意的非零向量，且相互不共线，则（ab）c-（ca）b=0；a2=|a|2；（bc）a-（ca）b不与c垂直；（3a+2b）（3a-2b）=9|a|2-4|b|2中，是真命题的有( )A. B. C. D.解析：命题中，ab的运算结果为数，故（ab）c为一向量，同理（ac）b也是一向量，向量之差为向量.故不正确.由数量积的性质知正确.又（bc）a-（ca）bc=（bc）（ac）-（ca）（bc）=0，而（ac）b与（bc）a不可能同时为零向量,故命题不正确，正确.答案：D5.下列命题：ABC为锐角三角形，则必有0；若ab=0，则ab；若ab=ac，且a0，则b=c； |ab|=|a|b|ab.其中正确命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4解析：命题：=|cos（-ABC）0，不正确.命题：当a、b为0时，ab=0ab，不正确.命题：ab=ac，即|a|b|cos1=|a|b|cos2，又a0，|b|cos1=|c|cos2不一定有b=c.故不正确.命题：|ab|=|a|b|cos|=|a|b|cos|=|a|b|cos|=1=0或，故ab.另外当a、b中有一个为0时，也有ab.故正确.答案：A6.已知e为单位向量，|a|=4，a与e的夹角为，则a在e方向上的投影为_.解析：投影为=|a|cos=-2.答案：-27.向量、满足|+|=|-|，则与的夹角是_.解析：|+|=|-|，|+|2=|-|2，即2+2+2=2-2+2.=0.又、均为非零向量，故与的夹角为90.答案：908.已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互间的夹角均为120.（1）求证：（a-b）c；（2）若|ka+b+c|=1（kR），求k的值.（1）证明：（a-b）c=ac-bc=|a|c|cos120-|b|c|cos120，又|a|=|b|=|c|，（a-b）c=0，即（a-b）c.（2）解：由|ka+b+c|=1，得|ka+b+c|2=12，即（ka+b+c）2=1，k2a2+b2+c2+2bc+2kab+2kac=1.又ab=ac=bc=，k2-2k=0.解得k=2或0.9.已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60,c=3a+5b,d=ma-3b.(1)当m为何值