试论古代数学家刘徽及其数学思想.docx

试论古代数学家刘徽及其数学思想明清河1 ,贾如鹏2(1. 山东省枣庄师专 教务处 , 山东 枣庄 277160 ;2. 山东德州学院 数学系 , 山东 德州 253023)摘要 :论述了我国古代数学家刘徽的数学成就及其蕴涵的重要数学思想 。关键词 :刘徽 ;数学成就 ;数学思想中图分类号 :O112文献标识码 :A文章编号 :1008 2816 (2004) 04 0073 02一 、刘徽的数学成就概述刘徽 (生于公元 250 年左右) ,是中国数学史上一个非 常伟大的数学家 ,在世界数学史上 ,也占有重要的地位 。他 的杰作九章算术注和海岛算经,是我国最宝贵的数学 遗产 。九章算术约成书于东汉之初 ,共有 246 个问题的解 注 。在许多方面 :如解联立方程 ,分数四则运算 ,正负数运 算 ,几何图形的体积面积计算等 ,都属于世界先进之列 ,但 因解法比较原始 ,缺乏必要的证明 ,而刘徽则对此均作了补 充证明 。这些证明 ,显示了他在多方面的创造性 。在算术 方面 ,他是世界上最早提出十进小数概念的人 ,并用十进小 数来表示无理数的立方根 ;他完成了齐同术理论 ,而且还推 广到用齐同术去求几个分数的平均值 ,解释衰分术 ,解“均 输”“、盈不足”和“方程”等问题 ;在代数方面 ,他正确地提出 了正负数的概念及其加减运算的法则 ; 改进了线性方程组 的解法 ;在几何方面 ,提出了“割圆术”,即将圆周用内接或 外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法 。他利 用割圆术科学地求出了圆周率 = 3. 14 的结果 ,刘徽在割 圆术中提出的“割之弥细 ,所失弥少 ,割之又割以至于不可 割 ,则与圆合体而无所失矣”,这可视为中国古代极限观念 的佳作 。刘徽在海岛算经一书中 ,对“重差术”进行了研 究 ,他精心选编了九个测量问题 ,编写成“重差”章 ,这些题 目的创造性 、复杂性和富有代表性 , 都在当 时 为 西 方 所 瞩 目 。刘徽思想敏捷 ,方法灵活 ,既提倡推理又主张直观 ,他 是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的 人 。二 、刘徽的数学思想刘徽的数学思想主要包括以下几个方面 :1. 极限的思想 :刘徽是世界上第一个在数学中运用极 限思想的人 。他在“割圆术”、“弧田术”、“开方术”、“阳 马 术”等中都用了极限思想 。“割圆术”是刘徽为“方田章”第23 题的“圆田术”作注时引入的 ,用来求圆面积及推算圆周 率 。他用倍增圆内接正六边形的边数 ,以正 3 2n 边形当 n时面积的极限来定义圆的面积 ; 他说 “: 以六觚之一面乘半径 ,因而三之 ,得十二觚之幂 ;若又割之 ,次以十二觚之 一面乘半径 ,因而六之 ,则得二十四觚之幂 。割之弥细 ,所 失弥少 。割之又割 ,以致于不可割 ,则与圆合体 ,而无所失 矣”。刘徽根据上述思想求出圆内接正 192 边形的面积 ,求得= 157 = 3. 14 ,他继续求到圆内接正 3072 边形的面积 ,50求得圆周率= 3927 = 3. 1416 。另外 ,刘徽还把“割圆术”用1250到求弓形的面积 、棱锥的体积上 。 刘徽在数学上多次用极限思想处理问题 ,而且运用比较熟练 ,说明他已经对极限有了相当的认识 ,这是刘徽在数学上极其重要的成就 ,充分反映了他数学思想的先进 。2. 数形结合的思想 “: 出入相补原理”,又称“以盈补虚 法”,是刘徽发展并系统化了的一种独特的数学方法 ,发展 了古代的数形结合思想 。用现代语言来说 ,就是指这样一 个明显事实 “: 一个平面图形从一处移置他处 ,面积不变 ;又 若把图形分割成若干块 ,那么各部分面积的和等于原来图 形的面积 ,因而图形移置前后诸面积间的和 、差有简单的相等关系 ;立体的情形也是这样”。刘徽在“方田”章第 26 题 注中 ,把等腰三角形田变换成等积的矩形田 (直田) ,再利用收稿日期 :2004 05 21作者简介 :明清河 (1964 ) ,男 ,山东滕州人 ,副教授 。74 明清河等 :试论古代数学家刘徽及其数学思想2004 年第 4 期“方田术”求面积 。在“勾股术”注中 ,论述到 “: 勾自乘为朱方 ,股自乘为青方 ,令出入相补 ,各从其类 ,因就其余不移动 也 ;合成弦方之幂 ,开方除之 ,即弦也”。在“少广”章的开平 方术中 ,把数的开平方归结为求一个已知面积的正方形的 一边长 。“出入相补原理”可以说贯穿在刘徽的整个九章算术 注中 ,它反映了当时人们已具有较高的抽象概括能力 ,抽象概括出解决实际问题的一般原理 ,而这种一般原理又具 有简明性和较强的直观性 ,用它能帮助人们把许多算法联 系起来并得出更多的有效算法 。“出入相补原理”的提出 ,反映了刘徽对中国古代传统的数学思想做了大的发展 。3. 无限的思想 :刘徽超越前人 ,天才的将无限过程成功 地运用于数学证明 ,特别是他的阳马术注展示了他所具有 的非凡的高难技巧 。刘徽在“阳马术”注中说“半之弥少 ,其 余弥细 ,至细曰微 ,微则无形 ,由是言之 ,安取余哉 ?”无限进 行分割的结果最后得到一个“至细”“无形”的东西 ;在“割圆 术”中利用边数增加的圆内接正多边形逼近圆 ,当边数增加 到无穷多时 ,这个正无穷多边形就和圆重合 。在刘徽那里 , 不可分量构成几何图形和“无厚”可积的观念取得了合法地 位 ,并成为他成功地用于处理面积 、体积问题的某些方法的 基础 。4. 辩证的思想 :刘徽主张对于具体问题具体分析 ,解决 数学问题不应拘于一法 。例如九章算术注“均输”章第26 题 ,他认为有两种解法 , 到底用哪种方法 , 刘徽认为“可 随率宜也”。5. 转化的思想 :刘徽用转化的思想指导运算中的化简工作 ,例如对于约分就明确地讲述了这一点 。他注意到“分 之为数 ,繁则难用”,因此要约分 ,而约分的结果数值不变 ;他说 “: 设有四分之二者 ,繁而言之 ,亦可分为八分之四 ,约而言之 ,则二分之一也 ; 虽 则 异 词 , 至 于 为 数 , 亦 同 归 尔”。 在“衰分”章中 ,刘徽还讲了分数的同值变换问题 “, 一乘一 除适足相消 ,故所分犹存”。6. 逻辑推理的思想 :刘徽很注意数学推理的逻辑性 ,他 对九章算术中的所有数学概念都作了解释或逻辑定义 ,他还考虑了各问题间的逻辑关系 。在“勾股”章中 明 确 指出 :这一章之所以一开始就提出了勾股定理 ,是因为“将以 施于诸率 ,故先具此术 ,以见其源也”。他从逻辑严谨性出 发 ,对于那些能从逻辑上证明的法则都进行了论证 ,他认为 有些问题不能只限于感性认识 ,必须从理性上加以认识 。7. 同一性思想 :刘徽在九章算术注的序文中说 “: 事 类相推 ,各有攸归 ,故条枝虽分而本同干者 ,知发其一端而 已”。意思是许多问题 ,表面上看不相同 ,但在理论上都是 一致的 ,它们有共同的根源 ; 在整个注解中 ,都贯穿了这种 思想 ,如在“勾股”章 16 题注中说 “: 言虽异矣 ,及其所以成 法 ,实则同归矣”。8. 直观性思想 :刘徽也非常注意数学的直观性 ,他主张 “析理以辞 ,解题用图”。理论与图形只管并用 ,只有这样 , 才能更好地使人理解数学内容 ,达到“庶亦约而能周 ,通而 不黩 ,览之者思过半矣”的目的 。因此他在数学研究中很注 意使用图形 、立体模型 、剪纸和涂抹颜色 。参考文献 :12白尚恕.九章算术注释M. 北京 :科学出版社 ,1983 .吴文俊. 九章算术与刘徽 M . 北京 : 北京师范大学出版社 ,1982 .Try to Ma ke a Comment Ancient Times MathematicianLiu Hui and His Mathematics ThoughtMing Qinghe , J ia Rupeng( Zaozhuang teacherscollege , S handong Zaozhuang , 277160)Abstract :Discuss important mathema