高考数学一轮复习第6章 第7节 数学归纳法

高考数学一轮复习第6章 第7节 数学归纳法 考纲要求考情分析了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1.从考查内容看，用数学归纳法证明与正整数有关的命题是考查的重点，其中以数列为载体的“归纳猜想证明”是考查的热点2.从考查形式看，以解答题为主，主要考查学生分析问题、解决问题的能力，属中高档题.?单击此处母版文本样式?第二级?第三级第四级?第五级nk1n取从n0开始的所有正整数?单击此处母版文本样式?第二级?第三级第四级?第五级?单击此处母版文本样式?第二级?第三级第四级?第五级n0nk(kn0)k1?单击此处母版文本样式?第二级?第三级第四级?第五级?单击此处母版文本样式?第二级?第三级第四级?第五级?单击此处母版文本样式?第二级?第三级第四级?第五级?单击此处母版文本样式?第二级?第三级第四级?第五级1在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n3)条时，第一步检验n等于()A1B2C3D02用数学归纳法证明1aa2a n11an21a，a1，在验证n1时，等式左端所得的项是()A1B1a C1aa2D1aa2a3?单击此处母版文本样式?第二级?第三级第四级?第五级3用数学归纳法证明112131412n112n1n11n212n(nN*)中，则从k到k1时，等式左边所要添加的项是()A.12k1B12k212k4C.12k112k2D12k2解析注意到左边共有2n项，则从k到k1时，左边所要添加的项是12?k1?112?k1?12k112k2，故选C.答案C4用数学归纳法证明1121312n12(nN，且n1)时，第一步要证的不等式是_解析n2时，左边112122111213，右边2.答案112132?单击此处母版文本样式?第二级?第三级第四级?第五级?单击此处母版文本样式?第二级?第三级第四级?第五级对数学归纳法的理解?单击此处母版文本样式?第二级?第三级第四级?第五级 (2)用数学归纳法证明123n2n4n22，则当nk1时左端应在nk的基础上加上Ak21B(k1)2C.?k1?4?k1?22D(k21)(k22)(k23)(k1)2题号分析 (1)由数学归纳法中的递推关系可得结论 (2)列出nk，nk1时的两个式子比较即可.?单击此处母版文本样式?第二级?第三级第四级?第五级 (2)当nk时，等式左端12k2，当nk1时，等式左端12k2?k21?k1?22k1个，增加了2k1项答案D?单击此处母版文本样式?第二级?第三级第四级?第五级?单击此处母版文本样式?第二级?第三级第四级?第五级解析当nk时，左边(k1)(k2)(kk)当nk1时，左边(k1)1(k1)2(k1)(k1)(k2)(k3)(kk)(kk1)(kk2)(k1)(k2)(kk)?kk1?kk2?k1(k1)(k2)(kk)2(2k1)，从k到k1，左边需要增乘的代数式为2(2k1)?单击此处母版文本样式?第二级?第三级第四级?第五级 (2)用数学归纳法证明112131412n112n1n11n212n，第一步验证的等式中左边是_，右边是_解析令n1，则左边11212，右边12.答案1212?单击此处母版文本样式?第二级?第三级第四级?第五级用数学归纳法证明等式、不等式【典例剖析】对于nN*，用数学归纳法证明1n2(n1)3(n2)(n1)2n1n?n1?n2?6.?单击此处母版文本样式?第二级?第三级第四级?第五级解设f(n)1n2(n1)3(n2)(n1)2n1.当n1时，左边1，右边1，左边右边，等式成立假设当nk(k1，kN*)时等式成立，即1k2(k1)3(k2)(k1)2k116k(k1)(k2)则当nk1时，f(k1)1(k1)2(k1)13(k1)2(k1)23(k1)12(k1)1f(k)123k(k1)16k(k1)(k2)12(k1)(k11)16(k1)(k2)(k3)当nk1时等式也成立由可知，当nN*时等式成立?单击此处母版文本样式?第二级?第三级第四级?第五级已知a0，b0，n1，nN*，用数学归纳法证明anb n2?ab2n.解当n2时，左边右边a2b22?ab22?ab220，不等式成立假设当nk(kN*，k1)时，不等式成立，即akb k2?ab2k.因为a0，b0，k1，kN*，所以(a k1b k1)(a kbab k)(ab)(a kb k)0，于是(a k1b k1)a kbab k.当nk1时，?ab2k1?ab2kab2akb k2ab2ak1b k1a kbab k4ak1b k1a k1b k14ak1b k12，即当nk1时，不等式也成立由知，对于a0，b0，n1，nN*，不等式anb n2?ab2n成立?单击此处母版文本样式?第二级?第三级第四级?第五级?单击此处母版文本样式?第二级?第三级第四级?第五级【活学活用】2 (1)已知f(n)1n1n11n21n2，则()Af(n)中共有n项，当n2时，f (2)1213Bf(n)中共有n1项，当n2时，f (2)121314Cf(n)中共有n2n项，当n2时，f (2)1213Df(n)中共有n2n1项，当n2时，f (2)121314解析项数为n2(n1)n2n1；当n2时，f (2)121314.答案D (2)用数学归纳法证明1n11n21n313n910(n1，且nN)证明当n2时，左边131415161920910右边，不等式成立假设nk(kN，k2)时不等式成立，即1k11k213k910成立则当nk1时，1k21k313k13k113k213k3?1k11k213k?13k113k213k31k1910?13k113k213k31k1910?13k313k313k31k1910.当nk1时不等式也成立综合，对一切大于1的自然数n，不等式都成立.?单击此处母版文本样式?第二级?第三级第四级?第五级数学归纳法证明数列问题?单击此处母版文本样式?第二级?第三级第四级?第五级?单击此处母版文本样式?第二级?第三级第四级?第五级解 (1)利用数学归纳法证明当n1时，x12，直线1的方程为y5f?2?524(x4)，令y0，解得x2114，所以2x1x23.假设当nk(k1，kN*)时，结论成立，即2x kx k13.直线 k1的方程为y5f?xk1?5x k14(x4)，令y0，解得x k234xk12x k1.由归纳假设知x k234xk12x k1452x k10，即x k1 (2)由 (1)及题意得x n134xn2x n.设b nx n3，则1b n15b n1，1b n1145?1b n14，数列?1b n14是首项为34，公比为5的等比数列1b n14345n1，b n435n11，数列x n的通项公式为x n3435n11.?单击此处母版文本样式?第二级?第三级第四级?第五级?单击此处母版文本样式?第二级?第三级第四级?第五级解 (1)当n1时，a1S12a1，a11.当n2时，a1a2S222a2，a232.当n3时，a1a2a3S323a3，a374.当n4时，a1a2a3a4S424a4，a4158.由此猜想a n2n12n1(nN*) (2)当n1时，a11，结论成立假设nk(kN*，k1)时，结论成立，则a k2k12k1，则当nk1时，a k1S k1S k2(k1)a k12ka k2a ka k1.2a k12a k，a k12ak222k12k122k112k，nk1时，结论成立，由知对任意nN*，a n2n12n1.数列中“归纳猜想证明”问题的答题规范(12分)在各项为正的数列a n中，数列的前n项和S n满足S n12?a n1a n. (1)求a1，a2，a3； (2)由 (1)猜想数列a n的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想 (1)数列a n的各项均为正数，且S n12?a n1a n，所以可根据解方程求出a1，a2，a3； (2)观察a1，a2，a3猜想出a n的通项公式a n，然后再证明 (1)S1a112?a11a1得a211.a n0，a11，1分由S2a1a212?a21a2，得a222a210，a221.2分又由S3a1a2a312?a31a3得a2322a310，a332.3分 (2)猜想a nnn1(nN*)5分证明当n1时，a1110，故猜想成立.6分假设当nk(kN*，k1)时猜想成立，即a kkk1，当nk1时，a k1S k1S k12?a k11a k