19.2一次函数

19.2 一次函数教学设计武汉市钢城第十一中学 易海林摘要：用数形结合的思想方法，通过画图观察、概括一次函数的性质（函数的增减性与系数k的关系），能让学生在特定的数学认知活动中发展相应的数学认知水平，体会数学思想方法。关键词：描点法、函数增减性、函数图象与性质一、内容和内容解析1.内容一次函数的图象及性质。2.内容解析（1）内容地位及核心知识解析。研究函数性质的基本方法：图象观察法和分析法（包括解析式分析法和微分分析法）。用描点法画函数图象，通过观察图象研究函数的性质，这是获得函数性质直观认识的基本方法。增减性是函数的核心性质，函数的其他性质，如最值、周期性、变化率等，都是基于这一核心性质的拓展。（2）内容结构关系解析：画出图象（从描点法到两点法）观察图象概括性质。描点法是画陌生函数图象的通法。两点法是画一次函数图象的特殊方法，是在确认一次函数图象为一条直线后，根据两点确定一条直线而得到的简便画图方法。（3）认识过程及活动设计分析。对一次函数的图象与性质的认识，需要经过两次概括。首先对一个具体的一次函数的性质概括，这需要观察当自变量的值增大时，函数值是增大还是减小。自变量增大意味着图象上动点的位置从左向右移动，函数值的增大（或减小）就是动点上升（或下降）。其次是概括一次函数y=kx+b 的增减性与系数k的符号之间的关系，这需要对k的不同符号对增减性的影响情况进行归纳。正比例函数是特殊的一次函数，一次函数图象可以看作由正比例函数图象经过平移得到。这样，一次函数的增减性就与相对应的正比例函数相同。一次函数性质的核心是其增减性与系数k的符号之间的关系。在一次函数的图象及其性质研究中，蕴含了数形结合的思想、分类讨论的思想和观察、表征、类比、归纳等数学认知活动。综上所述，本节课的教学重点是：用数形结合的思想方法，通过画图观察，概括一次函数的性质（函数的增减性与系数k的符号之间的关系）。二、目标与目标解析1.目标（1）会画一次函数的图象。（2）能从图象角度理解正比例函数与一次函数的关系。（3）能根据一次函数的图象和表达式y=kx+b (k0) 理解，当k0 和 k0 时，图象的变化情况，从而理解一次函数的增减性。（4）通过观察图象，类比正比例函数性质概括一次函数性质的活动，发展数学感知、数学表征和数学概括的能力，体会数形结合的思想，发展几何直观。2.目标解析目标（1）要求学生在用描点法画一次函数图象基础上通过思考得到两点法画一次函数图象，并能熟练画出具体的一次函数图象。目标（2）首先要求学生能通过观察具体的一次函数图象说出该函数图象的朝向特征（左低右高还是左高右低），并用坐标解释当自变量x的值增加时，函数值y怎样变化；其次能概括图象的特征与系数k的符号的关系以及函数的增减性与系数k的符号的关系。目标（3）要求学生会用平移知识解析一次函数y=kx+b (k0) 与正比例函数y=kx 图象之间的关系，并结合上一课时的学习图象关系和解析式关系建立联系，并能通过类比正比例的函数图象性质概括一次函数的图象性质。目标（4）要求学生能独立画图象，能通过观察发现图象特征，能类比正比例函数图象性质的研究提出一次函数要研究的问题，通过观察图象特征概括一次函数性质，知道用坐标可以实现以形表数和以数释形，体会数形结合的思想。三、教学问题诊断分析（1）学习基础分析。学生通过函数的概念、函数的表示法的学习，获得了函数研究方法的经验，通过正比例函数的学习，获得了函数研究方法的经验，通过正比例函数的学习，获得了具体一类函数的数形结合的探究经验。（2）学习困难分析。在具体的学习过程中，如果学生没有经历画图、观察、概括的过程，可能只是记住结论；学生在探究性质时，会跟着教师画图、观察、概括，但在理解、记忆和应用性质时，往往又撇开了图象；学生在观察图象时，往往只停留在语义记忆层面上，没有象特征通过坐标意义转化为函数性质。四、教学支持条件分析观察从直线y=kx 到 y=kx+b 的平移变化、y随x的变化、k的符号变化导致函数增减性的变化时，需要在学生独立画图象、观察图象的基础上，用电脑动画充分展示其运动变化过程，这便于学生理解和记忆。五、教学过程设计1.回顾旧知，提出问题问题1：前面，我们初步学习了一次函数，能写出两人个具体的一次函数解析式吗？什么叫做一次函数？（如y=2x-3,y=-3x+1等）设计意图：回顾一次函数概念。开放性地先让学生写几个简单的一次函数解析式，既帮助学生回顾一次函数的概念，也为后续研究函数性质提供具体案例。问题2：前面，我们还学习了正比例函数，能说说正比例函数y=kx的性质吗？是怎样获得这些性质的？问题3：针对函数y=kx+b，大家想研究什么？应该怎样研究？设计意图：通过回顾和比较正比例函数的性质及其研究过程，引导学生自然合理地提出一次函数的研究任务、研究方法。 2.合作交流，探究性质布置任务：画刚才举例的一次函数y=2x-3的图象（如图1）。学生画图前教师记性性提问：画函数步骤是怎样的？问题1：画出的图象是什么？（一条直线）问题2：为什么说画出的图象是一条直线？我们知道，正比例函数的图象是一条直线，我们所画的图象与正比例函数有联系吗？图 2图 1问题3：先比较y=2x-3与y=2x的解析式，发现当x分别取-2，-1，0，1，2，时，一次函数y=2x-3的函数值都比正比例函数y=2x的函数值对应地小3（如图2），这个规律对自变量的任何取值都成立。这反映在图象上是什么规律？设计意图：让学生先按照正比例函数研究的方法用描点法画y=2x-3的图象，观察发现其图形可能是直线后，通过回顾正比例函数图象也是直线，让学生自然合理地想到需要与正比例函数y=2x图象进行比较，从表达式和图象两方面分析两个图象之间的关系（结合图形平移相关知识），再通过动画展示验证，从而确认函数y=2x-3的确是一条直线。教师引导学生把结论推广到一般：问题4：对于一般的一次函数y=kx+b，它与直线y=kx有什么关系？设计意图：引导学生在观察上面图象的基础上，把得到的结论从特殊推广到一般。问题5：既然一次函数的图象是一条直线，在几何中，直线是怎样确定的？由此，能得到画一次函数图象的简单方法吗？设计意图：结合“两人点确定一条直线”公理，引导学生自然合理地发现用“两点法”画一次函数图象。问题6：在正比例函数学习中，我们通过画k符号不同的若干具体函数图象，观察发现了函数增减性与系数k的符号的关系，在一次函数中我们能否也这么办？试一试！设计意图：类比正比例函数图象性质的研究，引导学生提出一次函数性质的研究内容（增减性与系数k的符号的关系）和研究方法（画不同的具体函数图象，观察图象，归纳性质）。布置任务：用简便方法在同一坐标系中分别画下列一次函数的图象，并思考k的符号对函数y=kx+b的图象性质有什么影响：（1）y=x+1；（2）y=3x+1；(3)y=-x+1；(4)y=-3x+1.问题7：结合上面函数图象的观察，能用自己的语言说出一次函数y=kx+b的函数值怎样随着自变量x的变化而变化吗？在学生得到结论后，教师用动画展示这种变化规律（k0且固定时，让x变化，看y怎样变化；k0且固定时，让x变化，看y怎样变化。在此基础上，通过让k的值从正变到负，看增减性的变化，再变化b的值，发现函数的增减性不变，从而从直观上验证一次函数的增减性只与系数k符号的正负有关（图3、图4）。设计意图：本阶段学习中，先让学生用两点法画四个具有典型性的具体函数图象，再通过观察、比较、归纳，概括出一次函数的性质。为了让学生更深刻地理解函数增减性与系数k的关系，采用“几何画板”制作动画，让学生通过动态的视觉感知和语言表征，进一步理解系数k对一次函数y=kx+b的增减性的影响。图 3图 43.初步应用，巩固知识（1）直线y=2x-3与x轴交点坐标为 ；与y轴交点坐标为 ；图象经过 象限，y随x的增大而 。（2）在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，每小题中三个函数的图象有什么关系？ y=x-1， y=x， y=x+1； y=-2x-1，y=-2x，y=-2x+1；在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并指出它们的共同之处；y=x+1, y=x+1, y=2x+1, y=-x+14.综合应用，深化理解 利用一次函数性质比较下列各数的大小：（1）34+6 35+6；（2）-2010（-1）-3 -2010（-2）-3设计意图：这两个问题中，需要先把具体的数抽象为变量的值，用一次函数的性质解决问题，这需要较高的抽象要拖能力。5.回顾总结，分享收获参照下面问题，教师引导学生回顾本节课所学的主要内容，通过相互交流（1）一次函数y=kx+b的图象是什么？怎样用简便方法画一次函数的图象？（2）一次函数有哪些性质？一次函数与正比例函数有什么关系？（3）我们是怎样对一次函数的性质进行研究的？（4）一次函数研究过程中，你感受最深的是什么？师生互动：与正比例函数一样，我们通过“画图象，看图象，想性质”的步骤成功地发现了一次函数的性质，在性质探究过程中，“以图表示数，以数解释形”的思想得到成功运用，这种函数性质的探究步骤和数形结合的思想在今后其他函数的学习中仍然很有用。设计意图：让学生在回顾课堂经历的基础上，从知识、方法等角度总结自己的收获，并通过交流互相分享、互相启发。教师通过概括性引导，提升学生对一次函数性质的认识。6.目标检测设计（1）一次函数y=x+4的图象是由正比例函数 向 平移 个单位得到的一条直线。（2）画出函数y=2x-3的图象，并填空：直线y=2x-3与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 。（3）若函数y=kx+2中，y随着自变量x的增大而增大，那么该函数的图象一定不经过第 象限。（4）画出下列函数图象，说出这些图象之间的关系，分别指出当x增大时，y怎样变化。 y=3x-1； y=3x+1；y=3x-4。（5）若k0，用一次函数的性质比较-3k-6和-5k-6的大小。设计意图：检测题（1）用于评价学生对一次函数与正比例函数图象关系的