数列知识点归纳及例题分析

数列知识点归纳及例题分析 数列知识点归纳及例题分析 一、数列的概念1.归纳通项公式注重经验的积累例1.归纳下列数列的通项公式 (1)0，-3,8，-15,24，. (2)21,211,2111,21111,. (3),.179,107,1,232.na与nS的关系?=?)2(,)1(,11n S Sn aan nn注意?强调2,1=n n分开，注意下标；?na与nS之间的互化（求通项）例2已知数列na的前n项和?+=2,11,32n nnS n，求na.3.数列的函数性质 （1）单调性的判定与证明?定义法；?函数单调性法 （2）最大（小）项问题?单调性法；?图像法 （3）数列的周期性（注意与函数周期性的联系）例3已知数列na满足?）kn k na a G+?=（*,0n kN n k）例题例4（等差数列的判定或证明）已知数列a n中，a135，an21a n1(n2，nN*)，数列bn满足b n1a n1(nN*) (1)求证数列b n是等差数列； (2)求数列a n中的最大项和最小项，并说明理由 (1)证明a n21a n1(n2，nN*)，bn1a n1.n2时，b nb n11a n11a n11重要性质 1、等和性s r n ma a a a+=+（s r n mN s rn m+=+,*） 2、（第二通项公式）()n ma a nm d=+?及m na adm n?= 3、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。 如14710,a a a a?（下标成等差数列） 4、n n n n ns s s ss232,?成等差数列 5、nS n是等差数列 1、等积性s rnma a a a?=?（srnmN srnm+=+,*） 2、（第二通项公式）n mnma aq?=?及mnm naaq=? 3、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。 如14710,a a a a?（下标成等差数列） 4、n n n n ns ssss232,?成等比数列。 （仅当公比1q=?且n为偶数时，不成立）等价条件1.定义a na n1d(n2)na?是等差数列2.等差中项2a n1a na n2na?是等差数列3.通项公式p kn a n+=（p k,为常数）na?是等差数列4.前n项和Bn An S n+=2（B A,为常数）na?是等差数列1.定义qaann=?1(n2)na?是等比数列2.等比中项22221+=n n na a a)0(nana?是等比数列3.通项公式nnq ca?=（0,q c且为常数）na?是等比数列4.前n项和k q k Snn?=（0,qk且为常数）na?是非常数列的等比数列联系真数等比，对数等差；指数等差，幂值等比。 1?21a n111a n11a n1a n111a n111.数列b n是以52为首项，1为公差的等差数列 (2)解由 (1)知，b nn72，则a n11b n122n7，设函数f(x)122x7，易知f(x)在区间?，72和?72，内为减函数当n3时，a n取得最小值1；当n4时，a n取得最大值3.例5（等差数列的基本量的计算）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列a n的前n项和为S n，满足S5S6150. (1)若S55，求S6及a1 (2)求d的取值范围解 (1)由题意知S615S53，a6S6S58.所以?5a110d5，a15d8.解得a17，所以S63，a17. (2)方法一S5S6150，(5a110d)(6a115d)150，即2a219da110d210.因为关于a1的一元二次方程有解，所以81d28(10d21)d280，解得d22或d22.方法二S5S6150，(5a110d)(6a115d)150，9da110d210.故(4a19d)2d28.所以d28.故d的取值范围为d22或d22.例6（前n项和及综合应用） (1)在等差数列a n中，已知a120，前n项和为S n，且S10S15，求当n取何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值； (2)已知数列a n的通项公式是a n4n25，求数列|a n|的前n项和解方法一a120，S10S15，10201092d152015142d，d53.a n20(n1)?5353n653.a130，即当n12时，a n0，n14时，a n0，当n12或13时，S n取得最大值，且最大值为S13S12122012112?53130.方法二同方法一求得d53.S n20nn?n1?2?5356n21256n56?n2522312524.nN*，当n12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130. (2)a n4n25，a n14(n1)25，a n1a n4d，又a1412521.所以数列a n是以21为首项，以4为公差的递增的等差数列令?a n4n250，a n14?n1?250，由得n乙甲，所以该人应该选择甲公司.等比数列模型例从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据计划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年度减少51，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加41。 （1）设n年内（本年度为第一年）总投入为na万元，旅游业总收入为nb万元，写出na、nb的表达式； （2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？（精确到整数）参考解答 （1）12511800511800511800800?+?+?+=nna?=?+?+=?nn5414000545454180012?12411400411400411400400?+?+?+=nnb?=?+?+=?1451600545454140012nn? （2）解不等式n nab，得5n，至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入. 六、xx年高考题 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.(xx年新课标)记nS为等差数列na的前n项和若4524aa+=，648S=，则na的公差为（）1.A2.B4.C8.D2.(xx年新课标卷理)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）1.A盏3.B盏5.C盏9.D盏3.(xx年新课标卷理)等差数列na的首项为1，公差不为0若632,aaa成等比数列，则na前6项的和为（）24.?A3.?B3.C8.D4.(xx年浙江卷)已知等差数列na的公差为d，前n项和为nS，则“0d”是“5642SSS+”的（）.A充分不必要条件.B必要不充分条件.C充分必要条件.D既不充分也不必要条件5.(xx年新课标)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案已知数列,16,8,4,2,1,8,4,2,1,4,2,1,2,1,1其中第一项是02，接下来的两项是102,2，再接下来的三项是2102,2,2，依此类推.求满足如下条件的最小整数100:N N且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（）440.A330.B220.C110.D 二、填空题（将正确的答案填在题中横线上）6.(xx年北京卷理)若等差数列na和等比数列nb满足8,14411=?=b ab a，22ab=_.7.(xx年江苏卷)等比数列na的各项均为实数，其前n项和为nS，已知3676344SS=,，则8a=_8.(xx年新课标卷理)等差数列na的前n项和为nS，33a=，410S=，则11nkkS=?9.(xx年新课标卷理)设等比数列na满足3,13121?=?=+aaaa，则=4a_ 三、解答题（应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）10.(xx年新课标文)已知等差数列na前n项和为nS，等比数列nb前n项和为.2,1,1,2211=+=?=b ab aT n （1）若533=+b a，求nb的通项公式； （2）若213=T，求3S.11.(xx年新课标文)记nS为等比数列na的前n项和，已知.6,232?=SS （1）求na的通项公式； （2）求nS，并判断21,+nnnS SS是否成等差数列。 12.(xx年全国卷文)设数列na满足()123+212naanan+?= （1）求数列na的通项公式； （2）求数列21nan?+?的前n项和；13.(xx年天津卷文)已知na为等差数列，前n项和为*()nS nN，nb是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b aaS b+=?= （1）求na和nb的通项公式； （2）求数列2n nab的前n项和*()nN14.(xx年山东卷文)已知na是各项均为正数的等比数列,且121236,aaaaa+=. （1）求数列na的通项公式； （2）nb为各项非零等差数列,前n项和nS,已知211nnnS bb+=,求数列nnba?前n项和nT15.(xx年天津卷理)已知na为等差数列，前n项和为()nS n?N，nb是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312bb+=,3412b aa=?，11411Sb=. （1）求na和nb的通项公式； （2）求数列221nnab?的前n项和()n?N.16.(xx年北京卷理)设na和nb是两个等差数列，记1122max,nnnc banbanban=?(1,2,3,)n=?，其中12max,sx x x?表示12,sx x x?这s个数中最大的数 （1）若nan=，21nb n=?，求123,c 的值，并证明nc是等差数列； （2）证明或者对任意正数M，存在正整数m，当nm时，ncMn；或者存在正整数m，使得12,mmmc +?是等差数列17.(xx年江苏卷)对于给定的正整数k，若数列na满足1111nknknnnkn kaaaaaa?+?+?+?2nka=对任意正整数()nnk总成立，则称数列na是“()P k数列” （1）证明等差数列na是“ (3)P数列”； （2）若数列na既是“ (2)P数列”，又是“ (3)P数列”，证明na是等差数列18.（本小题满分12分）已知nx是各项均为正数的等比数列，且.2,32321=?=+x xxx（）