十讲归纳与猜想知识分享

十讲归纳与猜想知识分享 第十讲归纳与猜想在解决数学问题时，往往从特殊探求一般；或者从现有的条件、结论，通归过观察、类比、联想，进而猜想我们的知识和结论。 这种思考方法就是归纳与猜想。 归纳和猜想是学习数学、解决数学问题的行之有效的方法之一。 它能使复若杂的问题简单化，抽象的问题具体化，从特殊问题中总结出一般规律。 我们若猜对一些我们不熟悉的甚至无从下手的数学问题进行有目的观察试验、归纳、猜想常能得到一些有益的启发，为解决数学问题提供一定的方向和依据。 例例159121621253236分数分子91625361+22+23+24+2分母5122132与序号的关系(1+2)24(2+2)24(3+2)24(4+2)24(n+2)2(n+2)24第第n个数是4)2()2(22?nn序号1234n在一列数下标出各数的序号若一列数中的各个数字都可以划分出若干部分，则可一个部分一个部分地逐一进行观察、归纳要注意观察，分解出一列数中不随序号改变的数和运算！若一列数的大小由前向后变化“速度”较快，则这列数的形成常常与乘方运算有关关 一、如何归纳在一列数之中存在的规律观察与序号的关系()2()2()2()2要注意观察各部分之间的关系系探索一列数中存在的规律之方法一观察数与它所在序号之间的关系例例2有一组数1，2，5，10，17，26，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为1+126+112+35+510+717+937+1350探索一列数中存在的规律之方法二观察相邻的项或前几项，找出由前一项（或前几项）表示后一项的规律这样只要知道第一项（或前几项），就可以逐一将随后的项表示出来序号数与前一个数的关系1234567812510172637提高训练2（xx年湖北十堰中考题）观察下面两行数2，4，8，16，32，64，5，7，11，19，35，67，根据你发现的规律，取每行数的第10个数，求得它们的和是第行的第10个数是210=1024第行的第10个数是1024+3=1027它们的和是1024+1027=2051 三、如何归纳数表之中存在的规律例例41观察每行（或每列）的第一（或最后）个数字与它所在的行数（或列数）之间的数量关系2观察每行（或每列）的数字与它周围（上、下、左、右）数字间的数量关系151xx01xx16130160130161609013601721从第2行开始，两个相邻数的和等于上一行正对这两个数中间的那个数或者说，从第第1行开始，每个数减去它下一行与它相近的偏左的数等于下行偏右的数例如3016035xx21?第第10行1011019181第第9行第第8行雨露招生试题在小时候，我们就用手指练习过数数，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到xx时对应的指头是（）A大拇指B食指C中指D无名指这里，实际上也是给了一个简单的数表，如下123459876101112131716151418192021观察每行（或每列）数字的个数除第1行外（以下同），每行4个数观察数字的排列方式和特征奇数行由小到大，第1个数是偶数偶数行由大到小，第1个数是奇数观察每行（或每列）的第一（或最后）个数字与它所在的行数（或列数）之间的数量关系从第2行开始，偶数行第1列各行第1个数字是5+4(n1)n是行数从第1行开始，奇数行第5列各行第1个数字是5+4(n1)n是行数xx是奇数，xx5=4501所以xx恰好在第502行第1列30005=4748余32997在749行第5列3000在750行第2列或或3001在750行第1列，3000在该行第2列第第1个第第2个第第4个第第3个若将图形补成大正方形， 四、如何归纳图形之中存在的规律例例5因为第n个图形都比它第n1个图形多出n个“”和1个“”,即多2n+2根火柴棒第1个第第2个第第4个第第3个方法 一、从相邻图形的变化找规律所以第8个图形有火柴棒4+（22+2）+（23+2）+（28+2）=88（根火柴棒）方法 二、从图形的整体变化找规律则第n个大正方形有火柴棒2n(n+1)根棒若以大正方形的对角线将它一分为二，则大正方形的一半有火柴棒n(n+1)根因原来第n个图形火柴棒比n(n+1)根多2n根，有n2+3n根,所以第8个图形有82+38=88根火柴棒方法 三、从图形的数量指标找规律第1个第第2个第第4个第第3个火柴棒数目4101828试验12=122=432=942=16差差36912差恰好都是是3的倍数数所以第n个图形有火柴棒n2+3n（根）第第8个图形有火柴棒有64+24=88（根）将“图列”转化为数列由于从左到右数目增加较快，所以第n个图形的火柴棒数可能与n2有关例例6一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分？画一画，试一试！通过画图不但要得出结果，更重要的是从中总结出一般的规律画出第一个长方形，显然它把平面分成两部分第第2个长方形有四条边，每条边都可以挂一下原长方形的每个角，这样就产生最多的8个交点，这8个交点自然把第2个个长方形分成8段（有直的、有弯的），每段把原先的部分又多分出一个部分，新增8个，所以2+8=10（个部分），第第3个长方形的每条边现在可以挂到原有2个长方形的8个角，最多可产生16个交点，同理这16个交点把第三个长方形本身分成16段，每段穿过一个部分，又新增加16个部分，共共2+8+16=26（个部分）。 第第4个长方形的每条边现在可以挂到原有3个长方形的12个角，最多可产生24个交点，同理这24个交点把第四个长方形本身分成24段，每段穿过一个部分，又新增加24个部分，共2+8+16+24=50（个部分）。 在解决类似于“一个图形，二个图形，n个图形”这样的问题时，常常需要从第一个图形开始，逐次增加。 图形个数，观察其中的变化，总结、归纳出变化中的规律。 第二个长方形怎样画使得到的部分最多？基础训练1302（ （1）3， （2）7 （3）11 （4）11，6311，2n1.4（ （1）18，22； （2）4n+25A提高训练1B2解法1从图形变化看后图比前图都多3个，所以第20图比第1图多3（201)=57个共57+3=60个解法2从整体变化看每图实际是三角形，每条边上星数比序号多1，所以第20个图形有星3（20+1）-3=603把满足只有两个面涂色的立方体如图41+0042+4143+42归纳4n+4(n1)=8n4提高训练4树枝数1381838观察图形找规律（观察相邻两图形间的关系）从第 （3）图开始每个图都是中间2个树枝，左右两边的树枝都等于前一个图形中的树枝，即如果第n个图有m个树枝，那么第n+1个图就有（2+2m）个树枝所以第4个图树枝有2+28=18个，第5个图树枝有2+218=38个第第6个图树枝有2+238=78，第7个图有树枝2+278=158个提高训练5首先熟悉表中的规律10a211234246836912481216第一行是连续的自然数第第2行=2第第1行，第3行=3第第1行，若若10在第1行，则a下的数应为113，不可能若若10在第2行，则a下的数应为64=24，不可能然后看数字10在第几行因因10不能被 3、4整除，所以它不在第 3、4行若若10在第5行，则a下的数应为37=21，这时a=18若若10在第10行，则a下的数应为212=24,不可能所以正确答案为为a=18成就测试1n+32每每8个数字占2行，前48个数字占12行，所以47应在第12行，第2列第一列第二列第三列第四列第五列第一行2468第二行16141210第三行18202224第四行323028263 （1）13， （2）每一个图案都比上一个多3个白色方格，第n个图案应比第一个图案多3(n1)个白