laplace变换在反常积分中的应用(第三稿5.31).doc

Laplace变换在反常积分中的应用 2006数学与应用数学 龚涛毕业论文 题 目: Laplace变换在反常积分中的应用 学 院: 数学与计算机学院 年级专业: 2006级数学与应用数学 学 生: 龚 涛 学 号: 200609040124 指导教师: 李顺初 郭丽洁 完成时间: 2010年4月26日 Laplace变换在反常积分中的应用数学与应用数学 龚 涛 指 导 教 师 李顺初 郭丽洁 【摘要】：本文介绍了Laplace变换的概念及性质，在这基础上，研究了利用Laplace变换求解反常积分的方法，并对其方法作了理论证明，最后列举实例.其求解反常积分的方法是：将含参变量的反常积分进行Laplace变换，再取Laplace逆变换；对于含实变量的反常积分，可以引入一参变量，求解完备后令其取相应值即可.最后总结了Laplace变换在求解反常积分中的地位和作用，并对其在未来科学中的应用作了展望.【关键词】:Laplace变换；Laplace逆变换；反常积分；含实变量的反常积分；含参变量的反常积分【Abstract】：The paper introduces the Laplace transform concept and nature, in this study, based on solving Laplace transform using improper integral method, and the method of theoretical proof, finally examples. The solution of the abnormal integral method is: will contain parameter improper integral Laplace transform on the Laplace transform, take again, To contain the real variable improper integral depending on a parameter, can introduce a complete solution, the corresponding value after taking. Laplace transform in last summarizes the status and function of mathematics, and its application in future science is prospected.【Key words】：Laplace transform, Laplace transform, Improper integrals, The real variables with abnormal integral, Contain the abnormal integral depending on a parameter目 录1引言42预备知识42.1Laplace变换的概念及性质42.1.1概念42.1.2存在定理52.1.3Laplace变换的性质52.2常用函数Laplace变换83Laplace变换求解反常积分的方法84Laplace变换求解反常积分的方法的理论依据及证明104.1引理及证明104.2中心定理及证明125Laplace变换求解反常积分实例135.1含参变量积分135.2泊松积分145.3计算积分155.4计算积分176总揽与结束语196.1Laplace变换在数学中的作用与展望196.2结束语207参考文献201 引言Laplace变换理论（亦称为算子微积分或运算微积分）是在19世纪末发展起来的.首先是英国工程师赫微赛德（O.Heaviside）发明了用运算法解决当时的电工计算中出现的一些问题，但是缺乏严密的数学论证.后来由法国数学家拉普拉斯（P.S.Laplace）给出严密的数学定义，称之为Laplace变换（简称拉式变换）方法.它与在此之前的傅里叶变换相比，放宽了对函数的要求，使工程实际问题中，许多含有以时间作为自变量的函数的问题得到解决.近几年来，Laplace 变换的重要性与日俱增，且为工程师、物理学家、数学家及其他各类科学家所必须具有的数学基础中的不可缺少的部分.这不但是因为Laplace变换在理论上的趣味性，更因为有许多科学及工程上的问题，均可用Laplace变换解答.在工程学上，Laplace变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；如在非稳态性导热中，线性系统，控制自动化上都有广泛的应用. 本文在介绍了Laplace变换的概念与性质的基础上，着重介绍Laplace变换求解反常积分的方法，并对求解方法给予了严格的理论证明，然后给出大量实例.最后总结了Laplace变换在求解反常积分中的地位和作用，并对其在未来科学中的应用作了展望.2 预备知识2.1 Laplace变换的概念及性质2.1.1 概念 如果有这样一个函数满足：1) 当时有定义；2) 积分在的某一领域内收敛；（是一复变量）3) 是一运算符号并作用于：，表示对函数的Laplace变换；4) 令函数； 由此积分所确定的函数，称为的Laplace变换；是的象函数，是的原函数. 另外，如果是的Laplace变换，那么为的Laplace逆变换（或的原函数），记为：. 2.1.2 存在定理若在上的任一有限区间上分段连续，并且当时，增加的速度不超过某一指数函数，则Laplace变换一定存在.也即： 若满足：1) 在上的任一有限区间上分段连续；2) ；则Laplace变换在上一定存在：.2.1.3 Laplace变换的性质1) 线性性 对，有 证明：左边= = = =右边2) 微分性 若，有上式中是函数在时的值，称为初值.证明：左边= = = = = =右边同理，对的各阶导数的Laplace变换是 式中表示原函数的各阶导数在时的值.如果函数的各阶导数都为0，且.那么的各阶导数的Laplace变换为3) 积分定理 若，有证明：不妨设，则，；那么由微分性质得 于是得=即对于多重积分有4) 位移性 若，有 证明：左边= = =右边2.2 常用函数Laplace变换常用函数Laplace变换表序号 原函数象函数123456789103 Laplace变换求解反常积分的方法我们可以把含参变量反常积分，视为参变量的函数，先对其取Laplace变换，这时便出现了累次积分（因为Laplace变换本来就是一个积分变换），此时交换积分次序（交换Laplace变换与积分的次序）求得其Laplace变换的象函数；再通过Laplace逆变换，得到其象函数的原函数，即含参变量反常积分的解.若是含实变量反常积分则人为的加上一个参变量即可转换为含参变量的反常积分，在最后令其参变量为需要的值，即可得出原反常积分的解. 如果设某含参变量反常积分收敛，这时把此积分视为的函数，令，如果满足Laplace变换存在定理，取的Laplace变换，交换积分，求出，再取的Laplace逆变换.，即原积分的解.如图：Lapalce变换求解反常积分方法图解Laplace变换;Laplace逆变换：原函数：4 Laplace变换求解反常积分的方法的理论依据及证明在3节中对于积分次序的交换是否对最后的解存在影响呢？我们只是发现了这种可行的方法，但并没有理论上的支持，接下来，我们通过3条引理，最终得出定理：如果函数上一致收敛且有界，则有等式成立.4.1 引理及证明引理1 设上连续，关于在上一致收敛，那么. 该引理的证明见参考文献4 引理2 设上连续，关于在上一致收敛，那么，且有等式成立.证明 因为关于在上一致收敛，由引理1可知关于在上连续，所以有 对任意，由于在区域上连续，所以于是 由公式与可得 证毕. 引理3 设在区域上连续，两积分和关于的任意有界区间上一致收敛，并且至少一个存在，那么就有 证明 不妨设存在，从而也存在，由于关于在任意有界区间上一致收敛，所以关于在区间上连续.又对任意的，有，可得 由引理2可知，对任意，有于是可得 由与可得 证毕.4.2 中心定理及证明 定理 如果函数上一致收敛且有界，则有等式成立：证明 因为，其中是一个复变量，又因关于在上一致收敛，因此，于是，又因为函数关于在上有界，即存在，对任意0有,由于，显然，也即，由引理3可得 证毕. 根据上述定理，我们便可以方便的求出的象函数，此时，进而再取Laplace逆变换得到原函数，这时便是要求的积分解.5 Laplace变换求解反常积分实例根据上述定理，我们对几个反常积分进行求解，领略一下Laplace变换在求解一些不能用初等积分法求解的积分的妙处.无参变量的反常积分，引入一参变量，这样一为把反常积分看作是以为自变量的函数，对此函数进行演算.5.1 含参变量积分例1、解析：此积分本身含有参变量，不用人为加了参变量. 令，取Laplace变换、交换积分并计算 再取其Laplace逆变换，得所以原积分的解为5.2 泊松积分例2、求解泊松积分.解析：此积分用一般的方法需要很高的技巧，得用函数进行配凑.如果没学过函数则是求不出来的.而用Laplace变换进行求解，思路清晰明了，方法具有通用性，容易让读者掌握，为了更为明了，些例题分了六个步骤.1) 引进参变量： 2) 取Laplace变换： 3) 交换积分次序：4) 计算： 5) 取Laplace逆变换 ，6) 令参变量取相应值.这里，引入的参变量取1时，为原来的函数，所以令，有最终的解泊松积分=.5.3 计算积分例3、计算积分解析：对于被积函数的分子，先用三角函数的积化各差公式化为和的形式，再引进新变量，使得到可以在“常用Laplace变换表”查询的函数.因为所以令设，则有先对取Laplace变换进行计算得再取Laplace逆变换所以有对取Laplace变换进行计算及Laplace逆变换，同理对的计算，可得Laplace逆变换得所以有总之，原积分得5.4 计算积分例4、计算积分解析：此例无参变量，需引入一参变量，并令对取Laplace变换并交换积分次序计算得再取Laplace逆变换得所以原积分得6 总揽与结束语6.1 Laplace变换在数学中的作用与展望积分变换是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换，达到简化运算的结果，Laplace变换是其中的一种.Laplace变换不论是在广义积分的计算中，还是在微分、积分、偏微分方程的求解中，都发挥着重要的作用，能达到高等代数中的知识所不能取代的作用.Laplace变换作为一种数学工具，在物理、化学、电学、自动控制等线性系统的计算和分析中起到了不可估量的作用.我们知道Fourier变换是求解微分方程的有效手段之一，但是它有许多不足之处.首先，Fourier变换要求被变换的函数在上有定义，这使得许多含有时间变量的函数不能使用.其次，能够进行Fourier变换的函数要求在绝对可积，此条件实际上很苛刻，使许多常见的函数（如多项式函数，三角函数等）都不能进行Fourier变换.而此处所研究的Laplace变换则放宽了其要求，使其能够适合更多的函数，解决更多的问题.由Laplace变换的定义及其性质可以知道，Laplace变换可用于求解（含初值条件的）（偏）微分方程（组），求积分方程，计算广义积分.能对高次的微分方程进行降阶，多元的微分方程组进行消元，从而将繁琐的计算简单化，将抽象问题具体化.Laplace变换作为一种数学工具，随着科学技术的发展和人们研究的深入，它将被运用于科学研究中涉及线性系统和数理方程的各个领域.在现阶段一维Laplace变换得到了极大的应用，而在以后的研究中，多维的Laplace变换的研究和应用有待拓广.Laplace变换在讨论一类非线性种群发展系统发挥作用，运用多维Laplace变换可研究物理、化学、电学、自动控制等线性系统的平稳过程，利用Laplace变换还可以进行一些数值计算方法的研究.6.2 结束语本文主要是为了找出求解积分的通用方法，当然对于那些用一般方法不易求出，甚至求不出的积分而言，这通用的方法便是最好的方法.这种方法就是利用Laplace变换及Laplace逆变换求解积分的方法，在对Laplace变换的概念、性质定理、常用函数Laplace变换的基础上，对其求解方法作出了通俗易懂介绍，并附以求解的结构图，给出理论依据“中心定理”，接下来通过3条引理，一步一步的严格推导，得出“中心定理”，在理论的基础上，我们对举了两个实例，并对第一个实例的Laplace变换解法与一般的解法作了对比.说明了Laplace变换解法具有通用性，易于读者掌握并应用.论文写到这里，才真正感受到，毕业论文的确是一项检验大学四年学习的重要手段.在一开始刚拿到题目时，连Laplace变换是什么都不知道，通过泡图书馆，近半个月过去了，才有点点眉目这论文应该怎么动笔.原来Laplace变换有那么多的用途，可算是在科学的各个领域都有应用，可我却是第一次知道.后来因为找工作的原因没了及时动笔，但心里时常挂念着论文应该怎么写，过了一段时间，似乎在心里酝酿一样，脑子里有些东西了，那天负责指导我的师姐打电话说要在五一前交初稿，于是加班加点的开始写，可真到写的时候，真的难题才开始到来，很多东西在心里想到了，却到了写时就有很多很多的细节需要再次去查资料，翻阅书籍，就像修楼一样，只要下面