求解解析几何中参数范围的一种基本思路

求解解析几何中参数范围的一种基本思路 求解解析几何中参数范围的一种基本思路黄石三中郝海滨在解析几何教学中，求解参数范围或与参数有关的题目是一类既富有思考情趣，又融众多知识和技巧于一体且综合性强、灵活性高、难度颇大的挑战性问题，许多学生面对这些题目往往感到心中无数，甚至有些不知所措，有的学生还由此产生恐惧情绪，造成解题的心理障碍。 笔者从教学实践中感到，要克服学生的心理障碍，必须着力向学生讲清楚解决此类问题的基本的思考途径。 事实上，我们知道，学代数时，求解一个参数的范围，往往是通过建立关于这个参数的不等式或不等式组来解决，那么，解析几何中，是否也同样适用呢？本文以实例充分揭示活跃在解析几何中的参数范围的求解思路通过建立不等式（组）来求解。 一.利用题设中已有的不等关系建立不等式若题设中已有关于一个参数的不等关系，则只要考虑能否找到所求参数和已知参数之间的关系，从而把关于已知参数的不等关系转化为关于所求参数的不等关系即可。 例1.（2000年理科高考题）如图1，已知梯形ABCD中AB?2CD,点E分有向线段AC所成的比为?，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点。 当23?时，求双曲线离心率e的范围。 34c x2y2（略解）如图1，建立直角坐标系，设双曲线方程为2?2?1，C(,h)，由定比分点公式得2a b(?2)c?hYE(,)，由C、E在双曲线上，2(?1)1?D?c2h2E?2?2?123h b?4a?1?有?消去，可得A OB X222222e?2b?(?2)c?h?122?(?1)b2?4a(?1)23323代入?，可得1?2?e?7,10334e?24C?二.根据圆锥曲线自身范围建立不等式对于椭圆、双曲线它们的自身都包含了一些不等关系。 如椭圆的长轴长大于短轴长，也大于焦距长，双曲线的实轴、虚轴长小于焦距长；它们的离心率都有一定的范围；对于椭圆、抛物线，当点位于其内部或外部时，都满足一定的不等关系。 另外，圆锥曲线上的点的横坐标或纵坐标是有界的，因而也可以根据它的有界性建立不等关系。 x2?y2?1的右焦点F，右准线l，直线y?kx?3通过以F、l为对应焦点和例2.已知双曲线3准线的椭圆的中心，求k的取值范围。 3x2?y2?1的焦点F（2，0）解双曲线，准线l:x?，设P(x,y)为椭圆上任意一点，由定义23(x?2)2?y2得?e,(0?e?1)，3x?2924?3e2化简得(1?e)x?y?(4?3e)x?e?4?0，可得椭圆中心为O?(,0)，由直线242(1?e)22224k?64?3e22e?y?kx?3过椭圆的中心，有k?，求出，而0?e?1，?3?023k?62(1?e)4k?63?1，从而求出k的范围为?k?00?3k?62三.利用判别式建立不等式若题设中给出直线（或曲线）与曲线有公共点或无公共点时，可以把直线方程（或曲线方程）与曲线方程联立起来，消去某一数，得到所含另一个数的一元二次方程，就能利用判别式建立起所含参数的不等式。 例3.（96年高考理科24题）已知l 1、l2是过点P(?2,0)的两条互相垂直的直线，且l 1、l2与双曲线y2?x2?1各有两个交点，分别为A 1、B1和A 2、B2。 求直线l1的斜率k1的取值范围。 解依题设l 1、l2的斜率都存在，把l1:y?k1(x?2)代入y2?x2?1得(k1?1)x2?22k1x?2k1?1?0k1?1?0且?4(3k1?1)?022222?y?k2(x?2),(k2?0)222同理?得(k2?1)x2?22k2x?2k2?1?022?y?x?1k2?1?0且?4(3k2?1)?0又l1?l2k1?k2?122?3k12?1?0?2?3?k1?3?3k?1?0由得?2解得?3?k?1?k1?k2?1?1?k?1?1k1?(?3,?1)?(?1,?33)?(,1)?(1,3)33四.利用区间根原理建立不等式（组）当直线方程（或曲线方程）与曲线方程联立，通过消去一个数，得到所含另一个数的一元二次方程，而这个数有条件限制时，必须用区间根原理来建立所求参数的不等式组。 例4.已知点A（0，2），B（4，0），抛物线C的方程为y?x2?mx?1，若抛物线C与线段AB相交于两个不同的点。 求m的取值范围。 12x?2（0x4），代入y?x?mx?12得2x2?(2m?1)x?2?0解线段AB:y?设f(x)?2x2?(2m?1)x?2（0x4），则方程2x2?(2m?1)x?2?0在区间?0,4?上有两个不等的实根，由区间根原理得?(2m?1)2?16?02m?131504解得?m424f (0)?20f (4)?32?4(2m?)?20五.利用代数基本不等式或者利用几何不等关系建立不等式例5.如图F为抛物线y?4ax,(a?0)的交点，M点的坐标为(2a,0)，若A、B、C、D四点都在该抛物线上，且A、M、C，B、M、D，A、F、B分别共线。 求直线AB与CD夹角?的取值范围。 解 （1）当AB垂直于x轴时，显然CD也垂直于x轴，则?0。 （2）当AB不垂直于x轴时，设A(at1,2at1)B(2t2,2at2)由A、B、F三点共线，得K AF222?K BF即OyCBF2at1at1?a2?2at2at2?a2?t1t2?12又设C点的坐标为(at3,2at3)，由A、M、C三点共线，得AMDx2at1at1?2a2?2at3at3?2a22?t2t3?22由得t3?2t2，C点坐标为(4at2,4at2)同理，D点坐标为(4at1,4at1)KAB?2at1?2at2at1?at222?21，同理K CD?t1?t2t1?t221?t?t2t1?t21tg?1?221?t?t?12(t1?t2)2t1?t2t1?t2与222同号t1?t2?22?t1?t2?t1?t2t1?t2t1?t2?2?2tg?故?0,arctg?4?422?x y例6.已知双曲线?1,(a?0,b?0)的左右两个焦点分别为F 1、F2，P为双曲线左支上一点，a b1它到左准线的距离为d，且使d、PF 1、PF2成等比数列，求离心率e的取值范围。 ?PF2PF1?e?2a2aed解由双曲线的两个定义可得?PF1，PF2?PF1?e?1e?1?PF?PF?2