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探索二次函数综合题解题技巧类型一 线段数量关系的探究问题 例：（2015贵港）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴I为x=1 （1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标； （2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴I上 当PANA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；方法指导： 设点坐标：若所求点在x轴上可设（x,0），在y轴上可设（0，y）；若所求的点在抛物线上时，该点的坐标可以设为（x，ax2+bx+c)；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为（- ，y)；若所求的点在已知直线y=kx+b上时，该点的坐标可以设为（x，kx+b)，常用所设点坐标表示出相应几何图形的边长. 简单概括就是规则与不规则线段的表示：规则：横平竖直。横平就是右减左，竖直就是上减下，不能确定点的左右上下位置就加绝对值。不规则：两点间距离公式 根据已知条件列出满足线段数量关系的等式，进而求出未知数的值；类型二 图形面积数量关系及最值的探究问题 例：（2015贵港）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴I为x=1 （1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标； （2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴I上 当PANA，且PA=NA时，求此时点P的坐标； 当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标 1.三角形面积最值.分规则与不规则。有底或者高落在坐标轴上或者与坐标轴平行属于规则，直接用面积公式求解。没有底或者高落在坐标轴或平行于坐标轴属于不规则，用割补法。 2.四边形面积最值。常用到的方法是利用割补法将四边形分成两个三角形（常作平行于坐标轴的直线来分割四边形面积），其求法同三角形. 类型三 特殊三角形 的探究问题 例 (2016枣庄)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=-1,且经过A(1，0)，C(0,3)两点，与x轴的另一个交点为B. （1）若直线y=mx+n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式； （2）设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标. 1. 对于直角三角形的探究问题,解题时一般需做好以下几点: (1)利用坐标系中两点距离公式,得到所求三角形三边平方的代数式； (2)确定三角形中的直角顶点，若无法确定则分情况讨论； （3）根据勾股定理得到方程,然后解方程，若方程有解，此点存在；否则不存在； 2. 对于等腰三角形的探究问题，解题步骤如下: （1）假设结论成立； （2）设出点坐标，求边长.；（类型一方法指导） （3）当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下: 当定长为腰，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与已知直线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与已知直线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；当定长为底边时，作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与已知直线有交点，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与已知直线无交点，则满足条件的点不存在用以上方法即可找出所有符合条件的点； 型四 特殊四边形的探究问题例 如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2. （1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式； （2）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存 在点F，使A、C、F、G为顶点的四边形是平 行四边形？如果存在，请求出所有满足条件 的F点坐标；如果不存在，请说明理由. 2）【思维教练】由于A、C点已确定，F、G点不定，要使A、C、F、G为顶点的四边形为平行四边形.需要分AC为对角线或AC为平行四边形一边两种情况讨论,再利用平行四边形的性质求解. 特殊四边形的探究问题解题方法步骤如下: （1）先假设结论成立； （2）设出点坐标，求边长.（类型一方法指导）； （3）建立关系式，并计算.若四边形的四个顶点位置已确定，则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论: 例：（2014贵港）如图，抛物线y=ax2+bx3a（a0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），连接BC （1）求该抛物线的解析式和对称轴，并写出线段BC的中点坐标； （2）将线段BC先向左平移2个单位长度，在向下平移m个单位长度，使点C的对应点C1恰好落在该抛物线上，求此时点C1的坐标和m的值； （3）若点P是该抛物线上的动点，点Q是该抛物线对称轴上的动点，当以P，Q，B，C四点为顶点的四边形是平行四边形时，求此时点P的坐标 探究平行四边形：以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形的对边相等进行计算；以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算；若平行四边形的各顶点位置不确定，需分情况讨论，常以已知的一边作为一边或对角线分情况讨论. 探究菱形:已知三个定点去求未知点坐标；已知两个定点去求未知点坐标.一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等等性质列关系式. 探究正方形:利用正方形对角线互相平分且相等的性质进行计算， 一般是分别计算出两条对角线的长度，令其相等，得到方程再求解. 探究矩形:利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解 例1 如图，抛物线y=- x2+bx+c的图象过点A(4，0)， B(-4，-4)，且抛物线与y轴交于点C，连接AB，BC, AC. (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的点，求PBC周长的最小值及此时点P的坐标； (3)若E是线段AB上的一个动点(不与A、B重合)，过E作y轴的平行线，分别交抛物线及x轴于F、D两点. 请问是否存在这样的点E，使DE=2DF？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. 例2如图，已知抛物线y=- x2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0，8),B(8，0)和点E,动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C,D同时出发，当动点D到达原点O时，点C,D停止运动. (