第13章 虚位移原理及拉格朗日方程.doc

第13章 虚位移原理及拉格朗日方程在静力学中，通过几何矢量法建立了质点系的平衡方程，进而解决了物体间的平衡问题，虚位移原理主要是从力、位移和功的概念出发，运用数学分析的方法解决某些静力学问题。法国数学家拉格朗日将达朗贝尔原理和虚位移原理相结合，建立了解决动力学问题的动力学普遍方程。并且进一步导出了拉格朗日方程。13.1 主要内容 13.1.1 虚位移的基本概念1、约束和约束方程非自由质点系受到的预先给定的限制称为约束。用解析表达式表示的限制条件称为约束方程。2、约束的分类 在虚位移原理中，将约束分为4类：a、几何约束和运动约束，b. 定常约束和非定常约束，c. 完整约束和非完整约束，d. 双面约束和单面约束。约束方程的一般形式应为 i1,2,n， j1,2,s3、自由度 a、设某质点系由n个质点、s个完整约束组成。则自由度数k为k3ns若质点系为平面问题，则k2ns b、设某质点系由n个刚体、s个完整约束组成。则自由度数k为k6ns若为平面问题，则为k3ns4、广义坐标用来确定质点系位置的独立变参量称为广义坐标。在完整约束的质点系中，广义坐标的数目等于该系统的自由度数。此系统任一质点Mi的坐标可以表示为广义坐标的函数，即 i1,2,n这是用广义坐标qi表示的质点系各质点位置的表达式。 13.1.2 虚位移 虚功1、虚位移在给定的位置上，质点系为所有约束所容许的无限小位移，称为此质点或质点系的虚位移。 虚位移有三个特点：第一，虚位移是约束所容许的位移；第二，虚位移是无限小的位移；第三，虚位移是虚设的位移；虚位移用dri表示，以区别于实位移dri。这里的“d”是等时变分算子符号，简称变分符号。在虚位移原理中它的运算规则与微分算子“d”的运算规则相同。2、虚功作用于质点上的力在该质点的虚位移中所作的元功称为虚功，则虚功的表达式为3、理想约束在质点系的任何虚位移中，如果约束反力所作的虚功之和等于零，这种约束称为理想约束。则理想约束的条件可以表示为例如：光滑面约束；光滑铰链约束；对纯滚动刚体的固定面约束；无重钢杆(二力杆)约束；不可伸长的绳索约束。都是理想约束。 13.1.3 虚位移原理及应用1、虚位移原理：具有理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件是：所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。即虚位移原理的矢量表达式为在直角坐标系的投影表达式为以上各式也称为虚功方程。2、虚位移原理一般可用来分析以下两类平衡问题。a、已知质点系处于平衡状态，求主动力之间的关系或平衡位置。b、已知质点系处于平衡状态，求其内力或约束力。在此情况下，需要解除对应的约束，用相应的约束力代替，使待求的内力或约束力“转化”为主动力。从而使此系统获得相应的自由度，为使系统发生虚位移创造条件。13.1.3 用广义力表示质点系的平衡条件 具有完整、双面、定常的理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件是：对应于每一个广义坐标的广义力均等于零。FQh0 h1,2,k直角坐标系下的广义力表达式为用几何法表示为势力场中的广义力表示为 h1,2,k即广义有势力等于势能函数对相应的广义坐标的一阶偏导数再冠以负号。 13.1.5 动力学普遍方程及拉格朗日方程在具有理想约束的质点系中，在任一瞬时，作用于各质点上的主动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所作虚功之和等于零。这就是动力学普遍方程（也称为达朗贝尔拉格朗日方程）。写成直角坐标系上的投影式为在动力学普遍方程中不包含约束力。由此可知，将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立了动力学普遍方程，避免了理想约束力的出现，再将普遍方程变为广义坐标形式，进一步转变为能量形式，可导出第二类拉格朗日方程，以实现用最少数目的方程来描述动力系统，即 h=1,2,k这是一个方程组，方程的数目等于质点系的自由度数，称之为第二类拉格朗日方程，简称为拉格朗日方程。它揭示了系统动能的变化与广义力之间的关系。 若引入拉格朗日函数： 则称为保守系统的拉格朗日方程。它们是一个方程组，方程的数目等于该系统的自由度数（或广义坐标数）。13.2 基本要求 、对约束方程、理想约束和虚位移有清晰的概念。 、会利用几何法、虚速度法、变分法计算系统各点的虚位移关系，能正确地运用虚位移原理求解物系的平衡问题。 、对广义坐标、自由度、广义力和广义坐标形式的虚位移原理有初步的理解，并会计算广义力。理解动力学普通定理的基本概念。 、能正确运用动力学普遍方程求解动力学问题。、能正确运用拉格朗日方程求解动力学问题。13.3 重点讨论用虚位移原理求解质点系的平衡问题，其实质是利用动力学中功的概念，求解静力学问题，对于理想约束系统，其约束力不包括在虚功方程中，虚功方程中只包含质点系所受的主动力（包括解除约束按主动力处理的约束力）。所以能够容易地求解出平衡时所受主动力之间的关系，这是虚位移原理最大的优点。用虚位移原理解题，在一般问题中，虚功方程可比较容易的写出，而关键的问题是找出质点系中各力作用点相应的虚位移之间的关系。一般情况下，若系统发生虚位移时，有点的合成运动、刚体的平面运动，则运用虚速度法求解(例13-1、例13-2)。若系统发生虚位移以后，几何关系比较明确，则利用几何法求各点虚位移之间的关系较好(例13-3)。若系统各点的位置能较容易写出它们的坐标与广义坐标的关系，则应用变分法求解(例13-4)。动力学普通方程是首先利用达朗贝尔原理在质点系上加上惯性力，再利用虚位移原理求解动力学问题的一种方法。拉格朗日方程是在其基础上推导出的结果，利用拉格朗日方程求解动力学问题，其关键问题是正确地选择广义坐标，并写出用广义坐标表示的动能和势能表达式，其它问题就是严格的数学求解问题了。它为解决多自由度动力学问题，提供了简便的方法。13.4 例题分析例13-1 椭圆规机构如图所示，连杆AB长l，铰链为光滑的，求在图示位置平衡时，主动力P和Q之间的关系。解：研究整个机构。系统的所有约束都是完整、定常、理想的。1、虚速度法：使A发生虚位移为，B的虚位移为，则由虚位移原理，虚功方程为虚位移关系（投影定理）代入虚功方程得由于 得2、变分法 由于系统为单自由度，取j为广义坐标。变分的由虚位移原理（直角坐标投影形式）将虚位移关系代入虚功方程得由于，故例13-2 不计各杆件的自重，机构如图所示，求在图示位置平衡时，力F1与F2的关系。解 由于系统发生虚位移时，A点是点的合成运动关系，所以应用虚速度求解。设AB杆的A点为动点，OC杆为动系，A、C两点的虚位移如图所示，则几何关系为虚功方程为将虚位移关系代入得由于，故解出例13-3 多跨静定梁如图所示，求支座B处反力。解：将支座B处的约束解除，代入相应的约束力FB，并发生虚位移。根据虚位移原理（几何法）： 得由虚位移几何关系(几何法)代入解得几何法一般应用于虚位移的几何关系容易画出的情况下。例13-4 机构如图所示，各杆之间均用铰链连接，杆长AEBD2l，DHEHl。D、E之间连一弹簧，弹簧刚度系数为k，弹簧的原长为l。杆和弹簧的自重及各处的摩擦均不计。今在铰链H上施加一铅直向下的力FH，并使该机构处于静止平衡状态，试确定力FH与杆件、水平线的夹角q之间的关系。解：这是一个单自由度系统。取q为广义坐标。因为弹簧 DE不是理想约束，求解时应解除弹簧约束，用相应的弹性力F、F代替，并视之为主动力，如图所示。此题用解析法求解。由虚位移原理在直角坐标系的投影表达式以固定点A为原点，建立静坐标系Axy。主动力作用点的坐标为变分得弹簧DE在图示位置的长度为2lcosq，其原长为l，伸长量D2l cosq l(2cosq 1)l，于是弹簧作用于D、E上的拉力的大小为由于虚位移是假想中的位移，它的给出不会引起弹簧的真实长度的任何变化。也就是说，在虚位移中，弹性力的大小是不变的，因此，弹性力的虚功应按常力来计算，这与实位移中弹性力的元功的计算方法有本质上的区别。整理后的虚功方程为于，所以由解得例13-5 如图所示为三铰拱支架，求由于不对称载荷F1和F2作用在铰链B处所引起的水平约束力FBx。解：为了求出B点的水平约束力FBx，首先解除铰链B水平方向的约束而成为可动的铰链支座，并以约束力FBx代替其约束，如图所示，设系统发生一虚位移，其OA半拱的虚位移为djA，O点虚位移为drO，OB半拱是平面运动，则B点虚位移为dxB，因此OB半拱在虚位移过程中相当于绕瞬心C点的虚位移为djC。由虚位移原理即由于AO=CO，因此djAdjC，由于，故代入上式可解得由此可知，对于一些定点转动和平面运动的刚体，采用作用于该刚体上的主动力对转轴或瞬时速度中心的力矩与瞬时转动虚位移的乘积来计算虚功是较为简便的。例13-6 二均质轮的m、R相同，用轻质绳缠绕连接如图所示。求在重力作用下轮中心的加速度。 解：这是一个动力学问题，可应用动力学普遍方程求解，研究整个系统，引入惯性力及惯性力偶，方向如图，大小为 其中 设系统发生虚位移，由动力学普遍方程几何关系 由于，所以 解得例13-7 楔形体重为P，倾角a，在光滑水平面上。圆柱体重Q，半径为 r ，只滚不滑。初始系统静止，圆柱体在斜面最高点。试求：(1)系统的运动微分方程；(2)楔形体的加速度。解：研究整体系统。它具有两个自由度。取广义坐标为x, s ；各坐标原点均在初始位置。取水平面为系统的零势点，则系统的势能为 系统的动能为拉格朗日函数为代入保守系统拉氏方程并适当化简，得到系统的运动微分方程。解得楔形体的加速度为例13-8 已知 弹簧刚度为k，滑块质量为m1，B球质量为m1，不计摆杆质量和摩擦；求 此系统微幅振动的运动微分方程。解 系统有两个自由度，选静平衡位置为广义坐标x、j的起始位置，广义力和动能为图中AB摆作平面运动，故式中，故动能可进一步写为代入拉格朗日方程运动微分方程为此系统是保守系统，所以也可取x = 0、j = 0处为该系统的零势能位置，系统在图示一般位置上的势能为代入保守系统的拉格朗日方程即可得到同样的运动微分方程。若系统只在平衡位置附近作微幅振动，则cosj1， sinjj， 令高阶小量j2 = 0， 故所以运动微分方程可简化为13.5 习题解答bDbbBMAFNdjdrC drA aa abC13-1 在压缩机的手轮上作用一力偶，其矩为M。手轮轴的两端各有螺距均为h的螺纹，但一为左旋螺纹，一为右旋螺纹。螺纹上各套有一个螺母A和B。这两个螺母分别与长为b的杆相铰接，四杆形成菱形框，如题13-1图所示。此菱形框的点D固定不动，而点C连接在压缩机的水平压板上。求当菱形框的顶角等于2a时，压缩机对被压物体的压力。（1） （2）题13-1图解：设机构发生虚位移，D点固定不动，由虚位移原理(a)由于AC杆作平面运动，由速度投影定理，而(b)将(b)式代入(a)式，由于，解得13-2 在题13-2图示机构中，已知FB200N，q60，j30，刚度系数k10N/cm的弹簧在图示位置的总压缩量d4cm，试求使该机构在图示位置保持平衡的力FA的大小。（1）FqAlDdjjBbbkOdrCdrAdrBC（2）题13-2图解：解除弹簧约束，以弹性力F代替，设机构发生虚位移，由虚位移原理(a)代入(a)式，由于，解得110.2 N13-3 在曲柄式压榨机的中间铰链B上作用水平力F，如ABBC，；求在图示平衡位置时，压榨机对于物体的压力。题13-3图解 设物体对压板的压力为FN，由虚功方程B、C两点的虚位移如图，则几何关系为由于，解得物体受的压力与FN大小相等，方向相反。OFrdjAaqdj0drClMhdrrdreBjdrBCA13-4在题13-4图所示曲柄滑道机构中，rh0.4m，l1.0m，作用在曲柄OB上的驱动力矩M5.0Nm。为了保证该机构在j30位置时处于平衡状态，C点的水平作用力F应该多大？Al（1） （2）题13-4图解：设机构发生虚位移，如图示，由虚位移原理 由于hrAB，且代入方程得由于，解得13-5 在题13-5图所示系统中，弹簧AB、BC的刚度系数均为k，除连接C点的二杆长度为l外，其余各杆长度均为2l。各杆的自重可以忽略。未加力F时，弹簧不受力，qq 0。试求加力F后的平衡位置所对应的q值。dxCdxAdxByOCBA F1 F1 F1 F1qx（1）（2）题13-5图解：设机构发生虚位移，解除弹簧，以弹性力F代替，采用变分法，取q为广义坐标由虚位移原理的解析表达式即由于，所以解得由于 所以解得13-6 题13-6图所示两等长杆AB与BC用铰链连接，又在杆的D、E两点加一弹簧，弹簧刚度系数为k，当距离ACd时，弹簧的拉力为零。如在C点作用一水平力F，杆系处于平衡。求距离AC之值。已知ABl，BDb，杆重不计。yxqDPEF1 F1BAOblC（1）（2）题13-6图解：解除弹簧约束，用弹性力F1代替，采用变分法，取q为广义坐标，则由虚位移原理的解析表达式得又由于，所以解得13-7 题13-7图所示两重物FP1、FP2系在细绳的两端，分别放在倾角为a、b的斜面上，细绳绕过两定滑轮，与一动滑轮相连。动滑轮的轴上挂一重物FP3。试求平衡时FP1、FP2的大小。摩擦以及滑轮与绳索的质量忽略不计。（1）（2）题13-7图解：设机构发生虚位移如图示，由虚位移原理(a)由几何关系代入(a)式，得整理得由于，所以解得13-8 机构如题13-8图所示，曲柄OA上作用一矩为M的力偶，在滑块D上作用水平力F。求当机构平衡肘，力F与力偶矩M的关系。题13-8图解 设OA杆的虚位移为dj，则A、B、C各点虚位移如图所示，由虚功方程 几何关系代入虚功方程，解得13-9 图示机构中，OB=BC=AB=2BD=2BE=a，水平力已知，弹簧刚度系数为k，当q =0时它为原长。试求系统平衡位置。xx 题13-9图 解：解除弹簧约束，用弹性力F1代替，采用变分法，取q为广义坐标，设GD长为l，则弹性力为由虚位移原理的解析表达式得由于，所以解得13-10 两摇杆机构分别如图a和b所示，图a中OAR，AOO1=p/2，OO1A=30；图b中OBR，BOO1=p2，OO1B=300。若各在杆OA上施加力偶矩M1，试求系统保持平衡时，需在O1B上施加的力偶矩M2。答：(a) M24M1， (b) M2M1。 题13-10图解：(a)设机构发生虚位移如图示，由虚位移原理由虚速度法及几何关系 其中 ，得，由于，代入虚功方程，解得 (b)设机构发生虚位移如图示，由虚位移原理由虚速度法及几何关系 其中，得，由于，代入虚功方程，解得yA1Oxj1j2W2W1C1C2l2l1A2B1B213-11 两均质杆A1B1与A2B2长为l1、l2，重为FP1、FP2。它们的一端A1及A2分别靠在光滑的铅直墙面上，另一端B1及B2搁在光滑水平面的同一处，如题13-11图所示。求平衡时两杆与水平面所成的夹角j1和j2之间的关系。（1）（2）题13-11图解：取固定坐标系Oxy，采用变分法，取j1、j2为广义坐标(1)(2)根据图示约束条件常量变分的(3)由虚位移原理：SdWF =0 将(1)、(2)式代入上式，整理得将(3)式代入上式，化简后得由于，所以解得13-12 在图示静定连续梁中，F15kN，F24kN，F33kN，力偶矩M2kNm。求固定端A的约束力和约束力偶。(1)MF1F2F3dxDdxCdxAMAXABYA（2）YAXAF1F2F3BDMCAMAdy1dyAdy2dyDdq（3）MAA1m1mCBDMF1F2F3dy1dyCdy2dyDdjdq（4）题13-12图解：研究连续梁，解除A端约束，以约束力FAx、FAy、MA、代替。设发生虚位移dxA，而由虚位移原理由于dxA0，所以 FAx0设发生虚位移由虚位移原理几何关系代入虚功方程由于，解得 kN设发生虚位移dj，而，由虚位移原理几何关系代入上式由于，解得 kNm13-13 试求题13-13图所示静定连续梁支座C与D处的约束力。已知F18kN，F24kN，q2kN/m，M9kNm。（1）AMFq1Fq22mBdjFNDdr1drEdrPdrBdr2drDFEPdrPMQFq1Fq2BdjFNCdr2dr1drQdrCdrB（2）（3）题13-13图解：为便于计算，把分布载荷分别合成为合力Fq1和Fq2，其中Fq1q24kN，Fq2q816kN，分别作用于E、F点，解除D点约束，用约束力FND代替，设机构发生虚位移，如图示，由虚位移原理由几何关系代入方程，由于dj0，解得解除C点约束，代之以FNC。设机构发生虚位移，如图示，由虚位移原理其中整理得题13-14图13-14 梁AD由在B、C处由铰链连接起来的三段粱组成，如题13-14图所示。在粱上作用的均布载荷其集度为q2kNm，F5kN，力偶的力偶矩M6kNm，a=2m。试求固定端A、D的铅垂约束力和约束力偶。解：(1)解除A点约束，用约束力FAx、FAy、MA代替，设机构发生虚位移，如图所示，设，由虚位移原理由几何关系代入方程，由于dj 10，解得MA12 kNm(2)解除A点约束，用约束力FAx、FAy、MA代替，设机构发生虚位移，如图所示，设，由虚位移原理由几何关系代入方程，由于dj 0，解得FAy7kN(3)解除D点约束，用约束力FDx、FDy、MD代替，设机构发生虚位移，如图所示，设，由虚位移原理由几何关系代入方程，由于dj 10，解得MD14 kNm(4)解除D点约束，用约束力FDx、FDy、MD代替，设机构发生虚位移，如图所示，设，由虚位移原理由几何关系代入方程，由于dj1 0，解得FDy6 kN13-15 组合梁(1)的支承及荷载为F=5kN，q=2.5kN/m，M=5kN.m，如题13-15(1)图所示。组合梁(2)的支承及荷载情况如题13-15(2)图所示。求以上两个题中各支座处的约束力。(1) (2)题13-15图解 1) (1)解除A点约束，用约束力FAy代替，设机构发生虚位移，如图所示，由虚位移原理几何关系代入虚功方程，由于，解出FAy2.5 kN2）(1)解除B点约束，用约束力FB代替，设机构发生虚位移，如图所示，由虚位移原理 几何关系 代入虚功方程，由于，所以解出FNB15 kN3）(1)解除E点约束，用约束力FE代替，设机构发生虚位移，如图所示由虚位移原理 几何关系 代入虚功方程，由于，所以解出FE2.5 kN读者不难用类似的方法求出FAx = 02）(2)解除C点约束，用约束力FNC代替，设机构发生虚位移，如图所示，由虚位移原理由于dj10，解得FNC8 kNm(2)解除A点约束，用约束力FAx、FAy、MA代替，设机构发生虚位移，如图所示，设，由虚位移原理由几何关系代入方程，由于dj 10，解得MA15 kNm(3)解除A点约束，用约束力FAx、FAy、MA代替，设机构发生虚位移，如图所示，设，由虚位移原理由几何关系代入方程，由于dj 0，解得FAy8 kN(4)解除A点约束，用约束力FAx、FAy、MA代替，设机构发生虚位移，如图所示，设，由虚位移原理代入方程，由于dxA0，解得FAx013-16 杆AB与CD由铰链C联结，并由铰链支座A、D固定，如题13-16图所示。在AB杆上作用一铅直力F，在CD杆上作用一力偶M，不计杆重，求支座D的约束力。题13-16图解：解除D点x方向的约束，用约束力FDx代替。设机构发生虚位移，由虚位移原理由于C为CD杆瞬心而AB杆绕A点转动，所以，几何关系为代入虚功方程由于，解得解除D点y方向的约束，用约束力FDy代替，设机构发生虚位移，由虚位移原理由于DC杆平移，所以 代入虚功方程 由于，得 13-17 题13-17图所示结构中，已知F1kN，l1m，q30。求支座A的约束力。qCABD2lllEdjdyDdrPd xCdxA2lFFAx（1）（2）CdrPdyAFqdrCFAyABDdyDdrP（3）题13-17图解：（1）解除A点x方向约束，用约束力FAx代替，设机构发生虚位移，如图示，由虚位移原理由于ABC为平移，所以，E点为DC杆瞬心代入虚功方程由于，解得（2）解除A点y方向约束，用约束力FAy代替，设机构发生虚位移，如图示，由于ABC瞬心在B点，DC的瞬心也在B点，由虚位移原理几何关系代入虚功方程，由于，解得 kN13-18 图示桁架中，ADDB6m，CD3m，节点D的载荷为F。求杆3的内力。A2DB4OdrDdrBS3S3FadrC5C（1）（2）题13-18图解：解除杆3的约束，用约束力S3代替，设系统发生虚位移，如图所示，由虚位移原理因为CB杆作平面运动，O为瞬心，由几何关系代入虚功方程得由于，解得13-19 如题13-19图a所示连续梁，其截荷及尺寸均为已知。试求A、B、C三处的支座反力。题13-19图解：图13-19a所示连续梁由于存在多个约束而成为没有自由度的结构。为用虚位移原理求约束力。可解除求其约束力的约束而代之以约束力，从而使结构获得相应的自由度。1、求支座D处的约束力解除支座D约束，代之以约束力FD（题13-19图b），系统具有一个自由度。给系统以虚位移dq，由虚位移原理 由于dq0，则得2、求支座B处的约束力解除支座B约束，代之以约束力FB（题13-19图c），系统具有一个自由度。给出虚位移dj，由虚位移原理 由于dj0，解得3、求支座A 处的约束力解除支座A约束，代之以约束力FAx及FAy（图13-19d），系统具有二个自由度。可给出系统的一组虚位移为dx及dy。设先给系统一组虚位移dx0，dy =0，则由虚位移原理 解得再给系统一组虚位移dx，dy0，则由虚位移原理得 解得13-20 试求题13-20图示粱桁架组合结构中1、2两杆的内力。已知F1= 4 kN，F2=5 kN。题13-20图解：解除杆1的约束，用约束力FN1代替，设系统发生虚位移，其中，如图所示，由虚位移原理将几何关系代入，并且，解得kN（拉）解除杆2的约束，用约束力FN2代替，设系统发生虚位移，由于FE杆与ED杆均做平面运动，设：D点的虚位移为，D点的虚位移为，所以，由虚速度法，E点的虚位移为其中，几何关系如图所示，由虚位移原理将以上所述几何关系代入，并且，解得kN（压）。13-21 重FP1的平板A放在n个重量均为FP2的圆滚子上，如题13-21图所示。设滚子可视为均质圆柱，滚子与平板及滚子与地面均无相对滑动，求平板受到水平力F作用时的加速度。（1）AaFdxdjMIiFIiFI（2）题13-21图解：设平板的加速度为a，则各运动物体上的惯性力为其中r为圆滚子的半径。设系统发生虚位移dx，由虚位移原理其中代入方程得由于dx 0，所以解得13-22 题13-22图所示一升降机的简图，被提升的物体A重为FP1,平衡锤B重为FP2；带轮C及D重均为FP3，半径均为r，可视为均质圆柱。设电机作用于轮C的转矩为M，胶带的质量不计，求重物A的加速度。 题13-22图解：设物块A的加速度为a，则各运动物体上的惯性力为其中设系统发生虚位移dr，由虚位移原理其中代入方程得由于dr 0，所以解得13-23 题13-23图所示离心调速器以匀角速度w转动。如重球A、B各重FP1，套筒C重FP2；连杆长均为l，各连杆的铰链至转轴中心的距离为a；弹簧的刚度系数为k，其上端与转轴紧接，下端压住套筒，当偏角a=0时，弹簧为原长不受力。求调速器的角速度w与偏角a的关系。 题13-23图解：由题意，设物块A、B的惯性力为解除弹簧的约束，则弹性力为建立坐标系如图所示，则A、B、C处的坐标分别为 变分为 由虚位移原理将变分结果代入方程得由于 0，所以将惯性力和弹性力代入上式，解得13-24 题13-24图所示，吊索一端绕在鼓轮上，另一端绕过滑轮系于重的平台A上，鼓轮半径为r、重为，电动机给鼓轮的转矩为M，试求平台上升的加速度。设鼓轮可看作均质圆盘，滑轮的质量可以不计。 m2gAFI1djMIM drQFI2ae（1） （2）题13-24图解：设平台上升的加速度为a，则各运动物体的惯性力为由虚位移原理其中代入虚功方程由于，所以解得13-25 重Mg的三棱柱放在光滑水平面上，重mg的均质圆柱沿三棱柱的斜面AB滚下而不滑动。求三棱柱的加速度和柱心C相对于斜面的加速度。AeFIyMICFIaABMgdxFNaBCaFIxar mgdyadxr（1） （2）xhlODBayxO1 mg MgCMICexyOADCBaxlhxO1 mg Mgx （3）（4）题13-25图解：（解法一）在系统水平方向运用质心运动定理有惯性力为 设三棱柱的水平虚位移为dx，圆柱水平虚位移为dx，垂直虚位移为dy，由虚位移原理由几何关系 即由于dj0，所以解得（解法二）选x与x为广义坐标，如图（3）所示，于是：分析运动，三棱柱ADB沿光滑水平面平动，设质心C的加速度向右，加惯性力大小为；圆柱作平面运动，轮心O1随三棱柱有牵连加速度，还有沿斜面向下的相对加速度，有滚动角加速度e，re，加惯性力系如图（4）示。令x不变，给x以变分d x，得到：即(a)令dx0，只给dx，圆柱滚动，得：式中由此得到：由于，所以(b)由式(a)得：代入式(b)，得：化简得出：式中负号表示三棱柱的加速度方向与图示方向相反。代入(a)式即可得出：13-26 质量为m的单摆绕在一半径为r的固定圆柱体上，如题13-26图所示。设在平衡位置时，绳的下垂部分长为l，且不计绳的质量，求摆的运动微分方程。Ojmgjl（