第6章点集拓扑学练习题参考答案.doc

点集拓扑学练习题（第6章）一、单项选择题1、 2、 3、 4、 5、 6、7、 8、 9、 10、 11.C 12. D 二、填空题1不一定是， _是2. 闭子空间，子空间三判断题1、 2、 3、 4 5 6 四简答题（每题4分）1、设是一个空间，试说明的每一个单点集是闭集.答案：对，由于是空间，从而对每一个，点有一个邻域使得，即，故，因此,这说明单点集是一个闭集.2、设是一个拓扑空间，若的每一个单点集都是闭集，试说明是一个空间.答案：对于任意，都是闭集，从而和分别是和的开邻域，并且有,.从而是一个空间.3、若是一个正则空间，试说明：对及的每一个开邻域，都存在的一个开邻域,使得.答案: 对,设是的任何一个开邻域，则的补集是一个不包含点的一个闭集.由于是一个正则空间，于是和分别有开邻域和,使得，因此，所以.4、若是一个正规空间，试说明：对的任何一个闭集及的每一个开邻域，都存在的一个开邻域,使得.答案：设是的任何一个闭集，若是空集，则结论显然成立.下设不是空集，则对的任何一个开邻域，则的补集是一个不包含点的一个闭集. 由于是一个正规空间，于是和分别有开邻域和,使得，因此，所以.5、试说明空间的任何一个子集的导集都是闭集.答案：设是的任何一个子集，若是空集，则，从而的导集是闭集.下设不是空集，则对,则有开邻域,使得，由于是空间，从而是开集，故 ,于是,所以是它每一点的邻域，故是开集，因此是闭集.五、证明题1、设是一个空间,证明：的每一个邻域中都含有中的无限多个点.（即是无限集）证明：设，若有一个开邻域含有中的有限多个点，设,则是一个有限集，从而是一个闭集，故是一个开集且是的一个开邻域. 又易知,从而，矛盾.故含有中的无限多个点. 2、设X是一个正则空间，A是的闭子集,，证明：和分别有开邻域和使得.证明：由于X是一个正则空间，从而x和A分别有开邻域W和V使得，故，因此. 又由正则空间的性质知：存在x的开邻域U使得,从而. 3、证明：每一个正则且正规的空间都是完全正则的.证明：设是一个既正则又正规的空间.设是中的不含点的闭集，从而是的一个开邻域. 再由是正则的，故此存在的一个开邻域使得.于是与是两个不相交的闭集. 而又是正规的，由Urysohn引理，故存在一个连续函数使得对任意所为，特别和，.这说明是完全正则的. 4、设是空间的一个收敛序列,证明：的极限点唯一. 证明：若极限点不唯一，不妨设,其中，由于是空间，故和各自的开邻域，使得. 因，故存在，使得当时，；同理存在，使得当时，.令,则当时，从而,矛盾，故的极限点唯一. 5、X是空间，B为X的一个拓扑基，则对于每一个BB及xB,都有一个B使得xB.证明：X是空间，必为的正规空间，对任意xX,x为闭集.对于BB且xB,B就是x的一个开邻域.由于X为正规空间，必存在x的一个开邻域U,使得.U也是x的开邻域，一定存在一个B ，使得 xU,且有，当然就有x.6、设是Hausdorff空间，是连续映射.证明是的闭子集.证明：对于，则，从而有互不相交的开邻域和，设，则是的开邻域，并且,故是开集，从而是闭集. 7、设为Hausdorff空间 ,是一个连续映射, 且证明:是的闭集 证明：对，则，由于是Hausdorff空间，存在和的邻域，使得.又因为连续,故存在的邻域,使得,令,则是的邻域,且. 事实上,若存在使得,即使得.于是,而,这样,矛盾.所以,即 是闭集. 8 设X是一个空间，X。证明：如果X中由异于的点构成的一个序列收敛于，则序列有一个由两两不同的点构成的一个子序列收敛于。证明：设，由于令N1=1，假设取得