素材：2012高中数学备课参考数学教学一道课本例题的演变.doc

一 道课本例题的演变 26江苏省金湖县外国语学校李东中考数学第一轮复习工作通常是在钻研数学课程标准和教材的基础上，精选并研究课本例题、习题，对所选题目作必要的演变和拓展，这样才能让学生有新鲜感，从而提高复习效率本文以苏科版课标实验教材八年级下册第115页的例1为例，具体说明对问题的演变处理，以期抛砖引玉原题如图1，河对岸有一路灯杆AB，小明在点D处测得灯光下自己的影长DF=3m，沿 J=ED方向到达点F处再测得自己的影长FG 4m设小明身高为16m求路灯杆AB的高度 B D F G BD F G图 1 图 2一、解题方法的演变在教授许多课本例、习题时，由于学生已有认知水平的局限，无法引导他们获取其他解法，但随着所学知识的增加，特别是到中考复习时，引导他们探索其他解法就更可行，也更有效本题还有以下两种解法另解1：如图1，由题意知AEFG=ZCDG = XAG9。aA=B=0ItnG箦 器箦=B=B=A一G2，F25B而B4tanAFD -= A1O=， AB=64(m) 0另解2：如图2，连结CE，并延长EC交AB于点H，则CEDF，日上HE，CE=DF= 3mHB =CD =16m。 CEDFIAACEaoAAFGIJf =，得 m署=解AB 4()_二、题目的演变 (一)借助构建逆命题寻求演变变式1如图1，一路灯杆B高为64In，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF = 3m，沿BD方向到达点F处再测得自己的影长 FG=4In求小明的身高【答案及提示】小明的身高为16m变式2如图1，一路灯杆 B高为64m，在灯光下，身高为1T的小明在点D处测得自己61I的影长DF=3nl，他沿 D方向到达点F处时，自己的影长FG如何变化?【答案及提示】此时小明的影长FG为4m，变长1i1l (二)借助背景中参照物的变换寻求演变 1路灯同侧换异侧变式3如图3，路灯O下小明在点JE、D、F处的影长分别为BM =16In，DN =06m，F尸=27m、F在同一条直线上，,若点、J)且 BD=DF=2m，求的值 o MBD P图3【答案及提示】在图3中，连结、 E，易得ACBD，CEDF，AC=BD=DF= CE =2In，则(二)C0MN，A0 E AONP = = IMN=NP，即16+(206)=06+2+，。=04 2悬空路灯换地灯变式4如图4，小明站在一座大厦和一盏地灯(=)之间，当小明在离地灯5m远的B处时，他头部的影子正好与大厦正面垂挂的宣传条幅顶端F重合；当小明再向大厦走5m到D处时，头部C的影子正好与条幅底端G重合已知条幅底端距地面8m，求该条幅FG的长度 F G oBD E图4【答案及提示】根据题意易得 AOABAOFE，AOCDoAOGE， AB FE= ，器=EAEODGBO=B飓C OE =0DGE。 AB=CD，。0BE =0DGE，即 5(FG+8)=10X8，FG=8(m) 3一盏路灯换两盏变式5如图5，晚上小明由路灯 B走向路灯D，当他走到点P处时，发现身后影子的顶部正好在路灯AB的底部B处，当他向前再步行 12m到达点Q处时，发现身前影子的顶部正好在路灯D的底部D处已知小明身高为16m，两路灯的高度都是96na求两路灯之间的距离【答案及提示】易得： L 、一cD = BDl和NQ=器由于尸=NQ，AB=CD，比较 、两式可得JEP =QD，于是由 得方程 = DD，解得BP=3(m)，从而两路灯之间的距离为18m变式6晚上小明走在大街上，他发现当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一条直线时，自己右边的影子长为3m，左边影子长为15nl(如图6)已知小明身高18m，两盏路灯的高度相同，两盏路灯之间的距离为12nl，求路灯的高度 C图6【答案及提示】设路灯高为 m，易得方程组 f1()I了8：面1：l土N 2z一 (L)BL D+BN =12十3十15(3)由(1)、(2)易知BN=2MD，与(3)联立解得MD=55(m)，从而求得z=66(n】)变式7如图7，在马路两侧有两盏路灯BA、D当小明站在处时，由灯照射小明的影长正好为，由灯照射小明的影长为NE，如果BD：NB：NE：12：3：1，那么马路两侧的两盏路灯的高度是否相同?图7【答案及提示】由题意得 MN NE， AB 而BE，IJ MN BN r CD = BD Lz由于BD：E =12：3：l，所以等式(1)、(2)的右边相等，从而它们的左边也相等，因此得AB=D，即马路两侧的两盏路灯高度相同变式8如图8，在宽为16m的马路两侧有两盏路灯AD、B，当小明站在F处时，由灯照射小明的影长正好为F，由灯D照射小明的影长为FB如果点(=)为马路中心，点、O、F、B在同一条直线上，且测得OE+ F=8m，求两路灯高度之和图8FA =8+，易得EF =一FBgpAD =，B 同理Bc=职；RtZkEFO中，由勾股定理得EF。+。=(8一EF)，解得EF： ，、 AD+BC=( + ) = EF=百162 =16(m)，即两路灯高度之和为16m (三)借助图形有规律的运动寻求演变变式9如图9，身高16m的小明(AB)与路灯GH的底端日距离为6m，已知灯G离地面高为48m如果小明沿线段BH向路灯走去，当小明走到BH的中点B1处时，求其影子BtC1的长；当小明继续走剩下路程的砉到B2处时，求其 SY2C2；当小明继续走剩下路程的1到 3处时，按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的n十 l到处时，直接用n的代 数式表示小明的影子的长【答案及提示】利用比例式易求得BlC1=罢()B()B=詈m，m，2：1=詈m，s()二 U o 由此规律可知 = (m) (四)借助解题过程的分析与反思寻求演变正如罗增儒教授所说，分析解题过程“有益于洞察问题的深层结构，体现数学的整体性与统一美”，“使我们对题目的认识更加深刻和全回审视本例及上述几个变式的解题过程，我们又得到触及问题本质的三个变式 变式10如图10，小明晚上在路灯下散步，已知小明的身高AB=h，灯P、Q离地面距离都为a，两灯柱之间的距离DH =b如果小明在两路灯之间行走，则他前后两个影子的长度之和(DA+AC)是定值，请说明理由图 10【答案及提示】如图10，。ABOP， AABCAOPC，塑 = =h A丽C =h 。一一即=OP：=：OC：，而 AC：Dn一凡同理可得DA= AH，DA+AC= (OA+AH)=是定值变式l1小明晚上在路灯下散步，已知小明的身高AB=h，灯P、Q离地面距离都为a，两灯柱之间的距离DH=b如果小明不在两路灯之间行走，在两路灯之外行走(如图)，则他前面两个影子的长度之差 CD还是定值吗? U HAU图 11【答案及提示】与变式10类似，易得 AC D =a n =日)=a一n，一 也是定值变式12如图12，小明晚上在路灯下散步，已知小明的身高AB=h，灯P离地面距离为a，如果小明在点朝着影子(如图l2中箭头所示)方向以速度t，匀速行走，那么他影子的顶端在 (下转第l236页)( + + 1州 = 9所以 +1十1可丽 =+l(两m)Il21am+6 +c-(、)又因为a +b +C=(am) +(bm) + (c)，令t厂()=，(0 m1且礼、mz)，则f(x)为下凸函数，所以 a+mc(Tmb+)n 即 a+mc(Tmb+m)丽a -“-n4b4a一，3 所以m6+m3(百3一。+mc)=1罟因此(2)式可化为 an Ab一+ Am+A + 6+cm 。cn+am 再 (3) 特别地，当n=2T=1上式为，tt时，(上接第1234页)地面移动的速度也是口吗?为什么? PP图12图13【答案及提示】由题意设小明由点走到一 L一9n+Abb2-4-Ac C2-4-Aa 1+一 (、3入一1)，即为(1)式如此我们得到了一个更为一般的结论：定理如果a、b、c是满足a“+b“+Cn=1的正数， 0，Ttm1且n、TnZ，那么一 一一 一I一 11anm。6 cna13一鲁+Ab“+Ama十A m，+入问题到此似乎可以说已经解决得令人较为满意了，但是我记着张景中院士曾经说过：“问题解决前要进一步想，问题解决后则要退一步想”那么怎么退呢?我们把限制条件退一下，改成1次的已知a、b、c是满足a+b+c：1的正数考虑：南+ +赤?我们有理由猜测当a=b=c=1时，就是最小值如此我们得到问题：已知a、b、c是满足a+b+c=1的正数，求、一让11 1、27：+ 我们的探究是从数学教学29年第6期的数学问题与解答第768题开始的，那么我们还是以上面的问题作为结束吧!希望有兴趣的读者能从这里开始，作出更漂亮的结果参考文献 最新版)M】北京：1张景中新概