一元二次方程学习要点.doc

“一元二次方程”学习要点一、本章知识结构1、知识结构梳理一元二次方程的定义二元二次方程直接开方法配 方 法一元二次方程的解法公 式 法一元二次方程实际问题因式分解法根的判别式一元二次方程的应用根与系数的关系二次三项式的因式分解可化为一元二次方程的方程列方程解应用题可化为一元二次方程的分式方程及应用2、定理公式总结(1)一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a0)(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式：(3)一元二次方程的根的判别式：=b2-4ac 。 * 原载于教材全程全解同步精讲精练(初三代数全一册)，中国少年儿童出版社, 2004年5月。(4)一元二次方程的根的判别式定理：0方程有两个不相等的实数根；0方程有两个相等的实数根；0方程没有实数根；0方程有两个实数根。(5)一元二次方程根与系数的关系定理：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=推论1：如果方程x2+px+q=0的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q.推论2：以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x2-( x1+x2)x+ x1x2=0(6)二次三项式因式分解公式：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)。其中x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根。(7)求一元二次方程两根x1，x2的对称式的值，常用公式：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2；(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 二、数学规律总结1、我们已学过的方程和方程组有整式方程（一元一次方程，一元二次方程）、分式方程，二元一次方程组，二元二次方程组，它们都属于代数方程中的有理方程。在我们学过的方程中，一元一次方程和一元二次方程是解方程（组）的最基本的知识和技能。熟练地解一元一次方程和一元二次方程是解代数方程（组）的关键和前提，因此，我们必须将这部分知识扎实地学好。2、本章介绍了一元二次方程的四种解法直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。其中公式法对于任何一个一元二次方程都适用，是解一元二次方程的通法，掌握用公式法求一元二次方程根的方法，关键是要正确理解公式的具体推导过程（即配方法），充分认识该知识的产生过程和来龙去脉，然后要牢固记住公式的形式、结构和内涵，用公式求方程的根时，就是运用二次根式的有关知识求两个二次根式的值。但是，在解一元二次方程时，应具体分析方程的特点，选择适当的方法，以使解题过程简便。一般地，一元二次方程解法的选择顺序是：先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法，配方法是推导求根公式的工具，掌握公式法之后，就可以直接用公式法解一元二次方程了。因此，解一元二次方程一般不用配方法（除题目中要求用配方法解方程外），但配方法除了用于推导一元二次方程的求根公式以外，在学习其他数学内容时，也有广泛的应用，因此配方法是一种很重要的数学方法，我们一定要正确理解配方的意图，掌握配方的方法，把这部分知识学好学活。3、二次三项式ax2+bx+c在实数范围能够分解的条件b2-4ac04、一元二次方程ax2+bx+c=0有实根的条件b2-4ac0三、思想方法总结1、转化思想在本章中，“转化”思想象一条红线贯穿于始终。解一元二次方程需转化为一元一次方程；解分式方程需转化为整式方程；解二元二次方程组需转化为二元一次方程组或一元二次方程。在实数范围内二次三项式的因式分解，需将之转化成解对应的一元二次方程的问题来解决，此外方程中字母系数的确定也是通过转化为解方程问题而解决的。具体转化过程及转化方法如下图所示：一元一次方程整式方程 因式分解 降次 一元二次方程去分母 整式化整式方程 代入法 消元“III”型二元二次方程组 因式分解 降次“IIII”型转化思想是初中数学中常见的一种数学思想，它的应用十分广泛，我们在解数学题时，常常运用转化思想，将复杂问题转化成简单的问题，将生疏的问题转化为熟悉的问题。2、方程思想在解数学计算时，往往通过已知和未知的联系，建立起方程或方程组，通过解方程或方程组，求出未知量的数值，从而使问题得以解决，这种通过列方程沟通已知和未知联系的数学思想，通常称为方程思想。方程思想在本章主要体现在列方程(组)解应用题、利用判别式和韦达定理确定一元二次方程中待定系数(字母系数)、二次三项式的因式分解、利用根与系数关系解形如的“”型方程组等。3、公式化与分类讨论的思想在数学中，对那些有规律可循“成型的”数学问题，我们总希望找到一个公式，在解题时，只要把已知数代进去，就可以求出问题的结果(结论)，从而达到准确、高速解决该“模块”的目的。如圆面积公式，梯形面积公式，由时间和速度求距离的公式S=Vt等等，在这个思想指导下，我们通过配方，求出了一元二次方程的求根公式x= 。可是，在我们的公式中，有一个二次根式，它的被开方数为=b2-4ac，当0时，根式有意义，公式才能成立，才能应用；那么，当0时，公式就不能用了。这时，说明什么问题？方程ax2+bx+c=0(a0)没有根吗？不能这样说，因为公式的推导过程已经表明，只有在0时，才能得到求根公式，也就是说，只有0时，才可用求根公式法解一元二次方程，求出实数根。若0时，不能用公式求实数根，也许可以用别的方法求出来。这就提出了一个问题：能否在不解方程的情况下，判断方程是否有实数根？通过仔细分析配方过程，终于弄清了“”对判别一元二次方程实数根的作用：对于方程ax2+bx+c=0(a0)来说，记=b2-4ac，那么：(1)若0，则方程有不相等的实数根；(2)若=0，则方程有两个相等的实数根；(3)若0，则方程没有实数根。反之亦然由于0，=0，0，是对值的完全的分类，它同方程有不等实根，有相等实根和没有实根(也是对方程根的情况是完全分类)三种情况一一对应，这就为分类讨论打下了基础。此外，我们在遇有含有字母的方程时，我们要对字母系数分情况进行讨论，再根据各情形的知识进行研究探索、求解等等。(前面已举例)分类讨论是数学中重要的思想方法，我们一定要注意体会该思想方法，积累自己的数学素养。本章所应用的数学方法主要有：代入消元法；因式分解降次法；换元法；配方法。代入消元法和分解降次法主要体现在解二元二次方程组；换元法主要体现在解可化为一元二次方程的分式方程和二次三项式的因式分解；配方法主要体现在利用配方法解一元二次方程、一元二次方程的求根公式的推导、一元二次方程根的判别式的应用、一元二次方程根与系数的关系的应用等。四、解题方法指导1、观察与分析的思维方法“观察”和“分析”是解数学题中广泛使用的基本思维方式，无论是解一元二次方程，分式方程及二元二次方程组，都离不开深入地观察和分析。(1)解一元二次方程的观察和分析解形如(x-m)2=n(n0)的方程，应选用直接开平方法，先根据平方根意义得x-m=，再移项，得方程的根为x1=m+ , x2=m- .解形如(x-m)(x-n)=0的方程，可根据“几个因式的积为零，那么这几个因式中至少有一个因式为零”的情况，则可能化为x+m=0或x-n=0得到方程的根为x1=m, x2=n 。除了上述两种形式的非一般式的一元二次方程，一般应先化成一般形式ax2+bx+c=0(a0)后再解，对于容易分解的，用因式分解法解，对于不易因式分解的，再用公式法解。例如 选用适当的方法解下列方程(x+2)2=4 , 3(x+1)(-x)=0 , 3x(x-)=1 , 2x2+3x(1-x)+2=0.分析：通过对提供的方程进行观察和分析易得到下述结论：用直接开平方法较简单；是两个因式的积为0，可直接写出x1=-1 , x2=；将之化为一般形式为3x2-2x-1=0，则可用因式分解法解较简单；化为一般形式为x2-3x-2=0，因不易分解、故可用公式法解较合适。(2)解分式方程的观察与分析“转化”是解分式方程以及高次方程等比较复杂的方程基本思想。那么，如何实现转化呢？这就要求我们根据提供的分式方程的式结构进行观察和分析，寻求出比较恰当的求解方法。将分式方程转化为整式方程的方法是“去分母法”，实施这一方法的操作流程是将原方程的两边都乘以各分母的最小公倍数。但是，经过转化后的方程有时会是一个高次方程，到目前为止，我们还没有找到解高次方程的一般方法，因此，可根据分式方程的“式结构”特征，选用特殊的解法换元法。在使用换元法解分式方程时，要注意有些方程换元的特征比较明显，有些却不明显，需要做适当的变形，方可显露出换元的特征，如下列方程： 2(x2+)-9(x+)+14=0分析：上述方程中，和具备直接换元的条件，其中设y=可转化为y2-y-2=0；设 y=，可转化为y+；要将方程中3x2+9x转化为3(x2+3x)，设y=x2+3x，则原方程可变为3y-；要注意把握x2+与x+的关系，若设y=x+，则y2=x2+，x2+，则原方程变为：2(y2-2)+y+14=0.(3)解二元二次方程组的观察与分析我们所学习的二元二次方程组可分为两种类型：第一类型即“”型，指的是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，这类方程组的一般解法是“代入消元法”，第二类型即“”型，指的是由两个二元二次方程组成的方程组，这类方程组的一般解法是“分解降次法”，通过分解降次，可将第二类型转化为第一类型，再用代入消元法来解。因此，我们在解二元二次方程组时，一定要认真观察和分析方程组中每个方程的类型和特征，采用“对症下药”的解题策略，寻求最适宜的求解方法。例如下列方程组： 分析：属“”自然用代入消元法来解；属“”则可用代入消元法来解，但是中的第1个方程可进行因式分解，则又可用“分解降次”法来解(要注意“”型有时也可用“分解降次”法来求解；属“”型，则可用“分解降次”，当然也可用两边开平方法将之“裂变”为四个二元一次方程组来解；属“”型，但只有第一个方程能用因式分解，则只可用“分解降次”法，将之“裂变”为两个“”来解。2、分析与构造的思维方法对于形如 的方程组，可用“韦达定理法”来解，即把x、y看作一元二次方程z2-az+b=0的两个根，解这个一元二次方程就可求得方程组的解。其策略是根据“式结构”巧妙地构造出一个一元二次方程，然后通过解这个一元二次方程的方法达到解方程组的目的。利用韦达定理解某些具有上述特殊形式的二元二次方程组，能够使问题化难为易，化繁为简，观察下列方程组： 这些方程组都可以用韦达定理法求解，有的可直接构造方程，有的需要做适当的变形后，再构造出一元二次方程。如，方程组可直接构造以x、y为根的一元二次方程z2-7z+12=0；方程组先变形为 然后构造出以x和-y为根的一元二次方程z2-11z+18=0；方程组，先变形为再构造以x、y为根的方程z2-17z+60=0；方程组，先变形为 再构造以x2、y2 为根的方程z2-5z+4=0,或者变形为或然后分别构造以x、y为根的方程z2-3z+2=0.或z2+3z+2=0.3、分析与综合的思维方法“分析”和“综合”是两种基本的思维方法，在数学中有着特别重要的作用。“分析”就是把事物的整体分解成若干个组成部分，并对各个部分分别进行考察；“综合”就是把事物的各个部分联结成一个整体，并从整体上加以研究，“先分析后综合”这是人们认识事物的一条基本途径，也是解数学题的一种常用的手段。数学综合题，可以看成是由几个互联相关的“小题目”组成的一个“大题目”。解数学综合题时，应当先对综合题进行“分析”把它分解成几个互相关联的“小题目”，并逐一解答这些“小题目”，再把“分析”所得的结果“综合”起来，从而求得综合题的答案。例如：(2003济南中考)已知方程组 的两个解为且x1,x2是两个不相等的正数。求a的取值范围;(2)若x12+x22-3x1x2=8a2-6a-11，求a的值。分析：这是一道既涉及到方程组，又涉及到一元二次方程根的判别式，根与系数关系的综合题，它可以分解成如下3个“小题目”：方程组可转化为一个什么样的一元二次方程？若x1，x2为转化成的一元二次方程的两根，且x1x2，求待定参数a的范围；若x1，x2为转化为一元二次方程的两根，且 x12+x22-3x1x2=8a2-6a-11，求待定参数a的值。从上例可以看出，解数学综合题的过程，通常也是一个“先分析后综合”的过程。 五、综合题例分析例1 (2003北京市中考题)已知：关于x的方程x2-2mx+3m=0的两个实数根是x1,x2,且(x1-x2)2=16,如果关于x的另一个方程x2-2mx+6m-9=0的两个实数根都在x1和x2之间，求m的值。分析：首先根据x2-2mx+3m=0的两根x1，x2满足(x1-x2)2=16的条件，将参数m的值求出 ,然后根据m的值，将两方程的根分别求出来，最后作出判断。解 x1， x2是方程x2-2mx+3m=0的两个实数根，x1+x2=2m，x1x2=3m(x1-x2)2=16 (x1+x2)2-4x1x2=164m2-12m=16解得m1=-1,m2=4当m=-1时，方程x2-2mx+3m=0为x2+2x-3=0，则x1=-3，x2=1，方程x2-2mx+6m-9=0为x2+2x-15=0，则x1= -5,x2=3-5，3不在-3和1之间 m=-1不合题意，舍去。当m=4时，方程x2-2mx+3m=0为x2-8x+12=0则x1=2，x2=6方程x2-2mx+6m-9=0为x2-8x+15=0则x1=3 x2=52356即x1x1x2x2 m=4 满足题意综合(1)和(2)，m=4评注 本题事实上就是根据题中给出的一个条件，运用根与系数的关系，求参数值的问题，不过本题已将该题型拓展延伸为判断两个方程根的大小范围问题了。因此，我们在审题中，一定要有“慧眼识真金”的本领，善于将提供的“新”问题，通过分析、类比、综合等思维方式，转化到我们已经会解决的“老”问题上来。例2 已知关于x的方程x2-(2k+1)x+4(k-)=0 （1）求证：无论k取什么实数时，这个方程总有两个实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另外两边的长b、c恰好是这个方程的两个根，求ABC的周长。分析 （1）要证一个一元二次方程有两个实根，只需要证明判别式0即可；（2）有关等腰三角形问题，若未指明腰和底边时，要进行讨论，因此，本题对a是等腰三角形的底边还是等腰三角形的一腰要进行分类讨论。解 （1）=-(2k+1)2-44(k-) =(2k-3)2 不论k取何值时，(2k-3)20，即0。不论k取何值时，这个方程有两个实数根 当a是等腰三角形底边时，这时b、c即为等腰三角形两腰，则b=c方程有两个相等的实数根。则=(2k-3)2=0 k=原方程即为x2-4x+4=0 . b=c=2当b=c=2时，b+c=2+2=4=a 这与“三角形中两边之和大于第三边”相矛盾，故a不可能是此等腰三角形的底边当a是等腰三角形的腰时，这时，b、c中至少有一个值为4，把x=4代入原方程中，16-4(2k+1)+4(k-)=0 k=，则原方程为x2-6x+8=0 两根为x1=2，x2=4，即b、c两边一边为2，另一边为4，符合三角形三边之周关系，这时ABC的周长为a+b+c=4+(2+4)=10评注 要判断二次三项式的值的正负性，通常采用配方法，利用完全平方式的非负性来确定。由于本题中的a、b、c的值是三角形三边的长，必须满面足“两边之和大于第三边”否则就不能构成三角形的三边。在遇有等腰三角形的问题时，若未指明谁是腰，谁是底边时，一般要用分类讨论法解决问题。例3 已知关于x的一元二次方程x2+2px-p2-1=0的两个实数根为x1，x2.若此方程的两根之和不大于两根之积，求p的值。若p=-1，求x13+2x22+2x2的值。分析 利用根与系数关系建立关于p的不等式，由完全平方式的非负性，求出p的值。注意，最后一定要注意判别式的值为非负数。首先利用根的定义，对x13进行降次处理，把所求代数式转化成关于两根对称式的代数式，再利用根与系数的关系求出值来。解 x1，x2为方程两根x1+x2=-2p x1x2=-p2-1据题意，得x1+x2x1x2即-2p-p2-1p2-2p+10(p-1)20 ，则p=1当p=1时，原方程为x2+2x-2=0 =120所求p的值为1.当p=-1时，方程x2+2px-p2-1=0。为x2-2x-2=0，x1、x2为方程两负数根。由方程根的意义有：x12-2x1-2=0 即x12=2x1+2由根与系数关系有：x1+x2=2, x1x2=-2则x13+2x22+2x2=x1x12+2x22+2x2=x1(2x1+2)+2x22+2x2=2x21+2x1+2x22+2x2=2(x12+x22+x1+x2)=2(x1+x2)2-2x1x2+(x1+x2)=2(4+4+2)=20 评注 求关于一元二次方程的两根的代数式的值，如果代数式是关于两根的对称式，先把这个代数式通过变形化成两根之和及两根之积的形式，再把由根与系数的关系所得的两根之和及两根之积的值代入即可；如果代数式不是两根的对称式，则由根的定义，通过对其中的次数为二次或二次以上的根用代入法进行降次，直到化为两根的对称式为止。一句话，就是用根的定义，将非轮换对称式转化成换对称式来解决，这也体现了“转化与化解”的数学思想方法。例4 已知a、b、c是ABC的三边，a、b的值是方程x2-(4+c)x+4c+8=0的两个实根，且满足25asinA=9c(1)求证ABC是直角三角形；(2)求a、b、c三边的长。分析 (1)题中只给出了a、b的长是已知方程的两根。因此，根据根与系数的关系，通过探求出三角形三边a、b、c的关系，故可运用勾股定理的逆定理来证明ABC为直角三角形。(2)在(1)已证明了ABC为直角三角形的前提下，则SinA只可以用三角函数来表示边间的关系，根据边间关系及根与系数的关系，可求出a、b、c的值。解 (1)a、b是方程x2-(4+c)x+4c+8=0的两根a+b=4+c ab=4C+8a2+b2=(a+b)2-2ab=(4+c)2-2(4c+8)=c2即 a2+b2=c2 ABC为直角三角形(2)25aSinA=9c 且SinA=25a=9c ， =设a=3k c=5k，则b=将a=3k ， b=4k ， c=5k代入a+b=4+ck 3k+4k=4+5k k=2a=6 ， b=8 ， c=10。评注 (1)确定一个三角形为直角三角形一般从边和角这两个方面去判断，本题由于没有提供角的关系，虽然提供了三角函数，但三角函数关系式也只能在直角三角形中使用(本题本身就是要我们证明此三角形为直角三角形)，故本题若选择从角的方面来判断该三角形是行不通的，而本题已知边与方程根的关系，若运用根与系数的关系式，故可从边的角度来判断该三角形为直角三角形。(2)在直角三角形中，要注意用三角函数把问题转化成纯边(或纯角)的关系式来解决问题，本题(2)要求的是三角形的三边，则我们可以通过三角函数的关系式，将问题转化纯边来解决。在解题过程中，遇有边边之比的问题，则可引进比例系数k这个参数，要求三边，则即求比例系数k。例5 若a、b是实数，关于x的方程|x2+ax+b|=2有三个不相等的实根。(1)求证：a2-4b-8=0(2)若该方程三个不相等实根恰好为一个三角形内角的度数， 求证该三角形必有一内角是60。(3)若该方程三个根恰为一直角三角形三边，求a、b。分析 (1)由绝对值概念可得两个一元二次方程，有三个不相等的实数根，说明得到的两个方程中其中有一个方程有两个相等的实数根，或得到的两个方程中，必有一个公共的实根。(2)由三角形内角之和为180和根与系数的关系可求得必有一根为60。(3)先判断出直角三角形的斜边是第哪一个方程的根，再由勾股定理建立方程来求解。解 (1)证明：|x2+ax+b|=2x2+ax+b-2=0 x2+ax+b+2=0 显然方程和不可能有一公根，则方程和必有一个方程有两个相等的实数根。1=a2