讲稿 5 第五章 方差分析.doc

第五章 方差分析第五章 方差分析第三节 单向分组资料的方差分析一、组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析单向分组资料是指观察值仅按一个方向分组的资料，如前面2维数据表所示。所用的试验设计为完全随机试验设计。这是在k组处理中，每处理皆含有n个供试单位的资料。表5 单向分组资料的方差分析变 异来 源自由度DF平方和SS均 方MSF处理间k-1 误 差K(n-1) 总变异nk-1 例5.10 作一水稻施肥的盆栽试验，设5个处理，A和B系分别施用两种不同工艺流程的氨水，C施碳酸氢铵，D施尿素，E不施氮肥。每处理4盆(施肥处理的施肥量每盆皆为折合纯氮1.2克)，共54=20盆，随机放置于同一网室中，其稻谷产量(克/盆)列于表6.11，试测验各处理平均数的差异显著性。表5.11 水稻施肥盆栽试验的产量结果处 理观察值(yij)(克/盆) A (氨水1)24 30 28 2610827.0 B (氨水2)27 24 21 269824.5 C (碳酸氢铵)31 28 25 3011428.5 D (尿素)32 33 33 2812631.5 E (不施)21 22 16 218020.052626.3 分析步骤： (1) 自由度和平方和的分解 总变异自由度DFT=nk-1=54-1=19 处理间自由度DFt=k-1=5-1=4 误差(处理内)自由度DFe=k(n-1)=5(4-1)=15 矫正数 (2) F测验将上述结果录入表6.12，假设H0:，HA:不全相等。为了测验H0，计算处理间均方对误差均方的比率，算得，查F表当=4，=15时，F0.01=4.89，现实得F=11.19F0.01，故否定H0，推断这个试验的处理平均数间是有极显著差异的。表5.12 表5.11资料的方差分析变异来源DFSSMSFF0.01F0.01 处 理 间4301.275.3011.19*3.064.89 处理内(试验误)差)15101.06.73 总 变 异19402.2(3) 各处理平均数的比较算得单个平均数的标准误 根据=15，查SSR表得p=2，3，4，5时的与值，将值分别乘以SE值，即得值，列于表6.13。进而进行多重比较(表5.14)。表5.13 多重比较时的值计算p23.014.173.905.4133.164.374.105.6743.254.504.225.8453.314.584.295.94表5.54 施肥效果的显著性(SSR测验)处 理平均产量(克/盆)差异显著性5%1% 尿 素31.5 a A 碳酸氢铵28.5 ab AB 氨水127.0 bc AB 氨水224.0 c BC 不 施20.0 d C推断：根据表5.14多重比较结果可知，施用氮肥(A、B、C和D)与不施氮肥有显著差异，且施用尿素、碳酸氢铵、氨水1与不施氮肥均有极显著差异；尿素与碳酸氢铵、碳酸氢铵与氨水1、氨水1与氨水2处理间均无显著差异。二、组内又分亚组的单向分组资料的方差分析单向分组资料，如果每组又分若干个亚组，而每个亚组内又有若干个观察值，则为组内分亚组的单向分组资料，或称系统分组资料。系统分组并不限于组内仅分亚组，亚组内还可分小组，小组内还可分小亚组，如此一环套一环地分下去。这种试验称为巢式试验 (nested experiment）。 设一系统分组资料共有l组，每组内又分m个亚组，每一亚组内有n观察值，则该资料共有lmn个观察值，其资料类型如表6.17。表5.18 二级系统分组资料的方差分析变异来源DFSSMSF组 间 组内亚组间 亚 组 内 总 变 异 在56.18中，为测验各亚组间有无不同效应，即测验假设H0：=0，则 (532)而为测验各组间有无不同效应，测验假设：，或：,即:，则 (533) 这可从期望均方看出。 在进行组间平均数的多重比较时，单个平均数的标准误为： (534)若进行组内亚组间平均数的多重比较,则单个平均数标准误为： (535)例5.12 在温室内以4种培养液(=4)培养某作物,每种3盆(m=3)，每盆4株(n=4)，一个月后测定其株高生长量(mm)，得结果于表5.19，试作方差分析。表5.19 4种培养液下的株高增长量(mm)培养液ABCD总 和盆 号A1A2A3B1B2B3C1C2C3D1D2D3生长量503545505555856570606065553540456045607070558565403040505065908070354585354050455055856570707575盆总和180140175190215220320280280220265290培养液总和4956258807752775培养液平均41.352.173.364.6 (1) 自由度和平方和的分解 根据(526)(531)由表6.19可算得： 总变异自由度DFT=lmn-1=(434)-1=47 培养液间自由度DFt=l-1=4-1=3 培养液内盆间自由度=l(m-1)=4(3-1)=8 盆内株间自由度=lm(n-1)=43(4-1)=36 总变异平方和=172025-C=11595.31 培养液间平方和 =167556.25-C=7126.56 培养液内盆间平方和 =168818.75-167556.25=1262.50 盆内株间平方和=172025-168818.75=3206.25 (2) F测验由上述结果得表5.20。表5.20 表5.19资料的方差分析变异来源DFSSMSFF0.05F0.01 培养液间 37126.562375.5215.05*4.077.59 培养液内亚组间间 81262.50157.811.772.223.04 盆内株间363206.2589.06 总 变 异4711595.31 盆间差异（组内亚组间）的F测验，假设H0：，求得： 此F值小于8，36的F0.05=2.22，所以接受H0：。对培养液间（组间）有无不同效应作F测验，假设H0：=0，求得： 此F值大于3，8的F0.01=7.59，故否定H0：=0，接受HA：0。推断：该试验同一培养液内各盆间的生长量无显著差异；而不同培养液间的生长量有极显著的差异。故前者不需再作多重比较，后者则需进一步测验各平均数间的差异显著性。(3) 各培养液平均数间的比较根据期望均方，培养液平均数间的比较应用，求得： 按8，由附表7查得p=2，3，4时的SSR0.05和SSR0.01值，并算得各LSR值列于表5.21。由LSR值对4种培养液植株生长量进行差异显著性测验的结果列于表5.22。表5.21 4种培养液的LSR值(新复极差测验)PSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0123.264.7411.8317.2133.395.0012.3118.1543.475.1412.6018.66表5.22 4种培养液植株生长量(mm)的差异显著性培养液平均生长量差异显著性0.050.01C73.3 a AD64.6 a ABB52.1 b BCA41.3 b C 由表5.22可见，4种培养液对生长量的效应，除C与D、B与A差异不显著外，其余对比均有显著或极显著差异。第四节 两向分组资料的方差分析两因素试验中若因素A的每个水平与因素B的每个水平均衡相遇(或称正交)，则所得试验数据按两个因素交叉分组称为两向分组资料。例如选用几种温度和几种培养基培养某种真菌，研究其生长速度，其每一观察值都是某一温度和某一培养基组合同时作用的结果，故属两向分组资料。两向分组又叫交叉分组。按完全随机设计的两因素试验数据，都是两向分组资料，其方差分析按各组合内有无重复观察值分为两种不同情况，本节将予讨论。其他设计的两向分组资料，则留待以后介绍。一、组合内只有单个观察值的两向分组资料的方差分析 设有A和B两个因素，A因素有a个水平，B因素有b个水平，每一处理组合仅有1个观察值，则全试验共有ab个观察值，其资料类型如表5.23。表5.23 完全随机设计的二因素试验每处理组合只有一个观察值的数据结构（i=1，2，a；j=1，2，b）A 因 素B 因 素总计Ti.平均B1B2BbA1y11y12y1bT1.A2y21y22y2bT2.Aaya1ya2yab总和 T.1T.2T.bT.平均 表5.24 表5.23类型资料自由度和平方和的分解及方差分析变异来源DFSSMSFA因素 a-1B因素 b-1误 差(a-1)(b-1)总变异 ab-1表5.23类型资料的总变异()可分解为A因素的效应、B因素的效应和试验误差三个部分。其各项变异来源自由度和平方和的估计及方差分析见表5.24。表5.24中F测验所作假设为H0：=0；H0：=0。上述这种试验资料如果A、B存在互作，则与误差混淆，因而无法分析互作，也不能取得合理的试验误差估计。只有AB互作不存在时，才能正确估计误差。例5.13 采用5种生长素处理豌豆，未处理为对照，待种子发芽后，分别每盆中移植4株，每组为6盆，每盆一个处理，试验共有4组24盆，并按组排于温室中，使同组各盆的环境条件一致。当各盆见第一朵花时记录4株豌豆的总节间数，结果列于表5.25，试作方差分析。表5.25 生长素处理豌豆的试验结果处 理 (A)组 (B) 总和平均未处理(CK)6062616024360.8赤霉素6565686526365.8动力精6361616024561.3吲哚乙酸6467636125563.8硫酸腺嘌吟6265626425363.3马来酸6162626525062.5总和375382377375T=1509（本例题也可以用单向分组资料的分析方法但误差项自由度不同，含义不同）(1) 自由度和平方和的分解根据表6.24将各项自由度直接填于表6.26。以下分解平方和，求得： 表5.26 表5.25资料的方差分析变异来源DFSSMSFF0.05组 间 35.451.821处 理 间 565.8713.174.562.90误 差1543.302.89总 变 异23114.62 (2) F测验 上表对组间有无不同效应作F测验，假设H0：=0，得： 1 对处理间有无不同效应作F测验有H0：=0得： F0.05推断：组间环境条件无显著差异，不同生长素处理间有显著差异。(3) 处理间比较 此例有预先指定的对照，故用LSD法。求得： (节间)查得=15时，t0.05=2.131，t0.01=2.947，故： LSD0.05=1.2022.131=2.56(节间)， LSD0.01=1.2022.947=3.54(节间)以LSD测验各生长素处理与对照的差异显著性于表5.27。结果赤霉素的效应最强，吲哚乙酸次之，其余处理皆与对照无显著差异。表5.27 豌豆生长素处理后始花时的节间数(4株总和)处 理平 均 数与对照的差数对 照60.8-赤 霉 素65.85.0*动 力 精61.30.5吲 哚 乙 酸63.83.0*硫 酸 腺 嘌 吟63.32.5马 来 酸62.51.7二、组合内有重复观察值的两向分组资料的方差分析设有A、B两个试验因素，A因素有a个水平，B因素有b个水平，共有ab个处理组合，每一组合有n个观察值，则该资料有abn个观察值。如果试验按完全随机设计，则其资料类型如表6.28。表6.28 完全随机设计的二因素试验，每处理组合有重复观察值的数据结构 (i=1，2，a；j=1,2，b；k=1,2，n)A因素B因素总和平均B1B2BbTiA1y111y121y1b1T1y112y122y1b2y11ny12ny1bnA2y211y221y2b1T2y212y222y2b2y21ny22ny2bnAaya11ya21yab1Taya12ya22yab2ya1nya2nyabn总和TjT1T2TbT平均 表5.28类型资料的总变异()可分解为A因素效应、B因素效应、AB互作和试验误差四个部分。其各变异来源的自由度和平方和估计可见表5.29。表5.29 表5.28类型资料自由度和平方和的分解(C=T 2/abn)变异来源DFSSMS 处理组合 ab-1 a-1 MSA= b-1 MSB= (a-1)(b-1) MSAB= 试验误差 ab(n-1) MSe= 总 变 异 abn-1 在上述测验中，互作的分析非常重要。通常首先应由测验互作的显著性。如果互作不显著，则必须进而对A、B效应的显著性作测验；以为F测验的分母。如果互作是显著的，则可以不必再测验A、B效应的显著性，而直接进入各处理组合的多重比较，当然虽然习惯上往往仍对各因素效应作测验的。因为在互作显著时，因素平均效应的显著性在实际应用的意义并不重要。表5.31 3种肥料施于3种土壤的小麦产量（g）(a=3,b=3,n=3,abn=27)肥料种类(A)盆土壤种类(B)总和平均B1(油砂)B2(二合)B2(白僵)A1121.419.617.6221.218.816.6169.218.8320.116.417.562.754.851.7A2112.013.013.3214.213.714.0118.213.1312.112.013.938.338.741.2A3112.814.212.0213.813.614.6122.013.6313.713.314.040.341.140.6总 和141.3134.6133.5T=409.4平 均15.715.014.8例5.14 施用A1、A2、A3 3种肥料于B1、B2、B3 3种土壤，以小麦为指示作物，每处理组合种3盆，得产量结果(g)于表5.31。试作方差分析。(1) 自由度和平方和的分解 根据上表，将各项变异来源的自由度填于表6.32。以下分解平方和，求得： 表5.32 表5.31资料的方差分析变异来源DFSSMSFF0.01 处理组合间8202.5889.6996.65*6.01 2179.3889.6996.65*6.01 23.961.982.136.01 419.244.815.18*4.58 试验误差1816.700.928 总 变 异26219.28 (2) F测验将上述结果录于表5.32F=4.81/0.928 =5.18F0.01；F=89.69/0.928=96.65F0.01；F=1.98/0.928=2.13F0.05。所以该试验肥类土类的互作和肥类的效应间差异都是极显著的，而土类间无显著差异。(3) 平均数的比较 各处理组合平均数的比较：肥类土类的互作显著，说明各处理组合的效应不是各单因素效应的简单相加，而是肥类效应随土类而不同(或反之)；所以宜进一步比较各处理组合的平均数。在此用新复极差测验，求得： 根据，算得各LSR0.05和LSR0.01的值于表5.33。表5.33 表5.31资料各处理组合平均数的LSR值(新复极差测验)p23456789SSR0.052.973.123.213.273.323.353.373.39SSR0.014.074.274.384.464.534.594.644.68LSR0.051.651.731.781.821.851.861.871.88LSR0.012