建筑力学-第九章概要

第九章静定结构的位移计算 9 1概述 9 2虚功原理和单位荷载法 9 3静定结构在荷载作用下的位移计算 9 4图乘法 9 5静定结构由于支座位移所引起的位移 9 6互等定理 第九章静定结构的位移计算 9 1概述 一 结构位移的定义 结构在荷载或其它因素作用下 会发生变形 由于变形 结构上各点的位置将会移动 杆件的横截面会转动 这些移动和转动称为结构的位移 Displacement 二 位移的分类 位移 线位移 截面形心的直线移动距离 角位移 截面的转角 angleofrotation 移位 绝对位移 相对位移 广义位移 三 刚架的位移举例 A点的线位移 水平线位移 竖向线位移 截面A的角位移 C D两点的水平相对线位移 A B两个截面的相对转角 四 引起位移的原因 一般有 荷载 如前两刚架 温度改变 如图a 支座移动 如图b 材料收缩 制造误差等 五 计算位移的目的 有以下三个方面 1 验算结构刚度 即验算结构的位移是否超过允许的位移限制值 2 为超静定结构的计算打基础 在计算超静定结构内力时 除利用静力平衡条件外 还需要考虑变形协调条件 因此需计算结构的位移 3 在结构的制作 架设 养护过程中 有时需预先知道结构的变形情况 以便采取一定的施工措施 因而也需要进行位移计算 9 2虚功原理和单位荷载法 一 变形体的虚功原理 ThePrincipleofVirtualWorkforDeformableBodies 功 力对物体在一段路程上累积效应的量度 也是传递和转换能量的量度 实功 力在自身引起的位移上所作的功 当静力加载时 即 FP1由0增加至FP111由0增加至11 力Fp1在位移11上作的实功 虚功 力在其他因素引起的位移上作的功其特点是位移与作功的力无关 在作功的过程中 力的大小保持不变 梁弯曲后 再在点2处加静力荷载FP2 梁产生新的弯曲 位移 12为力FP2引起的FP1的作用点沿方向的位移 力FP1在位移 12上作了功 为虚功 大小为 在小变形条件下 由图示的原始形状 尺寸计算 并称此状态为虚功计算的位移状态 与之相应 FP1单独作用的状态为虚功计算的力状态 当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功时 力状态的内力也在位移状态各微段的变形上作内力虚功 根据功和能的原理可得变形体的虚功原理 虚功原理也可以简述为 外力的虚功等于内力的虚变形功 任何一个处于平衡状态的变形体 当发生任意一个虚位移时 变形体所受外力在虚位移上所作虚功的总和 等于变形体的内力在虚位移的相应变形上所作虚功的总和 二 单位荷载法 2 计算结构位移的一般公式 1 定义 应用虚功原理 通过加单位荷载求实际位移的方法 经进一步推导 可得 式中 E 弹性模量 G 剪切模量 A 横截面积 I 截面惯性矩 K 截面形状系数 一 静定结构在荷载作用下的位移公式 如果结构只有荷载作用 因支座移动引起的刚体位移Ci 0 位移公式则为 9 3静定结构在荷载作用下的位移计算 弯矩的影响 剪力的影响 轴力的影响 二 各类杆件结构在荷载作用下的位移公式 1 梁和刚架 梁式杆的位移中弯矩的影响是主要的 位移计算公式中取第一项便具有足够的工程精度 2 桁架 各杆为链杆 而且是同材料的等直杆 杆内只有轴力 且处处相等 因而只取公式中的第二项并简化为实用的形式 3 组合结构 既有梁式杆 又有链杆 取用公式中的前两项 4 拱 Arch 一般计轴力 弯矩的影响 剪切变形的影响忽略不计 三 虚拟状态的选取 欲求结构在荷载作用下的指定位移 须取相应的虚拟状态 即取同一结构 在要求位移的地方 沿着要求位移的方位虚加单位荷载 1 欲求一点的线位移 加一个单位集中力 2 欲求一处的角位移 加一个单位集中力偶 3 欲求两点的相对线位移 在两点的连线上加一对指向相反的单位集中力 4 欲求两处的相对角位移 加一对指向相反的单位集中力偶 5 欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对平行 反向的集中力 两力形成单位力偶 力偶臂为d 每一力的大小为1 d 力和力偶统称为广义力 单位广义力用表示 线位移和角位移统称广义位移 用 表示 单位广义力有截然相反的两种设向 计算出的广义位移则有正负之分 正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同 负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反 四 静定桁架的位移计算 计算步骤为 1 设虚拟状态 2 计算 3 用桁架的位移计算公式计算位移 例9 1图示桁架各杆的EA相等 求C结点的竖向位移 解 1 设虚拟状态 如上图b所示 2 计算 标于图b a 3 代公式求C点的竖向位移 例9 2图示钢桁架 图中括号内数值为杆件横截面面积 单位cm2 许可挠度与跨长的比值 试校核桁架的刚度 解 对称简支桁架在对称荷载作用下 最大挠度发生在桁架的对称面处 须计算结点3的竖向位移 然后进行刚度校核 1 建立虚拟状态 如图b所示 2 计算 N和FNP 并标于图b a上 3 求3点的竖向位移 进行刚度校核 计算半个桁架的 列表如下 根据上表 得 所以 桁架满足刚度条件 五 梁的位移及刚度校核 1 梁的位移 挠度 Deflection 横截面形心在垂直于轴线方向的线位移 用w表示 规定w向下为正 转角 横截面的角位移 规定顺时针转为正 在工程设计手册中列有常见梁的位移的计算结果 如表9 1所示 可供计算时查用 表9 1梁的挠度与转角公式 续表 续表 2 梁的刚度校核 梁的位移过大 则不能正常工作 对于梁的挠度 其许可值以许可的挠度与梁跨长之比为标准 在工程上 吊车梁的 1 600 铁路钢桁梁的 1 900 梁的刚度条件为 例9 3图示简支梁由工字钢制成 跨度中点处承受集中载荷Fp 已知Fp 40KN 跨度3m 许用应力 160MPa 许用挠度 弹性模量E 2 105MPa 试选择工字钢的型号 解 1 按强度条件选择工字钢型号 梁的最大弯矩为 按弯曲正应力强度条件选截面 查型钢表选用20a工字钢 其弯曲截面系数为237cm3 惯性矩I 2370cm4 2 校核梁的刚度 梁的刚度足够 因此 可选用20a工字钢 3 提高梁抗弯刚度的措施 梁的挠度和转角与梁的抗弯刚度EI 梁的跨度L 荷载作用情况有关 那么 要提高梁的抗弯刚度可以采取以下措施 增大梁的抗弯刚度EI 增大梁的EI值主要是设法增大梁截面的惯性矩I值 一般不采用增大E值的方法 在截面面积不变的情况下 采用合理的截面形状 可提高惯性矩I 2 减小梁的跨度L 梁的变形与其跨度的n次幂成正比 设法减小梁的跨度L 将有效地减小梁的变形 从而提高其刚度 在结构构造允许的情况下 可采用两种办法减小L值 增加中间支座 而 两端支座内移 如图所示 将简支梁的支座向中间移动而变成外伸梁 一方面减小了梁的跨度 从而减小梁跨中的最大挠度 另一方面在梁外伸部分的荷载作用下 使梁跨中产生向上的挠度 图c 从而使梁中段在荷载作用下产生的向下的挠度被抵消一部分 减小了梁跨中的最大挠度值 3 改善荷载的作用情况 在结构允许的情况下 合理地调整荷载的位置及分布情况 以降低弯矩 从而减小梁的变形 提高其刚度 如图所示 将集中力分散作用 甚至改为分布荷载 则弯矩降低 从而梁的变形减小 刚度提高 一 图乘法原理 1 图乘法的适用条件 1 杆段的轴线为直线 2 杆段的弯曲刚度EI为常数 直梁和刚架的位移公式则为 3 图和图中至少有一个直线图形 9 4图乘法 2 图乘法原理 图乘法求位移的一般表达式为 注意 1 应取自直线图中 2 若A与在杆件的同侧 取正值 反之 取负值 3 如图形较复杂 可分解为简单图形 3 图乘法的步骤 1 设虚拟状态 2 画图 图 3 图乘求位移 下面介绍几个规则图形的面积和形心位置 4 图形的分解 当图形的面积和形心不便确定时 可以将其分解成几个简单的图形 分别与另一图形相应的纵坐标相乘 梯 梯同侧组合 梯 梯同侧组合 曲 折组合 阶梯形截面杆 二 图乘法计算直梁和刚架的位移 下面举例应用图乘法求直梁和刚架的位移 例9 4试求图a所示外伸梁C点的竖向位移 cv 梁的EI 常数 解 MP 图分别如图 b c 所示 BC段的MP图是标准二次抛物线 AB段的MP图较复杂 但可将其分解为一个三角形和一个标准二次抛物线图形 由图乘法得 代入以上数据 于是 例9 5试求图a所示伸臂梁C点的竖向位移 cv 解 荷载弯矩图和单位弯矩图如图bc所示 在AB段 MP和 图均是三角形 在BC段 MP图可看作是由B C两端的弯矩竖标所连成的三角形与相应简支梁在均布荷载作用下的标准抛物线图 即图b中虚线与曲线之间包含的面积 叠加而成 将上述各部分分别图乘再叠加 即得 例11 6试求图 a 所示刚架结点B的水平位移 BH 设各杆为矩形截面 截面尺寸为bxh 惯性矩 E为常数 只考虑弯矩变形的影响 解 先作出MP图和 图 分别如图 b c 所示 应用图乘法求得结点B的水平位移为 静定结构由于支座移动并不产生内力也无变形 只发生刚体位移 如图a所示静定结构 其支座发生水平位移C1 竖向位移C2和转角C3 现要求由此引起的任一点沿任一方向的位移 例如求k点竖向位移 K 9 5静定结构由于支座位移所引起的位移 这种位移仍用虚功原理来计算 由位移计算的一般公式 因为从实际状态中取出的微段ds的变形为d du 于是上式可简化为 这就是静定结构在支座位移时的位移计算 公式 式中 为虚拟状态图b的支座反力 Ci为实际状态的支座位移 Ci为反 力虚功 当 与实际支座位移Ci的方向一致时其乘积取正 相反时取负 此外 上式右边前面还有一个负号 不可漏掉 例9 7 图 a 所示静定刚架 若支架A发生图示的位移 a 1 0cm b 1 5cm cH 竖向位移 Cv 试求C点的水平位移 解 在C点处分别加一水平和竖向的单位力 求出其支座反力如图 b c 所示 由公式 得 cH 1 1 0 1 1 5 0 5cm cv 1 5 1 1 5cm 一 功的互等定理 图示结构的两种状态 分别作用FP1和FP2 称之为第一状态和第二状态 9 6互等定理 虚功W12为 虚功W21为 比较 得 W12 W21 即 功的互等定理 第一状态的外力在第二状态的相应位移上所作的外力虚功 等于第二状态的外力在第一状态的相应位移上所作的外力虚功 二 位移互等定理 条件 在结构的两种状态中都只作用一个荷载 且为单位荷载 单位荷载所引起的位移称为位移系数 用 表示 图a b 根据功的互等定理 即 位移互等定理 第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向的位移 等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移 上述定理中 单位力可以是广义单位力 相应的位移系数亦为广义位移 可能含义不同 但数值相等 即 三 反力互等定理 反力互等定理也是功的互等定理的一种应用 它反映在