素材：高中数学备课参考数学通报数学问题解答0010.doc

2000年第 10期数学通报46 数学问题解答 2000年 9月号问题解答 (2)当 1 + 1 + 1 1 + 1 + 1 时 ,(解答由问题提供人给出 ) ab bc ca a b c 1271已知 a,b, c R+,求证 :当 abc 1 b12 c+c 12 a+a 12 b+ 1 c+ 1 a+ 1 b 时 ,ba +cb+ac a + b+ c.2 ( 1 + 1 + 1 )bc ca ab当 abc 1时 ,ba+cb+ac + 1 a+ 1 b+ 1 c1 + 证明当 abc 1时 , cb (1)当 a b cb c a+ + +ab+bc+ca 2 (a + b+ c)a + b+ c ab+ bc+ ca时 ,2 (+ 1 )-( 1 + 1 + 1 )bc ca abcab 111 + abc a+b+c abc ( b12 c+c 12 a+a 12 b) bca 1112 (a+b+c) -(ab+bc+ca) abc ( + +) abc a+b+c (2)当 ab+ bc+ ca a+b+c时 , 1 a+ 1 b+ 1 c a 2 c+b2 a+c2 b+c+ a+b a+ b+c 1 + 1 + 1 2 (ac+ba+cb)bca abc a 2 c+b2 a+c2 b 综上 (1)和 (2)可知 ,当 abc 1时 , 2 (ac+ba+cb) -(c+a+b) a abc 111 + +bca abc+b+c(a 2 c+b2 a+c2 b) (江苏省张家港职业高中215600韩文 abc 美) (a + b+ c) 1272设 a1 ,a2 , , an为小于 c的正数 ,且 i= 1 ai = abc a+b+cS,求证 : ba+cb+ac (1)i= 1 c -ai ai nc nS -S ; a+b+c2 综上 (1)和 (2)可知当 abc 1时 ,(2)i= 1 c a-i ai nc S-2 S.ba +cb +ac a+b+c证明因 ai 0 ,且 i= 1 ti=nc -S),则 (1)当 1 + 1 + 1 1 + 1 + 1 时 ,(1) ai =c-ti= c-1 ,a b c ab bc cac-ai ti ti a+b+c+ 1 + 1 + 1 左边 =cn 1 -nb c a ab bc ca i= 1 ti1112 (+)c 1bca =ti -n nc -Si= n1 i = n1 ti ba +cb +ac n 2 c -n= nS .nc -S nc -S111 1112 (b + c + a) -(ab +bc +ca ) 当且仅当 t1 =t2 = = tn,即 a1 =a2 = 1 a+ 1 b+ 1 c =an=nS 时 ,等号成立 . 2000年第 10期数学通报2ai (c-ti) 2 c(2)= =-2 c + ti,c-ai ti ti 左边 =c 2i= 11 ti -2 nc +i= 1 ti c 1 = ti -nc -S nc -Si= 1 i= 1 ti 22 nc -nc -S nc -S S2 =. 2 求证 d1 =d2 +d3证明作 PP1 BC于 P1 ,作 PP2 AC于 P2 ,作 PP3 AB于 P3 ,连结 EF交 PP1于 H,显然 A EF也是正三角形 ,它的高必等于 HP1 ,故有 : HP1 = PH+ PP2 + PP3 , PP1 = 2 PH+ PP2 + PP3 再连结 PE、PF、HP2、HP3 .易证 :P、H、F、P3四点共圆 , P、H、F、P2四点共圆 .考虑到弦切角定理 ,得 : PHP2 = PFP2 = PEF = PEH = PP3 H;而 HPP2 = 180-A FE = 180-A EF = P3 PH;PH PP2 PHP2 PP3 H PP3 = PH PH = PP2 PP3 将 代入 : PP1 = PP2 + 2 PP2 PP3 + PP3故有 : PP1 = PP2 + PP3 . (安徽怀宁江镇中学 246142黄全福 ) 1274求证 n102 + (n01 + 1) 2 + +n 12 n-n0 + 1 (n0 ,n N且 n n0 2)n0 n 证明对任意 k N且 1 n0 k n, 1 n0 (k -1)k 11 11 =( -) n0 k-1 k (k2 n0 -1)k2 n0 -11 1 ( -),n0 k-1 k 从而可得 n 120 + (n01 + 1) 2 + +n 12 n0 -111 11( -)+(-)+ + n0 n0 -1 n0 n0 n0 + 111 n0 -11 1( -)= ( -)= n-1 nn0 n0 -1 n n-n0 + 1 . n0 n (云南会泽二中 654211张国坤 ) 1275试求所有函数 f :R R,使对任何 x,y R,都有 2)f(x f(y) = f(x y-2 x 2 f(y) -f(x) 1. 解在 中取 x= 0得 :f (0) =-1 在 中取 y= 0得 : 2f(x) +f (-x) = 2 x-2 在 中用 -x代替 x得 : 2f(-x f(y) = f(-x y 2)-2 x f ( y) -f(-x) -1 由 +再利用 得 : 2 2422 x f 2 (y) = 2 xy -4 x f(y) 22 x 即 x 2 f 2 (y) + 2 x 2 f(y) +x2 =x 2 y 4 ,再由两边约去 x(令 x 0)得 : 4f 2 (y) + 2 f(y) + 1 =y,即 (f(y) + 1) 2 =y 4 ,2000年第 10期数学通报48 亦即| f(y) + 1 |=y 2 在中用 -y代替 y并利用得 : | f(-y) + 1 |=y 2 ,即| -f(y) + 2 y 2 -1 |=y 2 由中看到 :若对于某个 y 0有 f(y) + 1 =-y 2 ,即 f(y) =-y 2 -1 ,则把它代入得 : | 3 y 2 |=y 2 ,这意味着 y= 0 ,这与前面假定 y 0矛盾 !因此对每个 y 0 ,都有 f(y) + 1 =y 2 ,2 zx 1 2 22 x +y+zx+y 2 (湖北省潜江艺师433100杨文堂) 1278若 a,b,c 0 ,且 a+b+c = 1 , 0 ,求证 : 2 + 3 + 1 3 a+ + 3 b+ + 3 c+ 3 27 + 9前者等号仅当 a,b,c个取1 ,另两个取(上接封三)王光明 (天津师范大学数学系、数学教育学报编辑部)张燕勤 (首都师范大学数学系)朱元国 (江西省赣南师范学院数学与计算机系) )全国第五届交流会将于 2003年在江西举行 ,由江西省数学会初等数学专业委员会负责筹备. “青年初等数学研究奖”,每次在不超过 40岁的申请者撰写的论文中评选获奖者至多 5名 ;提名奖至多 10名.在会议召开前评审 ,在交