思修说课教案(爱国主义).doc

精品文档20162017学年度第一学期章 节2.2以爱国主义为核心的民族精神授课班级2017级数学教育1、2班授课时间2017 年11月11日授课类型理论学时数 2 学时教学目的1、掌握爱国主义的科学内涵和基本要求2、了解中华民族的爱国主义优良传统3、理解爱国主义的时代价值教 学重点和难点重点：1、爱国主义的科学内涵 2、爱国主义的时代价值难点：如何实现从爱国情感到爱国觉悟和爱国行为的升华教学(具)准备多媒体课件教学方法启发式、讨论法教学主要内容一、爱国主义的科学内涵二、爱国主义的传统三、爱国主义的时代价值教 学 过 程 设 计备 注一、导入新课 案例分析钱学森的爱国心二、 讲授新课（一） 爱国主义的科学内涵 观看爱国主义教育电影战狼二赏析讨论：个人英雄主义与民族英雄主义？第一， 爱国主义首先表现为爱国情感，是一种热爱祖国和民族的深厚情感。第二， 爱国主义是基本的思想观念，是一种正确认识和处理个人与祖国关系的崇高觉悟。第三， 爱国主义是公民应当遵循的基本行为规范，是一种道德要求、政治原则和法律规范。（二） 爱国主义的优良传统（图片）案例：打砸在华日本商店是正常的爱国行为吗？（摒弃狭隘民族主义、理性爱国）1、热爱祖国 矢志不渝：“苟利国家生死以，岂因祸福避趋之”“位卑未敢忘忧国”“报国之心，死而后已”。2、天下兴亡 匹夫有责：“天下兴亡、匹夫有责”、“先天下之忧而忧、后天下之乐而乐”。3、维护统一 反对分裂：“民族团结和睦是我国各族人民的共同心愿。统一是我国历史发展的主流”。4、同仇敌忾 抗御外侮：“中华民族爱好和平与自由，但决不能忍受外来的侵略和压迫。面对外来侵略，各族人民总是能团结一致，同仇敌忾，奋起反抗。”（三） 爱国主义的时代价值案例汶川地震等自然灾害时候爱国举措1、 爱国主义是中华民族继往开来的精神支柱2、 爱国主义是维护祖国统一和民族团结的纽带3、 实现中华民族复兴的动力4、 实现人生价值的力量源泉三、课堂小结回顾爱国主义的内涵、爱国主义的传统、爱国主义的时代价值四、布置作业发现身边的爱国英雄，撰写一份爱国英雄的事迹提问启发学生寻找个人与祖国关系，得出结论启发学生联想了解的爱国事迹寻找身边的爱国事迹学生总结本堂课知识，不足的教师补充板 书 设 计一、爱国主义的科学内涵二、爱国主义的优良传统三、爱国主义的时代价值 （一）爱国主义是中华民族继往开来的精神支柱 （二）爱国主义是维护祖国统一和民族团结的纽带 （三）爱国主义是实现中华民族复兴的动力 （四）爱国主义是个人实现人生价值的力量源泉教学反思章 节1.2复平面上的点集 1.3复变函数(一)授课班级2015级数学教育 班授课时间20 年 月 日授课类型理论学时数 学时教学目的1.熟悉平面点集基本概念，熟练区分简单闭曲线、光滑曲线和区域2.对复变函数概念有初步了解教 学重点和难点重点：区域的概念. 难点：复变函数概念的理解.教学(具)准备三角板、圆规教学方法讲授法、讨论法教学主要内容一、平面点集的几个基本概念二、复变函数的概念教 学 过 程 设 计备 注一、导入新课1.提问数学分析中聚点、孤立点、边界点、有(无)界集概念.2.回忆上节提到的线段、直线等，它们都是复平面的点集，后续课中讲到解析函数，其定义域、值域均为复平面上某点集.二、讲授新课（一）平面点集基本概念 1.点集的基本概念(1)的邻域,的去心邻域(2)聚点、内点、孤立点、外点、边界点、边界(3)闭集、开集；有界集、无界集(4)区域、闭域充分理解上述定义，得出以下结论：1)内点必为聚点；2)聚点可能属于E，可能不属于E；3)孤立点必为边界点；4)有边界的不一定是有界集，无边界的必为无界集. 例1.7 (1)带形区域(图1-3)；(2)同心圆环区域(图1-4)图1-3 图1-42.若当曲线 图1-5非简单曲线 图1-6简单曲线 图1-7非简单闭曲线 图1-8简单闭曲线 图1-9光滑曲线 图1-10 光滑闭曲线（二）复变函数1.定义(图1-11)单值， 多值图1-112.代数式，指数式 例1.8 设有函数试问它把平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线？(1)以原点为心,2为半径,在第一象限例的圆弧；(2)倾角的直线；(3)双曲线. 解 设，则(1)对应平面的图形为以原点为心，4为半径，在轴上方的半圆周(2)射线(3) ，故，所以在平面上的像为直线.三、课堂练习 设函数 (1) (2),分别写成什么形式？四、课堂小结 若当曲线与区域的概念；复变函数的概念五、布置作业P4310、11邻域为复数列与极限论的基础此部分内容师生共同讨论完成对于若当曲线，给出图形举例，省去繁琐而抽象的定义赘述对比数学分析中函数的概念,找到异同点解释复变函数的图象需要四维空间，不能形象描述提示学生前两题考虑模与辐角，三题考虑代数关系，师生共同讨论完成学生总结本堂课知识，不足的教师补充板 书 设 计板书11、平面点集基本概念 结论 画图解释 2、若当曲线与区域 画图解释若当曲线 例题板书2画图解释区域 2、复变函数 例题 定义 两种形式 教学反思章 节1.3复变函数(二) 1.4复球面与无穷远点授课班级2015级数学教育 班授课时间20 年 月 日授课类型理论学时数 学时教学目的1.理解复变函数的性质，会应用极限、连续解决相关问题 2.充分理解无穷远点与复球面的概念 3.培养学生类比、归纳的能力教 学重点和难点重点：复变函数的极限与连续难点：利用极限、连续的语言解决问题教学(具)准备三角板、圆规教学方法讲授法、讨论法教学主要内容1.复变函数的极限与连续 2.利用极限、连续的语言证明相关结论 3.复球面与无穷远点教 学 过 程 设 计备 注一、复习旧知、导入新课提问：数学分析中函数极限和连续的概念二、讲授新课（一）复变函数的极限与连续 1.极限 注：指沿四面八方通向的任何路径趋近于. 定理1.1 的充要条件为，.证 由于有 ，则 即， 由，有和于是即 2.连续 例1.9 证明在原点无极限，从而在原点不连续. 解 . 设，则=.极限不存在，故在原点不连续 例1.10 设，则在的某去心邻域内有界. 析：要找到某一,使.由知有.在此式中想解出，需要利用绝对值不等式 ，解出 例1.11 设，则在的某邻域内恒不为零. 析：即证，由有有想证利用绝对值不等式得只需取即可. 此题过程由学生完成.（二）复球面与无穷远点1.无穷远点的引入：首节课引例3知球面上点在平面上无对应点，引入无穷远点与之对应，得到扩充复平面，与之对应的球面为复球面.扩充复平面的一个几何模型就是复球面.2. 3.相关结论：复平面以点为唯一边界点，扩充复平面以点为内点，且它是唯一无边界区域.三、课堂练习 设函数 试证：在原点不连续.四、课堂小结 复变函数极限和连续的语言，复球面与扩充复平面的概念五、布置作业P44-14、15对比数学分析中的相关定义书上的证明过程比较简洁，不易理解，将详细证明过程板书演示连续满足三点，和实函数相同提问：如果设，可否证明得出相应结论？两道例题由教师分析解题思路，证明过程由师生共同完成提问：是否可取其他值？只要取都可证明学生总结本堂课知识，不足的教师补充板 书 设 计板书11、复变函数的极限与连续 定理与证明 (2)连续定义 (1)极限定义 例1.9 板书2例题1.10 例1.11 2.复球面与无穷远点 (1)复球面、扩充复平面定义 (2)邻域、去心邻域 (3)结论 教学反思章 节2.1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程授课班级2015级数学教育 班授课时间20 年 月 日授课类型理论学时数 学时教学目的1.掌握复变函数的导数与微分的概念 2.了解解析函数的概念，掌握判断解析函数的方法 3.培养学生类比、归纳的能力教 学重点和难点重点：解析函数的判断方法难点：解析函数必要、充要条件定理的证明教学(具)准备三角板教学方法讲授法、讨论法教学主要内容一、复变函数的导数与微分 二、解析函数及其简单性质 三、C.-R.方程教 学 过 程 设 计备 注一、导入新课复变函数研究的主要对象为解析函数，它是一类具有某种特性的可为函数，本节我们来研究这类函数和它的性质.二、讲授新课（一）解析函数 1.导数 2.微分 结论：(1)在一点可导可微 (2)可微连续 例2.1 证明在平面处处不可微 证 ，当分别取实数和纯虚数时，极限不同，则极限不存在，从而在平面处处不可微.例2.2 求的导数 （二）解析函数及其简单性质1. 解析函数：在区域内可微，则称为内的解析函数“解析”概念解释：(1)在解析：在的某一邻域内解析；(2)在区域解析：在区域可微；(3)在闭域解析：在包含闭域的区域解析.经过上述解释，可得以下结论：(1)在解析在可微；(2) 在区域解析在区域可微2. 奇点：不解析点(无定义、不连续、不可导)（三）柯西-黎曼方程1. C.-R.方程的引出假设是复变函数的一个定义在区域内的函数.当二元实函数给定时，此函数也就完全确定.一般说来，如果函数相互独立，即使函数对所有的偏导数都存在，函数通常仍是不可微的.例如，处处连续，并且对的一切偏导数都存在且连续，但却是一个处处不可微的函数.提出想法：如果函数是可微的，它的实部与虚部应不是独立的，而必须适合一定的条件，下面我们来探讨这种条件。探讨：若在一点可微，则有 (2.1)设,则(2.1)变为 (2.2)先设，则(2.2)式变为即 (2.3)再设，则(2.2)式变为即 (2.4)比较(2.3)与(2.4)得出 (C.-R.)上述方程称为柯西黎曼方程，简称为C.-R.方程. 2. 函数若在一点可微必要条件：在满足C.-R.方程.充要条件：在可微；在满足C.-R.方程.充分条件：在连续；在满足C.-R.方程. 3. 函数若在区域解析充要条件：在区域可微；在区域满足C.-R.方程.充分条件：在区域连续；在区域满足C.-R.方程. 4. 求导公式例2.3 讨论函数的解析性解 ，故.又这四个偏导数在平面上处处连续，则只在可微，但在整个平面上处处不解析.例2.4 讨论函数的可微性和解析性.解 故，要满足C.-R.方程，必须，故仅在直线上满足C.-R.方程，且偏导数连续，从而仅在直线上可微，但在平面上处处不解析. 并且三、课堂练习 试证函数在平面上解析，且.四、课堂小结 函数在某点可微的必要、充要、充分条件；函数在某区域的充要、充分条件五、布置作业P903、4、5、8提问数学分析中导数与微分的概念，类比得出复变函数相关概念例2.2的求导法则和数学分析中一样，由学生完成熟练掌握解析的概念学生分组讨论，完成证明过程，体现师范学生的示范性教师点睛掌握函数解析性的一般方法，由学生总结步骤学生总结本堂课知识，不足的教师补充板 书 设 计板书11、复变函数的导数与微分 2、解析函数及其简单性质 (1)导数 (1)解析函数 (2)微分 例2.2 例2.1 (2)奇点 板书23、柯西-黎曼方程 (2)函数在某点可微的各条件 例2.3(1) C.-R.方程的引出 (3)函数在某区域可微的各条件 例2.4 教学反思章 节2.2 初等解析函数授课班级2015级数学教育 班授课时间20 年 月 日授课类型理论学时数 学时教学目的1.掌握指数函数和三角函数的性质，并掌握其与实变函数的异同2.会利用解析函数的性质解决一般复数性问题教 学重点和难点重点：指数函数、三角函数的性质. 难点：复函与实函相应知识的不同.教学(具)准备三角板教学方法讲授法、讨论法教学主要内容一、指数函数二、三角函数三、双曲函数教 学 过 程 设 计备 注一、导入新课上节课我们将数学分析中的知识平行推广到复变函数中，本节课我们来研究初等函数在复变函数中的推广，会得到一些性质，其中有与数学分析不同的新性质，利用这些性质我们可以解决一些复数性问题。二、讲授新课（一）指数函数 1.定义 2.性质 (1) ;(2) ;(3) 以为基本周期，以为周期;(4) 无意义;(5) 不满足Rolle定理，满足罗比达法则.（二）三角函数 1.定义 教学设计：由欧拉公式启发学生思考怎样求出和，将以复数代替，便得到正余弦的定义.2.性质 (1);(2) 是奇函数，是偶函数，并满足三角恒等式;(3) 都以为基本周期;(4) 的零点为，的零点为;(5) 在复数域无界.（三）双曲函数 定义 双曲正余弦 记忆方法：正余弦定义中去掉所有的即可.例2.5 求的值解 =例2.6 ，若解 由已知有，即,于是 所以 则 .三、课堂练习利用定义证明四、课堂小结 指数函数与三角函数的性质，与数分的不同之处五、布置作业P9110 P92-13、14(1)(2)学生回答;(3)给出基本周期和周期的概念，证明由学生完成,强调与数分中不同;(4)举例说明;(5)回忆数分相关知识, Rolle定理和罗比达法则，由学生验证(2)验证和差化积公式之一;(3)由学生讨论并验证;(4)求解有难度,教师板演一个,另一个由学生完成;(5)反例无界,强调与数分中不同双曲函数为选修内容按照正余弦定义解决此类型问题学生总结本堂课知识，不足的教师补充板 书 设 计板书11、指数函数 性质相关证明(1)定义(2)性质 2.三角函数 (1)定义 (2)性格 板书2性质相关证明 3.双曲函数 例2.6 例2.5 教学反思章 节2.3 初等多值函数授课班级2015级数学教育 班授课时间20 年 月 日授课类型理论学时数 学时教学目的1.明确对数函数和一般指数函数的概念2.会求一个复数的对数和复指数教 学重点和难点重点：复对数的求法. 难点：将一般指数函数归为求解复对数.教学(具)准备三角板教学方法讲授法、讨论法教学主要内容一、对数函数二、一般指数函数教 学 过 程 设 计备 注一、导入新课前几节课我们研究了初等解析函数，它们分别是指数函数、三角函数、双曲函数，这三类函数均为单值函数。本节课介绍两种多值函数对数函数和一般指数函数.提问：指数函数和三角函数的定义.二、讲授新课（一）对数函数 1.定义 指数函数的反函数即为对数函数，称为复数的对数，记为2.求解公式推导.设 则变为，即，于是有 得出对数公式主值问：“负数无对数”在复数域是否成立？ 例2.7 例2.8 （二）一般指数函数1.定义 称为一般指数函数.2.求解方法 例2.9 (1)(2) 三、课堂练习 1. 求 2. 解方程(1) (2) (3) (4) 3. 试求之值.四、课堂小结 1.对数函数的求解方法2.一般指数函数的求解方法.五、布置作业P9320、24找学生回答定义，巩固上节课的内容提示注意区别在设时，让学生思考设代数式还是指数式，学生讨论完成负数也有对数，强调与实变函数的不同之处例2.8由学生完成，并复习主辐角的求法对比高中数学中的对数恒等式，提示注意区别由学生板演，教师点评学生总结本堂课知识，不足的教师补充板 书 设 计板书11、对数函数 练习(1)定义(2)求解公式推导 例题 板书22.一般指数函数 例题 练习(1)定义(2)求解方法 教学反思章 节3.1 复积分的概念及其简单性质授课班级2015级数学教育 班授课时间20 年 月 日授课类型理论学时数 学时教学目的1.充分理解复积分的概念2.会求简单的复积分3.培养学生利用已知探索解题方法的自主学习精神教 学重点和难点重点：复积分的计算. 难点：参数思想.教学(具)准备三角板教学方法讲授法、讨论法教学主要内容一、复积分的定义二、复积分的计算三、复积分的性质四、积分估值教 学 过 程 设 计备 注一、导入新课复积分是研究解析函数的一个重要工具，积分的概念和数学分析中积分的概念相似。提问：在数学分析中积分是如何定义的？分几个步骤求解？二、讲授新课（一）复积分的定义 1.准备知识(1)周线：逐段光滑的简单闭曲线.(2)方向：“反时针”为正，“顺时针”为负.2.定义 设有向曲线以为起点，为终点，沿有定义.顺着从的方向在上取分点：把曲线分成若干个小弧段.在从的每一段弧上任取一点，作和数.当分点无限增多，而这些弧段长度的最大值趋于零时，如果和数的极限存在且等于，则称沿可积，而称为沿的积分，并记为.为积分路径.3.注意 (1)若存在，一般不能写成，因为积分和路径有关.(2)可积的必要条件是有界.（二）复积分的计算步骤1.写出积分路径的参数方程.2.代入3.计算此实积分.例3.1 计算积分.(1)连接由0到的直线段 (2)连接0到1以及1到的直线段所组成的折线.解 设点1为,点为(1),(2)（三）复积分的基本性质1.2. 3. ，由衔接而成4. 5. （四）积分估值定理3.1 连续，存在使，为之长，则.三、课堂练习 证明四、课堂小结 复积分的定义，计算方法，基本性质，积分估值五、布置作业P1411，P1422(1)(2)定积分的求法：分割，近似求和，取极限周线的概念为第二节做准备由学生回忆数学分析中相应概念，对应着模拟出复积分的概念，教师给予及时评价让学生考虑如果积分路径是顺时针，结果会怎样？例题说明，即使起点终点一样，只要积分路径不同，结果就可能不同将数学分析中的性质平移过来，让学生找出它们的异同学生总结本堂课知识，不足的教师补充板 书 设 计板书11、复积分定义 (3)注意 例题 (1)准备知识 (2)定义 2.复积分的计算 步骤 板书23.复积分的性质 例题 4.积分估值 教学反思章 节3.2 柯西积分定理授课班级2015级数学教育 班授课时间20 年 月 日授课类型理论学时数 学时教学目的1.掌握柯西积分定理及其3个推广2.培养学生发现和延拓知识的能力教 学重点和难点重点：柯西积分定理. 难点：定理的证明.教学(具)准备三角板教学方法讲授法、讨论法教学主要内容一、柯西积分定理二、不定积分三、柯西积分定理的推广 教 学 过 程 设 计备 注一、导入新课上节课我们讲到若积分路径不同，积分值也可能不同，本节课我们来研究积分值与积分路径无关的情况.二、讲授新课（一）柯西积分定理 1.准备知识(1)单连通区域:在内任意画简单闭曲线，其内部都含于;(2)周线:逐段光滑的简单闭曲线.2.定理3.2(柯西积分定理) 设在平面的单连通区域内解析，为内任一周线，则.3.定理3.3(柯西积分定理推广1) 设在平面的单连通区域内解析，为内任一闭曲线，则.证 如图3-1，可看出曲线总可以看作由有限条周线衔接而成，于是有由定理3.2知柯西积分定理的结论依然成立.图3-1推论3.4 在平面的单连通区域内解析,则在内积分与路径无关，即之值不依赖于内连接的曲线.图3-2证 是连接任意两曲线(如图3-2),则衔接成内一闭曲线.于是有，移项即得证（二）不定积分1.变上限积分 (定点，动点)2.的关系.定理3.5 在单连通区域内解析,则在内解析，且.分析证明，即证，即证下式成立.证 以为心作一个含于内的小圆，在小圆内取动点，于是 (3.1)又因为 (3.2)(3.1)减(3.2)得 .根据在内的连续性，对于任给的，只要开始取的那个小圆足够小，则小圆内一切点均符合条件，于是有.即，即.3.不定积分(1)定义 如果函数连续，则称符合条件的函数为的一个不定积分或原函数.(2)牛顿-莱布尼茨公式（三）柯西积分定理的推广1.柯西积分定理推广2定理3.6(柯西积分定理等价定理) 设是一条周线，为之内部，函数在闭域上解析，则.证 (i)由定理3.2推证定理3.6.由定理3.6的假设，函数必在平面上一含的单连通区域内解析，于是由定理3.2就有(ii)由定理3.6推证定理3.2.由定理3.2假设：“函数在单连通区域内解析，为内任一周线”，设为之内部，则必在闭域上解析.于是由定理3.6有.定理3.7(柯西积分定理推广2) 设使一条周线，为之内部，则在内解析，在上连续，则.2.柯西积分定理推广3(1)定义 考虑条周线，其中中每一条都在其余各条的外部，而它们又全都在的内部.在的内部同时又在外部的点集构成一个有界的连通区域，以为它的边界.在这种情况下，称区域的边界是一条复周线.(图3-3为的情形)图3-3(2)定理3.8(柯西积分定理推广3) 设是由复周线所围成的有界连通区域，函数在内解析，在上连续，则有，或写成 (3.3)或写成 (3.4)（式(3.4)意义为沿外边界积分等于沿内边界积分之和） 证 取条互不相交且全含在内的光滑弧段作为割线.用它们顺次地与连接.设想将沿割线割破，于是就被分成两个单连通区域(图3.3为的情形)，其边界各是一条周线，分别记为.由定理3.7，有.二式相加得.从而有(3.3)和(3.4)成立. 例3.4 设为周线内部一点，则. 证 以为圆心画圆周，使全含于的内部，则由(3.4)式有三、课堂练习不用计算，验证下列积分之值为0，其中均为单位圆周(1) (2) (3) (4)四、课堂小结 柯西积分定理和它的三个推广五、布置作业P425通过上节课的例题让学生猜想积分值和积分路径无关所需条件，教师总结之后得出柯西积分定理教材中未给出证明,教师提示思路，由学生完成类比数学分析相应知识得出证明过程需要用到数学分析的大量知识，由于学生基础不同，采取分层次教学，有兴趣和能力的学生，建议他们尽量掌握证明思路与方法牛顿-莱布尼茨公式是定积分与不定积分的桥梁两个定理互相推证的过程由学生完成，教师给予引导和及时评价定理3.7将定理3.6的条件放宽，条件“在连续”也可以换为“在连续”总结柯西积分定理和它的等价定理，以及三个推广学生总结本堂课知识，不足的教师补充板 书 设 计板书11、柯西积分定理 (3)推广1 (1)预备知识 (2)柯西积分定理 2、不定积分 (1)积分上限函数 (2)定理及证明板书2定理证明 例题 (3)牛顿-莱布尼茨公式 板书33、柯西积分定理的推广 (2)推广2(1)推广1 教学反思章 节3.3 柯西积分公式及其推论授课班级2015级数学教育 班授课时间20 年 月 日授课类型理论学时数 学时教学目的1.掌握柯西积分公式及解析函数的无穷可微性2.利用上述公式的变形式求解周线积分教 学重点和难点重点：求解周线积分. 难点：柯西积分公式的证明.教学(具)准备三角板、圆规教学方法讲授法、讨论法教学主要内容一、柯西积分公式及其推论二、解析函数的平均值定理三、解析函数的无穷可微性教 学 过 程 设 计备 注一、导入新课1.柯西积分定理及其推论都分别是什么？2.柯西积分定理推广到复周线的形式是什么？由以上两个问题导出本节课内容，利用柯西积分定理的复周线形式导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分形式.二、讲授新课（一）柯西积分公式 1.柯西积分公式 定理3.9 设区域的边界为周线,在内解析，在连续，则有 证 外均解析，以.对于复周线，有于是有 只需证即可.而图3-4则有 (3.5)由的连续性 .于是(3.5)不大于. 定理得证.2.柯西积分公式的变形式推论3.10 注：柯西积分公式中是被积函数在内部的唯一奇点.若在内有两个或两个以上奇点，则不可用此公式.思考题：定理3.9的条件下，若，则的值如何？例3.5 求解周线积分解 为被积函数在内的唯一奇点，则（二）解析函数平均值定理定理3.11 若在内解析，在闭圆上连续，则意义：在圆心的值等于它在圆周上的值的算术平均数.例3.6 设在上解析，若时.试证：在内至少有一零点. 证 设在内无零点，而由题设在上也无零点.于是设在闭圆上解析.由解析函数平均值定理.又有题设，. 从而有 矛盾.故在圆内至少有一个零点.（三）解析函数的无穷可微性1.柯西积分公式的高阶求导公式(1)猜测公式，猜测定理3.12 在定理3.9条件下，在内有各阶导数，且有 例3.7 计算，其中是绕一周的周线. 解 (2)定理3.12的证明证明情形.即证成立即证，图3.5即证成立.其中.设沿周线，设为与上点间的最短距离.于是当时.设，则要使之小于.解得，取，于是有设时结论成立.即，当时，有定理得证. 简单证法 (按照导数定义证明)： 4.解析函数的无穷可微性定理3.13 设在平面上的区域内解析，则在内具有各阶导数，并且它们在内解析。三、课堂练习 (1) (2) 四、课堂小结 柯西积分公式和高阶导公式五、布置作业P1429、10此公式在计算周线积分及证明高阶求导公式中有充分应用，让学生给予充分重视.这一步非常重要，将复杂路径简化利用推论可以求周线积分，此处注意强调是C内唯一奇点满足柯西积分定理的条件，积分值是0定理3.11证明关键在设参数方程,并利用柯西积分公式证明,由学生分组讨论完成提示：含“至多”、“至少”字眼时多用反证法.让学生根据形式上求导的结果来猜测高阶导公式重点把握思路，提示用数学归纳法来证明关键找先设定一个= 实变函数无此性质学生总结知识点，教师补充板 书 设 计板书11、柯西积分定理 证明 推论 例题 板书22解析函数平均值定理 3.柯西公式高阶求导公式证明 例题 例题 板书3定理证明 4.解析函数的无穷可微性教学反思章 节3.4 解析函数与调和函数的关系授课班级2015级数学教育 班授课时间20 年 月 日授课类型理论学时数 学时教学目的1.掌握解析函数与调和函数的关系2.会求已知函数作为实(虚)部的解析函数教 学重点和难点重点：共轭调和函数的概念. 难点：已知调和函数，求以其为实部的解析函数.教学(具)准备三角板教学方法讲授法、讨论法教学主要内容一、调和函数二、调和函数与解析函数的关系教 学 过 程 设 计备 注一、导入新课上一节我们证明了在内解析的函数具有任何阶导数，因此其实、虚部和都有连续二阶偏导数、本节研究如何选择和才能使在内解析.二、讲授新课（一）调和函数 1.探索解析函数的,满足的条件在内解析，则，有由于偏导连续，则，于是有同理即和在内满足拉普拉斯(Laplace)方程.这里是一种运算记号，称为拉普拉斯算子. 2.相关定义定义1 若在内有二阶连续偏导数，且满足，则称为区域内的调和函数. 定义2 若在内满足C.-R.方程，则称为的共轭调和函数. 3.思考题为的共轭调和函数，,是否可以互换？若为的共轭调和函数，则的共轭调和函数是什么？注：任一个二元调和函数的任意阶偏导数也是调和函数.（二）解析函数等价定理提问：以前我们学过解析函数的两个等价定理，它们的内容分别是什么？定理3.14 在内解析的充要条件是的共轭调和函数.练 验证是平面上的调和函数例3.8求以为实部的解析