排列组合十三“法宝”.doc

排列组合十三“法宝” 一相邻问题捆绑法把题中规定相邻的几个元素并为一组（当作一个元素）参与排列。例1：A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有（D）A60 B48 C36 D24分析：把A，B视为1人，且B固定在A的右边。则本题相当于4人全排列，即=24。二相离问题插空法元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端。例2：七人站成一排，如果甲，乙二人必须不相邻，则排法有（B）A1440 B3600 C4820 D4800分析：除甲，乙外，其余5人排列数为种。再用甲，乙去插六个空位，有种，不同排法种数为=3600；三定序问题对称法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用对称思想解题，先排后除。即；例3：A，B，C，D，E五人站一排，B必须站A右边，则不同的排法（B）A24 B60 C90 D120分析：五个全排列，B在A右边和B在A左边排法数相同，即 =60；引例：晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又加了2个节目，若将这2 个节目插入原节目单中，则不同的插法有（42）种。分析：原定的5个节目顺序已定，则不同的插法有：；四定位问题优先法某个（或几个）元素要排在指定位置，可先排这个（或几个）元素，再排其他元素。例4：一个老师和四名学生排成一排，教师不在两端，则不同的排法有（72种）；分析：老师在中间3个位置上选一个位置有种，四名同学在其余四个位置有种，共=72种。五多排问题单排法把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。例5：八人站前后2排，每排4人，其中某2人站在前排，某1人站在后排有（5760）种排法；分析：看成一排，某2个人在前半段4个位置中选排2个，有种，某1个人在后半段4个位置中选一个有种，其余5人在余下5个位上有种，故共有=5760种排法；六乱座问题分步法把元素排列到指定号码位置上，可先把某个元素按规定排入，第2步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。例6：将数字1，2，3，4填入标号为1.2.3.4的四个方格，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（9种）分析：先把1填入方格，符合条件有3种，第2步把被填入方格的对应数字填入其他3个方格，又有3种方法，第3步填余下的2个数字，只有1种填法，故共有331=9种。引伸：封信装入个信封时全部装错的装法总数为。通常称为伯努利-欧拉错装信封问题，又称为乱序排列，即把个元素的排列重新排列，使每个元素都不在原来的位置上的排列问题。七多元问题分类法元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容几类情况，分别计算，最后总计。例7：由0.1.2.3.4.5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（300）个。分析：个位数字只能是0.1.2.3.4共5种情况，分别有 个，合并总计300个。八“至少”问题间接法例8：从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲，乙电视机各一台，则不同取法共有（70种）分析：至少各一台反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号，故；九条件问题排除法在被选总数中，只有一部分符合条件，可从总数中减去不合条件着。例9：正六边形中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有（32个）分析：7点取3点有种，但有3组3点共线，不构成三角形，故种；十选排问题，先取后排法从n类元素中取出符合题意的n个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法。例10：四个不同球放入编号1.2.3.4四个盒子中，则恰有一个空盒放法共有（144）种。分析：先取4个球中的2个为一组，另2组各1球有种，然后排列，在4个盒中每次排3组有种，共有=144种。十一指标问题用“隔板法”例11：将10个保送生预选指标分配给某重点中学高三年级六个班，每班至少一名，共有多少种分配方案？ 分析：将10个名额并成一排，名额之间有9个空，用5块隔板插入9个空，就可将10个名额分成6部分，每一种插法就对应一种分配法，故有种方案。注意：隔板法与插空法是不同的，隔板法只适用于相同元素的分配问题。十二平均分堆到指定位置用“填空法”例12：将6本不同的书平均分给三位同学，求不同的分法数？ 分析：甲同学得2本有种分法，乙同学得2本有种分法，丙同学得2本有 种分法，故总分法数为=90种。十三平均