构造直角三角形,提高学生思维水平.doc

构造直角三角形，提高学生思维水平摘要：许多形式各异的几何图形，他们大都有着内在的联系，具有相同或相似的基本模型，在教学中，教师有意识地让学生学会提炼基本图形，并运用基本图形解决问题，使复杂问题简单化，这既有利于培养学生“透过现象看本质”的分析问题能力又可以开拓学生的思维空间，提高学生解决问题的能力关键词：直角三角形；辅助线直角三角形是最常见的三角形。在历年的中考题中都有直角三角形的身影，最常见的不外乎三角函数的实际运用，也有直接的关于直角三角形的题目而很多常见的图形证明与直角三角形有关，有些是明显的存在直角三角形，有些是隐藏的存在直角三角形。很多有难度的题目，便是将隐藏的直角三角形找出来解决问题的一、网格中的直角三角形例1、在正方形网格中，AOB的位置如图例1所示，则tan AOB的值为 图例1 图例1分析：该题是求出三角函数，而对初中学生来说，求三角函数，只能在直角三角形中去找出对应的边；在这个正方形网格中需要找到射线OA，OB所经过的格点，才能求出具体的值根据分析，不难找出图例1-2中的直角三角形，并求出tan AOB=中考试题中，画旋转，平移，对称图形的试题都放在网格中让考生进行作图，网格有清楚明了的特点，方便看出长度和特殊的角度。做表格类题目，只要抓住格点，就能解决具体问题。在网格中，可以根据需要画出直角三角形，使题目一目了然二、平行线中的直角三角形例2、（2010年甘肃兰州）如图，直角梯形中，将腰以为中心逆时针旋转90至，连接，的面积为3，则BC的长为 分析：此题是梯形的一腰（线段）绕梯形的一个顶点逆时针旋转90问题，解答该题的关键是要抓住线段旋转以后长度不变这个性质，再从三角形的面积入手，联想作三角形，梯形的高，构造两个直角三角形，从而解决问题EDCBA例2-1EDCBA例2NM解：如图例2-1，延长AD，过E点做EMAD垂足为M，过C点做CNAD垂足为N. EMD=CND=EDC=90， EDM=NCD. ED=DC， EDMCDN. 的面积为3， EM=DN=3， BC=AD+DN=5.例3（2010年湖北咸宁）如图例3，已知直线，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则 ABCDA例3分析：表面上不能直接找到两个三角形全等，但我们可以根据图形特征，添加适当的辅助线，构造出两个全等的直角三角形，解决问题解：如图例3-1，过点D作直线，交于点F，则 四边形ABCD是正方形， ABCDA例3-1FE ,可得, 相邻平行线之间的距离是1， 例3变式直线，相邻两条平行直线间的距离都相等，如果直角梯形ABCD的三个顶点在平行直线上，且AB=3AD，则= E例3变式-1 F例3变式 分析：同上根据图形特征，添加适当的辅助线，构造出两个相似的直角三角形，解决问题解：如图例3变式-1，过点D作直线，交于点F，过点B直线，交于点E则可得, AB=3AD， 相邻平行线之间的距离是1， AE=3 平行线实际是弱化了的网格，但也是更细化了的网格，方便构造直角三角形。在平行线中构造直角三角形是很多考题中的重要方法。有些试题的设置虽然省略了关键部分，模糊了基本图形的轮廓，但是学生只要抓住改基本图形特征的方法，通过添加辅助线，让直角三角形显现出来，问题就得以顺利解决三、基本模型下的直角三角形基本模型：浙教版义务教育课程标准实验教科书数学七年级下册“1.5三角形全等的条件”课内练习：已知：如图，ABBD于点B ，EBBD于点D, ACEC于点C，点C在线段AB上，且AC=CE.求证:BD=AB+DE.EADCB证明：根据“ABBD，EBBD， ACEC, AC=CE”， 证得ABCCDE. 有AB=CD,BC=DE. 所以BD=BC+CD=AB+DE.现将满足“B=ACE=D=90,AC=CE”这一条件的两个三角形成为基本模型。其中将“B=ACE=D=90”弱化成“B=ACE=D=”，或者将“AC=CE”删除，会出现一线三等角的模型近几年的中考试卷，命题者运用该基本模型及其衍生模型，编制出一批构思巧妙、立意新颖的好题.其中就有将隐藏的直角三角形用辅助线构造出来，体现出基本模型，再用基本模型解决的题目例4（2011年绍兴）、抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C（1）如图1，求点A的坐标及线段OC的长； （2）点P在抛物线上，直线PQBC交x轴于点Q，连结BQ 若含45角的直角三角板如图2所示放置，其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上求直线BQ的函数解析式； 若含30角的直角三角板的一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标例5图1CxyBAOxyCBADEPQO例5图2分析： 中考试题中的二次函数题目都与基本几何图形结合在一起，而将二次图形退去，实际上就是几何图形的知识点，三角形，平行四边形的问题，2011年绍兴中考卷也是如此。考查的是全等三角形、相似三角形和二次函数的知识，如果能够找出隐藏的全等三角形、相似三角形，那么这道题目就能迎刃而解（1）把x=0代入抛物线确定点A的坐标，求出对称轴得到OC的长（2）由CDE是等腰直角三角形，分别过点D作x轴和PQ的垂线，通过三角形全等得到DQO=45，求出点Q的坐标，然后用待定系数法求出BQ的解析式分点P在对称轴的左右两边讨论，根据相似三角形先求出点Q的坐标，然后代入抛物线求出点P的坐标解：（1）把代入得 . 为对称轴，.图2-1（2）如图2-1，过点D作DMx轴，交x轴于点M,过点D作DNPQ,交PQ于点N PQx轴,四边形MQND为矩形， NDM=CDE=90, NDE=CDM, DN=DM, DCMDEN,四边形MQND为正方形， DQC=45，BCQ为等腰直角三角形， CQ=BC=3，OQ=4， 可以求得直线BQ的函数解析式为 图2-当点P在对称轴的右侧时，如图2-2，过点D作DMx轴，交x轴于点M，过点D作DMPQ，交PQ于点N，设点Q(m，0)，同上可得NDE=CDM, DCMDEN,CDDE= DMDN, DN=MQ,CDDE= DMMQ， 又PQBC, DMMQ= BCCQ， CDDE=3(m-1)，当DCE=30时， 即，得点.当DCE=30时， 即，得点.当点P在对称轴的左侧时，由对称性得：点，点综上所述：点，点，点，点该题很好的利用三角尺，将基本模型与衍生模型结合在同一图形背景中，需要学生从整体图形中寻找基本模型和衍生模型，构造出直角三角形，再应用全等三角形和相似三角形性质 许多形式各异的几何图形，他们大都有着内在的联系，具有相同或相似的基本模型，在教学中，教师有意识地让学生学会提炼基本图形，并运用基本图形解决问题，使复杂问题简单化，这既有利于培养学生“透过现象看本质”的分析问题能力又可以开拓学生的思维空间，提高学生解决问题的能力近年来，各地中考数学试题新颖性、灵活性