高等数学经典方法与典型例题归纳

高等数学经典方法与典型例题归纳 xx年山东省普通高等教育专升本考试xx年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法及典型例题归纳经管类专业会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务理工类专业电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程xx年年5月月17日星期五五曲天尧编写 一、求极限的各种方法1约去零因子求极限例例1求极限11lim41?xxx【说明】1?x表明1与x无限接近，但1?x，所以1?x这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim1)1) (1)(1(lim2121?x xxx x xx x=42分子分母同除求极限例例2求极限13lim323?xx xx【说明】?型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim13lim311323?xxx xxx x【注】 (1)一般分子分母同除x的最高次方； (2)?n mbanmn mbx bx ba x a x annmmmmnnnnx0lim011011?3分子(母)有理化求极限例例3求极限)13(lim22?x xx【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】13)13)(13(lim)13(lim22222222?x xx x x xx xx x0132lim22?x xx例例4求极限30sin1tan1limxx xx?【解】x x xx xxx xx xsin1tan1sin tanlimsin1tan1lim3030?41sin tanlim21sin tanlimsin1tan11lim30300?xx xxx xx xx x x【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键4应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sinlim0?xxx和e xnxxxnnxx?10)1(lim)11(lim)11(lim，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。 主要考第二个重要极限。 例例5求极限xxxx?11lim【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤先凑出，再凑X1?，最后凑指数部分。 【解】2221212112111lim121lim11lim ex x xxxxxxxxx?例例6 (1)xxx?211lim； (2)已知82lim?xxa xa x，求a。 5用等价无穷小量代换求极限【说明】 (1)常见等价无穷小有当0?x时,)1ln(arctanarcsintansinx x x x x x?1e x?,?abx ax x xb11,21cos12?； (2)等价无穷小量代换,只只能代换极限式中的因式； (3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 例例7求极限0ln (1)lim1cosxx xx?【解】002ln (1)lim lim211cos2x xx x x xxx?.例例8求极限xx xx30tansinlim?【解】xx xx30tansinlim?613lim31coslimsinlim222102030?xxxxxx xx x x6用洛必达法则求极限例例9求极限220)sin1ln(2cos lnlimxx xx?【说明】?或00型的极限,可通过罗必塔法则来求。 【解】220)sin1ln(2cos lnlimxx xx?xxxxxx2sin12sin2cos2sin2lim20?3sin112cos222sinlim20?x x xxx【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用洛必达法则求解例例10设函数f(x)连续，且0)0(?f，求极限.)()()(lim000?xxxdt t x fxdt t f t x【解】由于?000)()()(xx xut xdu u fdu u f dt t x f,于是?xx xxxxxdu ufxdt t tf dt t fxdt t x fxdt t f t x0000000)()()(lim)()()(lim=?xxxx xfdu ufx xfx xfdt tf000)()()()()(lim=?xxxx xfdu ufdt tf000)()()(lim=)()()(lim000x fxduu fxdt t fxxx?=.21)0()0()0(?f ff7用对数恒等式求)()(limx gx f极限例例11极限xxx20)1ln(1lim?【解】xxx20)1ln(1lim?=)1ln(1ln20limxxxe?=.2)1ln(2lim)1ln(1ln2lim00e e exxxxx x?【注】对于?1型未定式)()(limx gx f的极限，也可用公式)()(limx gx f)1(?=)()1)(lim(x g x fe?因为?)1)(1ln()(lim)(ln()(lim)()(limx fx g x fx gx ge e x f)()1)(lim(x gx fe?例例12求极限3012coslim13xxxx?.【解解1】原式2cosln3301limxxxex?202cosln3limxxx?20ln2co sln3li mxxx?（）01s in2c o sli m2xxxx?（）011s in1li m22co s6xxx x?【解解2】原式2cosln3301limxxxex?202cosln3limxxx?20c os1ln3limxxx? （1）20c os11l im36xxx?8利用Taylor公式求极限例例13求极限)0(,2lim20?axa ax xx.【解】)(ln2ln1222lnx axax eaa x x?,)(ln2ln1222x axax ax?;).(ln2222x ax aax x?axx axxa axx xx22222020ln)(lnlim2lim?.例例14求极限011lim(cot)xxx x?.【解】00111sin coslim(cot)limsinx xx x xxx x x x x?323230()1()3!2!limxx xx x x xx?333011()()12!3!lim3xxxx?.9数列极限转化成函数极限求解例例15极限21sin limnnnn?【说明】这是?1形式的的数列极限，由于数列极限不能使用洛必达法则，若直接求有一定过难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。 【解】考虑辅助极限611sin11011sin222lim lim1sin lim?ee exxyy yyxxxxxx所以，6121sin lim?ennnn10n项和数列极限问题n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法 (1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算; (2)利用两边夹法则求极限.例例16极限?22222212111limn n n nn?【说明】算用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把)(x f看成0,1定积分。 ?10)(211lim dx x fnnfnfnfnn?【解】原式?222112111111limnnn nnn?1212ln2111102?dxx例例17极限?n n n nn22212111lim?【说明】 (1)该题遇上一题类似，但是不能凑成?nnfnfnfnn?211lim的形式，因而用两边夹法则求解； (2)两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。 【解】?n nn nn22212111lim?因为11211122222?nnn nnnn nn?又n nnn?2lim11lim2?nnn所以?nnn nn22212111lim?11单调有界数列的极限问题例例18设数列?nx满足110,sin(1,2,)n nxxx n?（）证明limnnx?存在，并求该极限；（）计算211limnxnnnxx?.【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.【详解】（）因为10x?，则210sin1xx?.可推得10sin1,1,2,n nxxn?，则数列?nx有界.于是1sin1n nn nx xxx?，（因当0sin xxx?时，），则有1nnxx?，可见数列?nx单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限limnnx?存在.设limnnx l?，在1sinn nxx?两边令n?，得sin ll?，解得0l?，即lim0nnx?.（）因22111sinlim limnnx xn nn nn nx xxx?，由（）知该极限为1?型，61sin01sin110032221lim limsin1lim?eee xxxx xxxxxxxx(使用了洛必达法则)故2211116sinlim limen nxxnnnnnnxxxx?. 二、常见不定积分的求解方法的讨论0.引言不定积分是高等数学中的一个重要内容，它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。 不定积分的解法不像微分运算时有一定的法则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如?x kdx22sin1（其中10?k）；dxxx?sin；dx ex?2；dxx?ln1等。 这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展。 同时，同一道题也可能有多种解法，多种结果，所以，掌握不定积分的解法比较困难，下面将不定积分的各种求解方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用。 1.不定积分的概念间定义在某区间I上的函数)(x f，若存在原函数，则称)(x f为可积函数，并将)(xf的全体原函数记为?dx xf)(,称它是函数)(xf间在区间I内的不定积分，其中?为积分符号，)(xf称为被积函数，x称为积分变量。 若)(x F为)(xf的原函数，则?dx xf)(=)(x F+C(C为积分常数)。 在这里要特别注意，不定积分是某一函数的全体原函数，而不是一个单一的函数，它的几何意义是一簇平行曲线，也就是说dxd(?dx xf)()和?dx xf)(是不相等的，前者的结果是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。 性质1.微分运算与积分运算时互逆的。 注积分和微分连在一起运算时?d完全抵消。 ?d抵消后差一常数。 2.两函数代数和的不定积分，等于它们各自积分的代数和，即?dx xgxf)()(=?dx xf)(?dx xg)(。 3.在求不定积分时，非零数可提到积分符号外面，即?dx xkf)(=k?dx xf)(k0)。 在这里，给出两个重要定理 (1)导数为0的函数是常函数。 (2)若两函数的导数处处相等，则两函数相差一个常数。 以便于更好的解决一些简单的不定积分问题。 上面将不定积分的概念以及性质做了简单的介绍，下面，我们开始讨论不定积分的各种求解方法。 2.直接积分法(公式法)从解题方面来看，利用不定积分的定义来计算不定积分是非常不方便的，利用不定积分的运算性质和基本积分公式从而直接求出不定积分，这种方法就是直接积分法(另称公式法)。 下面先给出基本求导公式 (1)k kx?)( (2)xx1)(? (3)xx1)(ln? (4)xx211)(arctan? (5)xx211)(arcsin? (6)a xxaln1)(log? (7)eexx?)( (8)xx cos)(sin? (9)xx sin)(cos? (10)x xsec)(tan2? (11)x xcsc)(cot2?。 根据以上基本求导公式，我们不难导出以下基本积分表 (1)(是常数k Ckx kdx? (2)1(11?Cxdxx (3)C xxdx?ln (4)C x dxx?arctan112 (5)C x dxx?arcsin112 (6)Caadxaxx?ln (7)Cedxex x? (8)C x xdx?sin cos (9)C x xdx?cos sin (10)C xxdx?tansec2 (11)C xxdx?cotcsc2。 下面举例子加以说明例例2.1求求?dx xx)143(2解解原式=?dx xdx dxx432=?dx xdx dxx432=)()2 (4)3(332213CxCxCx?=C xxx?232注意这里三个积分常数都是任意的，故可写成一个积分常数。 所以对一个不定积分，只要在最后所得的式子中写上一个积分常数即可，以后遇到这种情况不再说明。 例例2.2求求dxxx?122解解原式=dxxx?11)1(22=?12xdxdx=C xx?arctan注此处有一个技巧的方法，这里先称作“加1减减1”法，相当于是将多项式拆分成多个单项式，然后利用基本积分公式计算，下面的例题中还会遇到类似的题型，遇到时具体讲解。 直接积分法只能计算较简单的不定积分，或是稍做变形就可用基本积分表解决的不定积分，对于稍微复杂一点的不定积分便无从下手，所以，下面我们将一一讨论其他方法。 3.第一类换元法(凑微法)利用基本积分公式和积分性质可求得一些函数的原函数，但只是这样远不能解决问题，如xd xxc oss in2?就无法求出，必须将它进行变形，然后就可以利用基本积分公式求出其积分。 如果不定积分?dx xf)(用直接积分法不易求得，但被积函数可分解为)()()(xxgxf?，作变量代换)(x u?，并注意到)()(x ddx x?，则可将关于变量x的积分转化为关于u的积分，于是有?.)()()()(duug dx xxg dx xf?如果?duug)(可以求出，不定积分?dx xf)(的计算问题就解决了，这就是第一类换元法(凑微分法)。 注上述公式中，第一个等号表示换元u x?)(?，最后一个等号表示回代)(x u?.下面具体举例题加以讨论例例3.1求?dx x)12(10.解解原式=?dx xx)12()12(2110=)12()12(2110?x d x ux?12?C duuu112121111012?x uC x?)12(22111对变量代换比较熟练后，可省去书写中间变量的换元和回代过程。 例例3.2求)(25812x dxx?.解解原式) (9)4(12x dx?) (1)34(13122x dx?)34 (1)34x(1312?xd Cx?34a rc t a n31例例3.3求?xdx21解解?)1111 (21)1)(1(1112xxxxx?1)1 (1)1(21112?xx dxx dx C xx?1ln1ln21Cxx?11ln21在这里做一个小结，当遇到形如?c bxxadx2下的不定积分，可分为以下3中情况?c bxx a?2的?于大于0时。 可将原式化为)(21xxxx?，其中，x 1、x2为02?c bxxa的两个解，则原不定积分为?)(21xxxxdx)()()()()(1221112?xxxx dxxxx dx xCxxxxx x?2112ln)(1?于等于0时。 可利用完全平方公式，然后可化成?)()(2k xd kx。 然后根据基本微分公式 (2)便可求解。 ?于小于0时。 形如例4，可先给分母进行配方。 然后可根据基本积分公式 (4)便可求解。 例例3.4求求?xdx sec解解原式?xx dxx d xxdxsin1sincoscoscos22?)s in1)(sin1(sinx xxd)s in1(s in)s in1(s in21?xx dxxd Cxx?s in1s in1ln21该题也可利用三角函数之间的关系求解原原式dxx xxxx?tan sectan secsec2)t a n(s e ct a ns e c1xxdx x?C xx?t ans ecln.虽然两种解法的结果不同，但经验证均为x sec的原函数，这也就体现了不定积分的解法以及结果的不唯一性。 例例3.5求xdx?cos2.解解xd x?c os2)2c os(2122c os1?xdxdxdxx?)2(2cos4121xxddx Cxx?42sin2例例3.6求?xdxsec6.解解?xd xs ec6?xdxx sec)sec2(22?)(t an)t an21(2xdx?)(t an)t ant an21(42xdxxC xxx?t an51t an32t an53注当被积函数是三角函数的乘积时，拆开奇次项去凑微分。 当被积函数为三角函数的偶数次幂时，常用半角公式通过降低幂次的方法来计算；若为奇次，则拆一项去凑微，剩余的偶次用半角公式降幂后再计算。 例例3.7求?dxxx)1(1002.解解原式?dxxx)1(111002?dxx xx)1 (1)1(110099?dxx xx)1 (1)1(2110099?)1()1 (1)1 (2)1(11009898xdx xxC xxx?)1 (991)1 (491)1(971999897例注这里也就是类似例2所所减说的方法，此处是“减1加加1”法。 4.第二类换元法如果不定积分?dx xf)(用直接积分法或第一类换元法不易求得，但作适当的变量替换)(tx?后，所得到的关于新积分变量t的不定积分?dtttf)()(?可以求得，则可解决?dx xf)(的计算问题，这就是所谓的第二类换元(积分)法。 设)(tx?是单调、可导函数，且0)(?t?，又设)()(ttf?具有原函数)(t F，则?dx xf)(?dtttf)()(?C tF?)(C xF?)(?，其中)(x?是)(tx?的反函数。 注由此可见，第二类换元积分法的换元与回代过。 程与第一类换元积分法的正好相反。 例例4.1求不定积分)0(22?a dxx a.解解令令t axs in?，则t dt a dx cos?，)2,2(?t，所以dxx a?22dtt a t a?cos cosdt ta?)2cos1(22C tta?)2s in21(22C ttta?)c os s in(22为将变量t还原回原来的积分变量x，由t ax sin?作直角三角形，可知ax at22cos?，代入上式，得dxx a?22Cx axaxa?2222arcsin2axa22?x t注对本题，若令t axcos?，同样可计算。 例例4.2求不定积分)0(122?a dxa x.解解令令t ax tan?，则t dt adxsec2?，)2,2(?t，所以dxa x?221?tdt tdt at asecsecsec12Ct t1t ans ecln?Ca xx?22ln例例4.3求不定积分)0(122?a dxax.解解令令t ax sec?，则t dttadx tansec?，)2,0(?t，所以dxax?221?tdt dttat tasectantan secCt t1t ansecln?Ca xx?22ln注以上几例所使用的均为三角代换，三角代换的目的是化掉根式，其一般规律如下若果被积函数中含有xa22?时，可令tax sin?，)2,2(?t；如果被积函数中含有ax22?，可令tax tan?，)2,2(?t；如果被积函数中含有ax22?；可令tax sec?，)2,0(?t.例例4.4求不定积分?eedxx x解解令令)0(?tetx，则txln?，所以，tdtdx?。 ?eedxx xdtttt?11dtt?211C t?ar c t anCe x?a rc tan.例例4.5求不定积分?xxdx232.解解?xxdx232?xxd223221(变形).令)0(322?txt，?3222tx?.tdtdx322?原式?)32(121tdtt?dt31Cx?23231关于第二类换元法，就举些例子说明，具体要多做大量的习题，这样才能找到该怎么样换元的感觉，才能更好的掌握这种方法。 5.分部积分法前面所介绍的换元积分法虽然可以解决许多积分的计算问题，但有些积分，如dxexx?、dx xx?cos等，利用换元法就无法求解.接下来要介绍另一种基本积分法分部积分法.设函数)(x uu?和)(x v v?具有连续导数，则u dvv d u uv d?)(移项得到v du uvd udv?)(，所以有?vduuv udv，或或?vd uuv dxvu.上面两个式子称为分部积分公式.利用分部积分公式求不定积分的关键在于如何将所给积分dxxf?)(化成?udv的形式，使它更容易计算.，所采用的主要方法就是凑微分法，例如，?Cex Ceex dxeexexd dxxxxxxx xe x)1(利用分部积分法计算不定积分，选择好u,v非常关键，选择不当将会使积分的计算变得更加复杂。 下面将通过例题介绍分部积分法的应用。 例例5.1求不定积分dxxx?cos.解解令令x u?，dv xd xdx?sin cos，则C xxxdxxxxxxddxxx?cos sin sinsinsin cos有些函数的积分需要连续多次应用分部积分法。 例例5.2求不定积分dxe xx?2.解解令令xu2?和dxedvx?，则dxe xx?2dxexexdx x?2.对后面的不定积分再用分部积分法，dxexx?Ce exed xxxx?(运算熟练后，式子中不再指出u和和v了)，代入前式即得dxe xx?2Cexxx?)22(2.注若被积函数是幂函数(指数为正整数)与指数函数或正(余)弦函数的乘积，可设幂函为数为u，而将其余部分凑微分进入微分符号，使得应用分部积分公式后，幂函数的幂次降低一次(幂指相碰幂为u)。 例例5.3求不定积分?xdx xarctan.解解令令x uar ctan?，22xd xdx?,则?xdx xarctan?)(arctan2arctan222x dxxxdxx