频率采样法设计余弦调制滤波器组.doc

频率采样法设计余弦调制滤波器组谭方青 张天骐 高春霞 黄烈超（重庆邮电大学，信号与信息处理重庆市重点实验室，重庆，400065）摘要：本文提出了一种用频率采样法设计余弦调制滤波器组的FIR原型滤波器的新方法。本方法放松精确重构性，将余弦调制滤波器组的设计转化为无约束的非线性目标函数的优化问题，采用量子粒子群优化算法优化设计余弦调制滤波器组的FIR低通原型滤波器。由于限定了通带与阻带的频率响应，仅需要优化过渡带的几个频率响应采样点，采用量子粒子群优化算法优化满足重构条件的目标函数，求得过渡带的最优采样点，间接设计FIR低通原型滤波器，设计复杂度很低。仿真结果表明，用本文方法设计的余弦调制滤波器组在幅度失真、混叠失真、重构性能等方面明显优于其他方法设计的同参数滤波器组。用本文方法设计的余弦调制滤波器组非常接近精确重构特性。关键词：余弦调制滤波器组；原型滤波器；频率采样法；量子粒子群优化算法；精确重构中图分类号: TN713 文献标识码: AFrequency sampling approach for Designing Cosine Modulated Filter banksTAN Fangqing ZHANG Tianqi GAO Chunxia HUANG Liechao (Chongqing Key Laboratory of Signal and Information Processing (CQKLS&IP), Chongqing University of Posts and Telecommunications (CQUPT), Chongqing, 400065, China)Abstract: A new algorithm for the design of Finite Impulse Response (FIR) prototype filter by frequency sampling for cosine modulated filter banks is proposed. The approach relaxes the perfect reconstruction restrictive condition, the design problem of Cosine-Modulated filter banks (CMFB) is formulated as unconstrained nonlinear optimization of objective function, Quantum-behaved Particle Swarm Optimization algorithm (QPSO) is used to design the FIR low-pass prototype of CMFB. Design is simplified by constraining these values in passband and stopband. Leaving only a small number of values in the filter transition band to be optimized. QPSO is used to optimize objective function which meets reconstruction condition, gets the optimal values of transition band, indirectly design FIR low-pass prototype filter. As compared to the conventional design techniques, the proposed method gives better performance in terms of amplitude distortion, aliasing distortion, reconstruction performance. The filter banks designed with the proposed can be considered to nearly satisfy the PR property.Keywords: Cosine-Modulated Filter Banks; prototype filter; frequency sampling approach; Quantum-behaved Particle Swarm Optimization algorithm; Perfect Reconstruction1. 引言多速率滤波器组理论的发展始于20世纪70年代中期，最初用于语音压缩，后来逐渐应用于图像、视频的压缩。滤波器组通过将信号分成不同的子带，然后根据不同子带包含的信息量的不同来分别进行处理。通过压缩某些不太重要的信息即可实现压缩。目前滤波器组也广泛应用在通信领域中，包括理想数字多路传输、信道均衡的预编码、根据仿酉滤波器组提出的标准正交编码、非整数采样的均衡、离散多音频技术、互联网的高速DSL等1。由于其低设计复杂度和高实现效率，余弦调制(CM)是目前设计完全重构的M带滤波器组最常用的方法，分析和综合滤波器都可由同一个原型滤波器经余弦调制获得，所设计的滤波器组被称为余弦调制滤波器组（CMFB），许多学者在这方面进行了深入的研究，Koilpillai和Vaidyanathan提出了余弦调制滤波器组精确重构条件2，并给出了一种格形实现。余弦调制滤波器组的精确重构性可由格形结构保证，即使格形系数量化也可重构，因而有很好的稳健性，但是它的目标函数是优化参数的高度非线性函数，优化时需要一个好的起始点，并且目标函数对格形系数的变化非常敏感，很难获得高阻带衰减（一般只有-40 dB左右）的滤波器。而且其阶数越高，越难找到一个好的起点，使优化算法收敛到一个好的滤波器组。文献3将余弦调制滤波器组的设计问题转化为一个带有二次约束的最小二乘法（QCLS）优化问题获得具有高阻带衰减的精确重建的余弦调制滤波器组，但该方法在优化过程中采用的仍然是通用(标准)的非线性优化算法。通用的优化算法一般不可能考虑到滤波器组优化设计的具体特点，因而运算量大并且对初始值敏感，为了得到满意的设计结果通常要用不同的初始值进行多次优化设计。文献4采用混合粒子群优化算法设计FIR滤波器，采用频率采样法设计FIR滤波器，由于确定了滤波器在通带与阻带的频率响应采样点值，仅优化过渡带的频率响应采样点，可以方便、迅速地完成滤波器的设计、获得性能优越的FIR滤波器。本文中，我们提出一种新的余弦调制滤波器组的设计方法。该方法就是合理放松余弦调制滤波器组的精确重构约束条件，将余弦调制滤波器组的设计转化为无约束的目标函数优化问题，借助设计FIR滤波器的频率采样法设计原型滤波器，由于FIR滤波器在通带、阻带的幅度响应都是确定的，仅需要对过渡带的幅度响应采样点进行优化。本文采用改进的粒子群优化算法(PSO)量子粒子群优化算法(QPSO)优化满足完全重构条件的目标函数,由于量子粒子群优化算法具有快速收敛、全局收敛、收敛精度高和对初始值不敏感等优点，所以能够快速获得高质量的最优值。然后用这些最优过渡带频率响应采样点值间接设计原型滤波器，通过余弦调制得到余弦调制滤波器组。实验仿真结果表明，设计的余弦调制滤波器组非常接近精确重构，在幅度失真、混叠失真及信噪比等方面的性能都明显优于传统方法，证明了本文算法的有效性。2. 余弦调制滤波器组的分析2.1 基本的M通道滤波器组的重构分析本文从滤波器组的一般结构分析入手，图1是通道滤波器组的基本结构，为滤波器组的输入信号，为滤波器组的输出信号（重构）。为分析滤波器，为综合滤波器1。图1 M通道滤波器组Fig.1 M Channel filter bank由图1可知 (1) (2) (3)于是，该滤波器组的最后输出 (4) (5)此处， (6)由于，在时是的移位，因此，是及其移位的加权和。若保证 (7)则滤波器组中的混叠失真可以消除，这时 (8)若，则滤波器组将实现精确重构。2.2 余弦调制滤波器组(CMFB)的设计在余弦调制滤波器组中，分析和综合滤波器的传输函数分别由和表示，它们都是通过原型滤波器的传输函数调制得到的。设定是一个长度为的线性相位FIR低通滤波器，截止频率。分析和综合滤波器表示如下5-6 (9) (10)此处，。则第路分析、综合滤波器时域表示为 (11) (12)此处，为原型滤波器的冲击响应，由(11)式和(12)式可得： (13)此处，由此可得到滤波器组的总体传输函数为 (14) (15)式(15)是在假设混叠部分已经被消除()的基础上而得到的，由上式可以看出，滤波器组无相位失真。如果要消除幅度失真，则要求 (16)满足上述条件，滤波器组可以实现精确重构，重构延迟为个采样周期。由式(11)、(12)可知，通道余弦调制滤波器组(CMFB)的设计最后归结到原型滤波器的设计。前已述及，的截止频率，且是实数的FIR滤波器，并且有线性相位。此外，希望能满足如下两个关系 (17) (18)如果能满足式(17)，那么在整个频率范围内，从而消除了幅度失真。如果能满足式(18)，在不相邻的频带里，混叠失真就可以消除，那么滤波器组将消除混叠失真。当然，上述两个条件只能近似满足。式(17)、(18)可以归结为目标函数 (19)使用优化算法，使得目标函数最小，从而得到最接近满足式(17)、(18)的原型滤波器。3. 频率采样法设计FIR原型滤波器组频率采样法是基于频率采样理论的一种设计方法。一个任意长的序列，对它的频谱进行等分间隔抽样，利用离散傅里叶反变换(IDFT)，可以得到一个点有限长序列。这个有限长序列是原序列以为周期的周期序列的主值序列，它是原序列的近似。对于一个所需求的频响，对其对应的单位脉冲响应是，对在单位圆上作等分间隔抽样得到个频率采样值，由经IDFT得到点有限长序列。假定为所设计的FIR低通滤波器的频率响应，设，为均匀分布在上的个频率响应采样点，或。则FIR低通滤波器的冲激响应系数与频率响应采样点的关系可以表示如下7,8,9,10： (20)在优化之前必须合理确定的初始值，首先确定过渡带的采样点数，获得最接近过渡带中心的采样点序号，当为偶数时，则有两个采样点离过渡带中心的距离相同，应该选择过渡带中采样点序数较小的。设定总的频率采样点数，过渡带采样点数及最接近过渡带中心的采样点序号，则的幅度响应和相位响应可以定义为： (21) (22)此处，表示取小于或等于本身的整数，表示取大于或等于本身的整数，过渡带的中心点必须处于接近截止频率的位置，也就是最接近的频率采样点是，为滤波器组的通带数，通带截止频率对应通带的最后一个采样点，阻带截止频率对应阻带的第一个采样点。变量为所求的过渡带采样点值，本文中，采用量子粒子群优化算法(QPSO)优化目标函数，求取最优变量，然后用频率采样法设计原型滤波器，通过余弦调制得到余弦调制滤波器组。基于频率采样法设计余弦调制滤波器组的FIR低通原型滤波器的优化进程可以归纳为如下几个步骤：Step1 设定FIR低通原型滤波器的长度；Step2 选定FIR低通原型滤波器在过渡带所需要的频率采样点个数；Step3 按式(23)初始化个频率采样点,与其对应的频率采样点的初始化值用向量表示： (23)Step4 设定为过渡带频率采样点向量，通过优化函数求取目标函数的极小值，获得最优向量组合；Step5 由Step4求得的最优向量组合，得到频率响应采样点最优值。 (24) (25)Step6 用通过(20)式得到FIR低通原型滤波器最优系数。4. 量子粒子群算法4.1 粒子群算法PSOPSO算法将每个个体看作是在维搜索空间中以一定速度飞行的微粒，PSO算法依据粒子的适应值大小进行操作，通过对环境的学习和适应，根据个体和群体的飞行经验的综合分析结果来动态调整飞行速度。在整个寻优过程中，每个微粒的适应值取决于所选优化函数的值。每个微粒都具有以下几类信息:微粒当前所处的位置，到目前为止微粒所经历过的最好适应值的位置(即微粒自身的飞行经验)以及整个群体所有微粒所经历过的最好位置(是中的最优值)。PSO算法采用实数编码，直接在问题域上进行处理，无需转换，算法简单，易于实现。另外，PSO算法中的每个粒子通过自身经验和群体经验进行更新，具备有效的全局搜索与局部搜索的平衡能力，可避免早熟。但标准PSO算法的搜索过程中，粒子的收敛是以轨道形式实现的，且粒子的速度有限，所以粒子的搜索空间是一个有限的区域，不可能覆盖整个可行的空间，这将导致 PSO算法出现过早收敛、易陷入局部极值点和搜索精度不高等缺陷11。4.2 量子粒子群算法QPSO量子粒子群算法（QPSO）以Delta势阱为基础，认为粒子具有量子的行为，在寻优过程中，粒子在以其最佳位置(拥有最佳适应度值)为中心的Delta势阱中移动。在Delta势阱中，量子位势表达为:，令为了计算粒子的适应度值，必须知道粒子的精确位置 由于量子状态方程，只能给出粒子出现在位置的概率密度函数，因此必须使用一种方法来估算粒子的位置，也就是使波函数坍塌(Collapse)成为一个确定的状态。Sun等选择了Monte Carlo随机模拟，假设是上连续分布的随机数，即，将代入可得：，且，解得:，又因为，则得到粒子的位置方程:，在文献12中被定义为，所以平均最好位置为所有粒子的平均最好位置点： (26)式中，为粒子的数量，为粒子的维数，为第 个粒子的，计算为: (27)式中，和为在上均匀分布的随机数， 为群体的。最后得到QPSO算法的进化方程为：(28)式中，称为收缩扩张系数。由此可得是QPSO中唯一的参数，它影响粒子的收敛速度和算法性能通常取 (29)式中，为粒子的最大进化代数，为粒子的当前进化代数。其算法步骤如下:(1) 在解空间中随机初始化粒子的位置值，群体大小; (2) 通过优化函数评价个体粒子的适应值，并和个体的先前最优值相比，如果当前信息优于先前的个体最优值，则把当前值替换为个体最优值，反之不替换；(3) 通过优化函数评价全部粒子的适应值，得到，并计算中值最优值；(4) 根据式(26)(29)进行粒子信息的更新；(5) 查看是否达到预先设置的最佳适应值或最大迭代次数，如果没有则返回到步骤(2)继续运行，反之迭代结束。由于量子系统是一个复杂的非线性系统，符合状态叠加原理，因此它比一个线性系统具有更多的状态，量子系统中的粒子没有确定的轨迹，能够以某一确定的概率出现在搜索空间中的任一位置，这样的位置比当前群体的拥有更好的适应度值; QPSO算法中，粒子的状态只有一个控制参数，因此它比PSO算法更易于控制和编程实现。本文就是用QPSO算法来优化目标函数，此算法中，适应度函数可以表示为式(19)，因为QPSO算法的快速收敛性，所以能快速收敛到全局极小值，获得全局最优解。5. 设计实例下面将用设计实例进一步说明算法的有效性。余弦调制滤波器组的重构特性主要由如下几个重要的性能参数指标来衡量13。由式(17)可以看出，在完全重构状况下，有 (30) (31)设用QPSO算法设计的原型滤波器与满足完全重构条件下的原型滤波器在截止频率的幅度响应的误差值为 (32)幅度失真(, Amplitude Distortion) (33)混叠失真(, Aliasing Distortion) (34)重构信号误差() (35)信噪比() (36)此处为滤波器组的时延，为原型滤波器长度，为信号采样点数目，为输入信号，为输出重构信号。仿真实例1：设计一个通道数，FIR低通原型滤波器长度的余弦调制滤波器组。选择如下的设计参数：，选择伪随机序列作为滤波器组的输入信号。为了更好的说明本文算法的有效性，采用了与文献6提出经典方法设计同参数的余弦调制滤波器组与其进行对比。仿真结果如下图所示：=6.0515e-05。(a) 原型滤波器幅频响应(a) Amplitude response of Prototype filter(b) CMFB幅度失真(b) Amplitude distortion of CMFB(c) CMFB混叠失真(c) Aliasing distortion of CMFB(d) CMFB重构性能 (d) Reconstruction performance of CMFB图2 CMFB性能指标()Fig.2 Performance parameters of CMFB ()表1 本文方法与文献6中方法比较()Table1 Performance Comparison with the method in 6 ()方法本文算法1.2357e-046.0231e-06-142.9750dB7.0665e-0593.2038dB经典算法2.2612e-033.9445e-04-125.0650dB1.0846e-0368.1772dB仿真实例2：设计一个通道数，FIR低通原型滤波器长度的余弦调制滤波器组。选择如下的设计参数：，选择伪随机序列作为滤波器组的输入信号。为了更好的说明本文算法的有效性，文献6提出经典方法设计同参数的余弦调制滤波器组与其进行对比。仿真结果如下图所示：=2.6087e-04。(a) 原型滤波器幅频响应(a) Amplitude response of Prototype filter(b) CMFB幅度失真(b) Amplitude distortion of CMFB(c) CMFB混叠失真(c) Aliasing distortion of CMFB(d) CMFB重构性能(d) Reconstruction performance of CMFB图3 CMFB性能指标()Fig.3 Performance parameters of CMFB ()表2 本文方法与文献6中方法比较()Table2 Performance Comparison with the method in 6 ()方法本文算法5.1098e-046.7227e-05-105.7243dB3.2901e-0477.8598dB经典算法2.4475e-031.6074e-04-96.0593dB1.1213e-0366.7682dB图2、3显示了两种不同参数的余弦调制滤波器组的几种性能参数指标，从仿真图中可以看出，用本文方法设计余弦调制滤波器组在幅度失真、混叠失真以及滤波器组的恢复重构性能方面明显优于采用文献6提出的经典算法设计的同参数的余弦调制滤波器组，但在原型滤波器的阻带衰减特性方面则劣于经典算法。表1，2为本文算法与经典算法（文献6中的方法）的比较，可见其性能明显优于经典算法。用本文方法设计的余弦调制滤波器组的幅度失真、混叠失真、和重构误差都非常小，几乎接近精确重构特性。6. 结论本文提出一种简单有效的余弦调制滤波器组的设计方法。该方法采用设计FIR滤波器的频率采样法，设计余弦调制滤波器组的FIR低通原型滤波器。通过合理放松精确重构限制，大大降低了设计的复杂度，将余弦调制滤波器组的设计转化为无约束的非线性目标函数的极小值优化问题。由于确定了通带跟阻带的频率响应采样点的值，仅需要优化滤波器过渡带的频率响应采样点，所以目标函数的未知变量也比较少，容易实现。由于量子粒子群优化算法的收敛速度快、精度高、全局性能好以及对初始值不敏感等优点，能够快速、容易地收敛到全局最优解。通过仿真结果可以看出，用本文方法设计余弦调制滤波器组在幅度失真、混叠失真、信噪比以及重构误差等方面都明显由于其他方法设计的同参数滤波器组。用本文方法设计的余弦调制滤波器组非常接近精确重构特性。参考文献1 VAIDYANATHAN P P. 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